高三数学一轮复习第十一章复数算法推理与证明第四节直接证明与间接证明夯基提能作业本文.docx
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2019-2020年高三数学一轮复习第十一章复数算法推理与证明第四节直接证明与间接证明夯基提能作业本文
1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:
“设a>b>c,且a+b+c=0,求证 A.a-b>0B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0 3.在△ABC中,sinAsinC A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 4.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+( ) A.都大于2B.都小于2 C.至少有一个不大小2D.至少有一个不小于2 5.已知函数f(x)=,a,b为正实数,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为( ) A.A≤B≤CB.A≤C≤B C.B≤C≤AD.C≤B≤A 6.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数( ) A.成等比数列而不成等差数列 B.成等差数列而不成等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 7.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒为负值B.恒等于零 C.恒为正值D.无法确定正负 8.将2n按如表所示的规律填在5列的数表中,设22014排在数表的第n行,第m列,则第m列中的前n个数的和Sn= . 21 22 23 24 28 27 26 25 29 210 211 212 216 215 214 213 … … … … … 9.在数列{an}中,已知a1=,=,bn+2=3loan(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: 数列{bn}是等差数列. 10.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a (1)设g(x)=x2-x+是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值; (2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数? 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. B组 提升题组 11.设a,b是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( ) A.②③B.①②③C.③D.③④⑤ 12.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形 13.已知正项等比数列{an}满足: a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得=4a1,则+的最小值为( ) A.B.C.D.不存在 14.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是 . 15.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,当f(c)=0,且0 (1)证明: 是f(x)=0的一个根; (2)试比较与c的大小; (3)证明: -2 答案全解全析 A组 基础题组 1.A “方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要作的假设是方程x3+ax+b=0没有实根. 2.C 0⇔(a-c)· (2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0. 3.C ∵cosAcosC-sinAsinC>0, 即cos(A+C)>0,∴-cosB>0,∴cosB<0,B为钝角. 故△ABC为钝角三角形. 4.D ∵a>0,b>0,c>0, ∴++=++≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2. 5.A 因为a,b为正实数,所以≥≥,又f(x)=在R上是单调减函数,故f≤f()≤f. 6.B 由已知条件,可得 由②③得 代入①,得+=2b, 即x2+y2=2b2,故x2,b2,y2成等差数列(x2,b2,y2不成等比数列). 7.A 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,则f(x1) 8.答案 解析 由于2014=4×503+2,故22014位于表格的第504行第3列,所以n=504,m=3.所以Sn==. 9.解析 (1)因为a1=,=,所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列, 所以an=(n∈N*). (2)证明: 因为bn=3loan-2, 所以bn=3lo-2=3n-2. 所以b1=1,公差d=3, 所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列. 10.解析 (1)由已知得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为直线x=1,区间[1,b]在对称轴的右边, 所以函数在区间[1,b]上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知,g (1)=1,g(b)=b, 即b2-b+=b,解得b=1或b=3, 因为b>1,所以b=3. (2)不存在.理由如下: 假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数, 因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减, 所以有 即 解得a=b,这与已知矛盾.故不存在. B组 提升题组 11.C 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,则a+b=2,但不满足a,b中至少有一个大于1,故②推不出; 若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,但a<1,b<1,故④推不出; 若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若a+b>2,则“a,b中至少有一个大于1”成立. 证明(反证法): 假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾, 因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C. 12.D 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形, 由题意不妨令cosA1=sinA2,cosB1=sinB2,cosC1=sinC2. 由 得 那么A2+B2+C2=90°,这与“三角形内角和为180°”相矛盾. 所以假设不成立,又显然△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形. 13.A 由题意可知,a5q2=a5q+2a5(q>0,a5>0),化简得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去). 由=4a1,得a1qm-1·a1qn-1=16, ∴qm+n-2=16=24, ∴m+n=6, ∴+=·= ≥=,当且仅当=,即m=2,n=4时,取“=”. 14.答案 解析 由题意可得只需f(-1)>0或f (1)>0即可,由f (1)>0,得2p2+3p-9<0,即-3 0,得2p2-p-1<0,即- 15.解析 (1)证明: ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0有两个不等实根,设为x1,x2, ∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根, 又x1x2=,∴x2=, ∴是f(x)=0的一个根. (2)假设 由0 知f>0与f=0矛盾, ∴≥c,又∵≠c,∴>c. (3)证明: 由f(c)=0,得ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数f(x)的图象的对称轴为x=-=. 又>c,∴x2>x1,∴<=x2=, 即-<. 又a>0,∴b>-2,∴-2 2019-2020年高三数学一轮复习第十一章统计统计案例第一节随机抽样夯基提能作业本理 1.(xx北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 A.90B.100C.180D.300 2.福利彩票“双色球”中红色球的编号有33个,分别为01,02,…,33,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为( ) 4954435482173793237887352096438426349164 5724550688770474476721763350258392120676 A.23B.09C.02D.17 3.从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用以下方法选取: 先用简单随机抽样法从2007名学生中剔除7名学生,剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率( ) A.不全相等B.均不相等 C.都相等,且为D.都相等,且为 4.将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( ) A.25,17,8B.25,16,9C.26,16,8D.24,17,9 5.从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为( ) A.480B.481C.482D.483 6.已知某商场新进3000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为 . 7. 某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该种产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则从第一分厂应抽取的件数为 ;由所得的测试结果计算出从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时,估计这个企业所生产的该种产品的平均使用寿命为 小时. 8.某学校对该校参加第二次模拟测试的2100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查,可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30),则采取 抽样方法抽取一个容量为 的样本进行调查较为合适. 9.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应从初三年级抽取多少名? 10.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会,如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,则不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n的值. B组 提升题组 11.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( ) A.800B.1000C.1200D.1500 12.(xx甘肃兰州实战考试)采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( ) A.12B.13C.14D.15 13.某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表: 产品类别 A B C 产品数量(件) 1300 样本容量(件) 130 由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是 件. 14.某班共有50名学生,现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号为1~50,并分组,第1组为1~5号,第2组为6~10号,……,第10组为46~50号,若在第3组中抽出号码为12的学生,则在第8组中应抽出号码为 的学生. 15.据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查,统计结果如下表. 调查人群态度 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 2100人 120人 y人 社会人士 600人 x人 z人 已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人? (2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,再平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望. 答案全解全析 A组 基础题组 1.C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的比为1600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为×320=180,故选C. 2.C 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,故选出的第6个红色球的编号为02. 3.C 从N个个体中抽取M个个体,则每个个体被抽到的概率都等于. 4.A ∵总体容量为600,样本容量是50, 600÷50=12, ∴分段间隔为12,又由于随机抽得的第一个号码为003,故按照系统抽样的操作步骤在第Ⅰ营区应抽到25人,第Ⅱ营区应抽到17人,第Ⅲ营区应抽到8人.故选A. 5.C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1=7,a2=32,则d=25,所以7+25(n-1)≤500,所以n≤20.72,因为n∈N*,所以n的最大值为20,最大编号为7+25×(20-1)=482. 6.答案 1211 解析 每组袋数为=20, 由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列.a61=11+(61-1)×20=1211. 7.答案 50;1015 解析 从第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;估计该种产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015小时. 8.答案 系统;70 解析 因为样本容量较大,且考生情况按照每考场抽取没有明显的层次性,又=70,所以可以采用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本. 9.解析 (1)∵=0.19,∴x=380. (2)初三年级学生人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,则应从初三年级抽取×48=12名. 10.解析 总体容量为6+12+18=36. 当样本容量是n时,n<36,由题意知,系统抽样的间隔为,抽取的工程师人数为×6=,技术员人数为×12=,技工人数为×18=,所以n应是6的倍数,36的约数,即n可取6,12,18. 当样本容量为n+1时,由题意知,系统抽样的间隔为,因为必须是整数,所以n只能取6,即n=6. B组 提升题组 11.C 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c, 所以=b,所以从第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的,根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的,即×3600=1200. 12.A 根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d==20的等差数列{an},∴an=8+20(n-1)=20n-12,令751≤20n-12≤1000,得≤n≤,又∵n∈N*,∴39≤n≤50,∴做问卷C的共有12人,故选A. 13.答案 800 解析 设样本容量为x,则×1300=130, ∴x=300.∴A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,∴y=80. ∴C产品的数量为×80=800(件). 14.答案 37 解析 因为12=5×2+2,即在第3组中抽出的是第2个学生,所以每一组都应抽出第2个学生,所以第8组中应抽出的号码为5×7+2=37的学生. 15.解析 (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,∴=0.05,解得x=60. ∴持“无所谓”态度的人数为3600-2100-120-600-60=720,∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×=72(人). (2)由 (1)知持“应该保留”态度的一共有180人,所以在所抽取的6人中,在校学生有×6=4人,社会人士有×6=2人,于是第一组中在校学生人数ξ的可能取值为1,2,3, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)=1×+2×+3×=2.
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