大学线性代数习题集.docx
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大学线性代数习题集
第一部分专项同步练习
第一章行列式
一、单项选择题
1.下列排列是5阶偶排列的是(
).
(A)24315(B)14325
(C)41523
(D)24351
2.如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k,则排列jnj2j1的逆序数是().
(A)k(B)n-k
n!
(C)-k
2
(D)
n(n-1)-k
2
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有()项.
(A)0(B)n-2
(C)
(n-2)!
(D)
(n-1)!
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
(A)0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
4.=().
(B)-1
(C)1(D)2
5.=().
(A)0(B)-1
(C)1(D)2
2xx
-1-x
-11
12
6.在函数f(x)=中x3项的系数是().
32-x3
0001
(A)0(B)-1
(C)1(D)2
a11
a12
a13
2a11
a13
a11-2a12
7.若D=aa
a=1,则D
=2aa
a-2a
=().
2122
232
121232122
a31
a32
a33
2a31
a33
a31-2a32
(A)4(B)-4
(C)2(D)-2
8.若
a11a21
a12a22
=a,则
a12a11
ka22=
ka21
().
(A)ka(B)-ka
(C)
k2a
(D)-k2a
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次为
-8
7
4
3
6
-2
3
-1
1
1
1
1
4
3
-7
5
-2,5,1,x,则x=().(A)0(B)-3
(C)3(D)2
10.若D=
,则D中第一行元的代数余子式的和为().
(A)-1
(B)-2
(C)-3
(D)0
3
0
4
0
1
1
1
1
0
-1
0
0
5
3
-2
2
11.若D=
,则D中第四行元的余子式的和为().
(A)-1
(B)-2
(C)-3
(D)0
⎧x1+x2+kx3=0
12.k等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪x
+
kx+x
=0有非零解.
⎨123
⎪
()
(A)-1
(B)-2
(C)-3
⎩kx1+x2+x3=0
(D)0
二、填空题
1.2n阶排列24(2n)13(2n-1)的逆序数是.
2.在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.
3.四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是.
4.若一个n阶行列式中至少有n2-n+1个元素等于0,则这个行列式的值等于
.
1110
0101
5.行列式=.
0111
0010
.
a11a
7.行列式21
an1
a1(n-1)
a2(n-1)
0
a1n
0
=.
0
a11
8.如果D=a21
a31
a12a22a32
a13a23a33
a11
=M,则D1=a21
a31
a13-3a12a23-3a22a33-3a32
3a12
3a22
3a32
=.
9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.
1-1
1-1
1
x+1
x-1
-1
10.行列式=.
1
x+1
x-11-1
-11-1
1+λ
1
11
1+λ1
11.n阶行列式=.
11
1+λ
1
2
3
4
5
6
7
8
4
3
2
1
8
7
6
5
12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.
13.设行列式D=
,A4j(j=1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式,
则4A41+3A42+2A43+A44=.
abca
cbab
14.已知D=,D中第四列元的代数余子式的和为.
bacc
acbd
1
2
3
4
3
3
4
4
1
5
6
7
1
1
2
2
15.设行列式D=
=-6,A4j为a4j(j=1,2,3,4)的代数余子式,则
A41+A42=,A43+A44=.
1
1
16.已知行列式D=1
1
35
20
03
00
2n-1
0
0
n
,D中第一行元的代数余子式的和为
.
⎧kx1+2x2+x3=0
17.齐次线性方程组⎪2x
+
kx
=0仅有零解的充要条件是.
⎨12
⎪
⎩x1-x2
+x3=0
⎧x1
+2x2
+x3=0
⎨
18.若齐次线性方程组⎪
⎪
2x2
+5x3
=0有非零解,则k=.
⎩-3x1-2x2+kx3=0
三、计算题
ab
a2b2
1.
a3b3
cd
c2d2
c3d3
;2.
xy
x+y
y
x+yx
x+y
x;
y
b+c+d
a+c+d
a+b+d
a+b+c
01x
101
3.解方程
x11
1x1
x
1a1
xa
=0;4.1
0
0a1
a1
a1a2
xa2
a2x
a2a3
a2a3
an-21
an-21
an-21;
x1
an-11
a0
1
5.1
1
11
a11
1a2
11
1
1
1(aj≠1,j=0,1,,n);
an
1
3
6.1
1
1
1-b
1
1
1
1
2-b
1
1
1
1
(n-1)-b
11
b1a1
11
a1a1
xa1
a1x
a2an
a2an
7.b1
b2a2
a2;8.a1
a2x
an;
b1b2
b3an
a1a2
a3x
9.
11.D=
1-a
-10
0
0
a
1-a
-10
0
0
a
1-a
-10
0
0
a
1-a
-1
0
0
0.
a
1-a
四、证明题
1.设abcd=1,证明:
a2+1
a2
b2+1
b2
a11
a
b11
b
=0.
c2+1
c2
c
11
c
d2+1d11
d2d
a1+b1x
2.a2+b2x
a3+b3x
a1x+b1a2x+b2a3x+b3
c1
c2=(1-xc3
a1b1
)a2b2
a3b3
c1c2.c3
111
abc
3.
a2b2c2
a4b4c4
1
d
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d).
d2
d4
1
a1
2
4.1
1
a2
2
2
1
an
2n
=∑ai
∏(aj-ai).
n-21
n
1
n-22
n
2
n-2
n
nn
i=1
1≤i 11 5.设a,b,c两两不等,证明ab a3b3 1 c=0的充要条件是a+b+c=0. c3 参考答案 一.单项选择题 ADACCDABCDBB 二.填空题 1.n;2.“-”;3. a14a22a31a43 ;4.0;5.0;6. (-1) n-1n! ; n(n-1) 4n-1 7.(-1)2 a1na2(n-1)an1;8.-3M;9.-160;10.x;11.(λ+n)λ ;12.-2; n 13.0;14.0;15.12,-9;16.n! (1-∑1);17.k≠-2,3;18.k=7 k=1k 三.计算题 1.-(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c);2. -2(x3+y3); n-1 3.x=-2,0,1;4.∏(x-ak) k=1 n 5.∏(a n ∑1 -1)(1+);6. ka -(2+b)(1-b)((n-2)-b); k=0 k=0 k-1 nnn 7.(-1)n ∏(bk-ak);8. (x+∑ak)∏(x-ak); k=1 k=1 k=1 n 9.1+∑xk;10. k=1 n+1; 11.(1-a)(1+a2+a4). 四.证明题(略) 第二章矩阵 一、单项选择题 1.A、B为n阶方阵,则下列各式中成立的是()。 (a)A2=A (b) A2-B2=(A-B)(A+B) (c) (A-B)A=A2-AB (d)(AB)T=ATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时,B=C。 (a)AB=BA(b) A≠0 (c)方程组AX=0有非零解(d)B、C可逆 3.若A为n阶方阵,k为非零常数,则kA=()。 (a) kA (b) kA (c) knA (d)kA 4.设A为n阶方阵,且A=0,则()。 (a)A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合5.设A,B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()。 (a)(A+B)-1 =A-1 +B-1 (b) (AB)T=AB (c)(A-1+B)T =A-1+B (d) (A+B)-1=A-1+B-1 6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则()。 (a)(a) A*=A-1 (b) A*=A (c) A*= n+1 (d) A*= n-1 7.设A为3阶方阵,行列式 A=1, A*为A的伴随矩阵,则行列式 (2A)-1-2A* =()。 (a)-27 8 (b) -8 27 (c) 27(d)8 827 8.设A,B为n阶方矩阵,A2=B2,则下列各式成立的是()。 (a)A=B (b) A=-B (c) A=B (d) A=B 9.设A,B均为n阶方矩阵,则必有()。 (a)A+B= A+B (b) AB=BA (c) AB=BA (d) A=B 10.设A为n阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是()。 (a)2A=2AT (b) (2A)-1=2A-1 (c)[(A-1)-1]T =[(AT)T]-1 (d) [(AT)T]-1=[(A-1)T]T ⎛a11 ç a12 a13⎫ ⎪ ⎛a11-3a31 ç a12-3a32 a13-3a33⎫ ⎪ 11.如果Aça21 a22 a23⎪=ç a21 a22 a23 ⎪,则A=()。 ⎝a31 a32 ⎪ç 33⎭⎝ a31 a32 a33⎪ ⎛1 ç (a)ç0 ç 00⎫ ⎪ 10⎪ ⎪ ⎛10 ç (b)ç01 ç -3⎫ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎛00 ç (c)ç01 ç -3⎫ ⎪ 0⎪ ⎪ ⎛100⎫ ç⎪ (d)ç010⎪ ç⎪ ⎝-30 ⎛1 ç 1⎭ 31⎫ ⎪ ⎝001⎭ ⎝101⎭ ⎝0-31⎭ 12.已知A=ç2 ⎝3 20⎪,则()。 1⎭ (a)AT=A (b) A-1=A* ⎛100⎫ ç⎪ ⎛113⎫ ç⎪ ⎛100⎫ ç⎪ ⎛113⎫ ç⎪ (c)Aç0 01⎪=ç202⎪ (d)ç0 01⎪A=ç202⎪ ⎝01⎪ ⎝31⎪ ⎝01⎪ ⎝31⎪ 13.设A,B,C,I为同阶方阵,I为单位矩阵,若ABC=I,则()。 (a)ACB=I (b)CAB=I (c)CBA=I (d)BAC=I 14.设A为n阶方阵,且|A|≠0,则()。 (a)A经列初等变换可变为单位阵I (b)由AX=BA,可得X=B (c)当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时,有A-1=B (d)以上(a)、(b)、(c)都不对 15.设A为m⨯n阶矩阵,秩(A)=r (a)A中r阶子式不全为零(b)A中阶数小于r的子式全为零 (c)A经行初等变换可化为⎛Ir0⎫ ⎝00⎭ (d)A为满秩矩阵 16.设A为m⨯n矩阵,C为n阶可逆矩阵,B=AC,则()。 (a)秩(A)>秩(B)(b)秩(A)=秩(B) (c)秩(A)<秩(B)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定 17.A,B为n阶非零矩阵,且AB=0,则秩(A)和秩(B)()。 (a)有一个等于零(b)都为n(c)都小于n(d)一个小于n,一个等于n18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。 (a)r(A)=r (b) A的列秩为n (c)A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。 (a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例 (c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示 (d)对任何n维非零向量X,均有AX≠0 二、填空题 1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2=I,则行列式A= 0 2.行列式-a -b ab 0c= -c0 ⎛1 ç 3.设2A=ç0 ⎝0 01⎫ ⎪ 20⎪,则行列式(A+3I)-1(A2-9I)的值为 0⎭ ⎛13⎫ ç-⎪ 4.设A=ç2 ç3 ç ⎝2 2⎪,且已知A6=I,则行列式A11= 1⎪ ⎪ 2⎭ 5.设A为5阶方阵,A*是其伴随矩阵,且A=3,则A*= 6.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为 ⎛ab ab ab⎫ ç1112 1n⎪ ça2b1 a2b2 a2bn⎪ 7.非零矩阵ç ç ç ⎪的秩为 ⎪ ⎪ ⎝anb1 anb2 anbn⎭ 8.设A为100阶矩阵,且对任何100维非零列向量X,均有AX 为 ≠0,则A的秩 T 9.若A=(aij)为15阶矩阵,则A A的第4行第8列的元素是 10.若方阵与4I 相似,则 A= ⎛12K⎫ ç⎪ 11.limç2K K+1⎪= K→∞ç1 ç 1⎪ K⎪ ⎝K3⎭ n ⎛1-1⎫ ç2⎪ limç1⎪ 12.0 n→∞ç3 1⎪= ç1⎪ ç00-⎪ ⎝⎭ 三、计算题 1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵). ⎛223⎫⎛22⎫ ⎛010⎫⎛13⎫ 1)ç1 -10⎪X=ç32⎪ ;2) ç100⎪X⎛20⎫=ç2 -1⎪ ç⎪ç⎪ ç⎪ç-11⎪ç⎪ ç-121⎪ç0 -2⎪ ç001⎪ ⎝⎭ç10⎪ ⎝⎭⎝⎭ ⎛310⎫ ⎝⎭⎝⎭; ⎛101⎫ 3)X(I-B-1C)TBT=I,其中B=ç404⎪; ç422⎪ ⎛101⎫ 4)AX=A2+X-I,其中A=ç020⎪ ç101⎪ ; ⎛423⎫ 5)AX=A+2X,其中A=ç110⎪ ç-123⎪ ; C=ç212⎪ ç121⎪ ; 2.设A为n阶对称阵,且A2=0,求A. ⎛1-10⎫ ç⎪ 3.已知A=ç021⎪,求(A+2I)(A2-4I)-1. ç10 -1⎪ ⎝⎭ ⎛12⎫ ⎛34⎫ ⎛00⎫ ⎛12⎫ ⎛A1 A2⎫ 4.设A1=ç01⎪,A2=ç23⎪,A3=ç00⎪,A4=ç01⎪,求çAA⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎛112⎫ ⎝⎭⎝ 34⎭. 5.设A=ç224⎪,求一秩为2的方阵B,使AB=0. ç336⎪ ⎛211⎫⎛011⎫ 6.设A=ç101⎪,B=ç121⎪,求非奇异矩阵C,使A=CTBC. ç110⎪ç110⎪ 7.求非奇异矩阵P,使P-1AP为对角阵. ⎛11 -2⎫ ⎛21⎫ç⎪ 1)A=ç⎪ 2)A=ç-1 -31⎪ ⎝12⎭ ç-20 -1⎪ ⎝⎭ 8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为 (0,0,1)T,(-1,1,0)T,(-2,1,1)T,求矩阵A. ⎛5 9.设A=ç6 -32⎫ -44⎪,求A100. ç⎪ ç4-45⎪ ⎝⎭ 四、证明题 1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆. 2.设Ak=0(k为整数),求证I-A可逆. 3.设 a1.a2,,ak 为实数,且如果 ak≠0 如果方阵A满足 1 Ak+aAk-1 ++ak-1A+akI=0,求证A
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