第一章集合和命题.docx
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第一章集合和命题
1.1集合及其表示法
知识点:
集合1.正整数1,2,3,;
2.中国古典四大名著;
3.高10班的全体学生;
4.我校篮球队的全体队员;
5.到线段两端距离相等的点.
1.集合的概念:
一般地,指定的某些对象的全体
称为集合,简称“集”.
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
练习1.下列指定的对象,能构成一个集合
的是()
①很小的数②不超过30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④的近似值⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数⑦大于2的整数
⑧正三角形全体
A.②③④⑥⑦⑧B.②③⑥⑦⑧
C.②③⑥⑦D.②③⑤⑥⑦⑧
2.集合的表示:
集合常用大写字母表示,元素常用小写字母表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.
如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作aA.
例如:
A表示方程x2=1
的解.2A,1∈A.
4.集合元素的性质:
⑴确定性:
集合中的元素必须是确定的.如:
x∈A与xA必居其一.
⑵互异性:
集合的元素必须是互异不相同的.如:
方程x2-x+=0的解集为{1}而非{1,1}.
⑶无序性:
集合中的元素是无先后顺序的.如:
{1,2},{2,1}为同一集合.
5.集合的表示方法:
描述法、列举法、图表法
问题1:
用集合表示①x2-3=0的解集;
②所有大于0小于10的奇数;
③不等式2x-1>3的解.
6.集合的分类:
有限集、无限集
问题2:
我们看这样一个集合:
{x|x2+x+1=0},它有什么特征?
问题2:
我们看这样一个集合:
{x|x2+x+1=0},它有什么特征?
◆显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集,记作.
练习2:
⑴0(填∈或)
⑵{0}(填=或≠)
7.重要的数集:
ØN:
自然数集(含0)
ØN+:
正整数集(不含0)
ØZ:
整数集
ØQ:
有理数集
ØR:
实数集
例题
例1若x∈R,则数集{1,x,x2}中元素x
应满足什么条件.
例2设x∈R,y∈R,观察下面四个集合
A={y=x2-1}
B={x|y=x2-1}
C={y|y=x2-1}
D={(x,y)|y=x2-1}
它们表示含义相同吗?
例3若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集为
M,则M中元素的个数为()
A.1B.2C.3D.4
例3若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集为
M,则M中元素的个数为()
A.1B.2C.3D.4
例4已知集合
A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}
只有一个元素,求a的值与这个元素.
练习1:
B
练习2:
(1)
(2)≠
例1:
解:
∵x≠1且x2≠1且x2≠x,
∴x≠1且x≠-1且x≠0.
例3:
C
例4:
解:
当a=0时,x=-1.
当a≠0时,=16-4×4a=0.
a=1.此时x=-2.
∴a=1时这个元素为-2.
∴a=0时这个元素为-1.
1.1.2集合之间的关系
(一)
复习提问:
已知:
M={-1,1},N={-1,1,3},P={x|x2-1=0}.
问:
(1)哪些集合用列举法表示的?
(2)哪些集合是用性质描述法表示的?
(3)考察集合中的元素,集合M与集合N,P有什么关系?
概念形成:
子集:
如果集合A的任何一个元素都是集合B
的元素,那么集合A叫做集合B的子集.
记作AB(或BA),
读作“A包含于B”(或“B包含A”).
真子集:
如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A是集合B的真子集.记作A
B (或A
B),读作A真包含于B(或B真包含A).
我们常用平面上一个封闭曲线的内部表示一个集合,若集合A是集合B的真子集,则如左图所示,这种图形通常叫做Venn图.
空集:
不含任何元素的集合,记作.
例如:
(1){x|x2<0}=;
(2){x|x+1=x+2}=.
规定:
空集是任意一个集合的子集,也就是说,
对任意集合A,都有A.
性质
(1)AA
任何一个集合是它本身的子集;
(2)A
空集是任何集合的子集;
(3)对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC;
(4)对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC.
判断:
集合A是否为集合B的子集,若是则在()打√,若不是则在()打×.
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6};()
(2)A={1,3,5},B={1,3,6,9}; ()
(3)A={0},B={x|x2+2=0};()
(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.()
例1
(1)写出集合A={1,2}的所有子集及真子集;
(2)写出集合B={1,2,3}的所有子集及真子集;
(3)若集合M由4个元素构成,那么它的子集共有多少个?
真子集的个数呢?
如果一个集合中有n个元素,那么它的子集有多少个?
真子集有多少个?
本节课我们学习的内容
(1)集合之间的关系:
子集、真子集;
(2)若集合A中的元素个数为n,那么集合A的子集的个数为2n,其真子集的个数为2n1.
答案:
判断1.√2.×3.×4.√
例1:
解:
(1)集合A的所有子集是,{1},{2},{1,2};A的真子集是上述子集中,去掉{1,2}.
解:
(2)集合B的所有子集是
,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3};
B的真子集是上述子集中,去掉{1,2,3}.
解:
(3)若集合M由4个元素构成,那么它的子集共有16个;真子集的个数为15个.
解:
集合的所有子集个数是2n;所有真子集个数是2n1.
1.1.2集合之间的关系
(二)
复习提问:
观察实例:
两个集合有何关系?
(1)A={1,3},B={1,3,5,6};
(2)C={x|x是长方形},D={x|x是平行四边形};
(3)P={x|x是菱形},Q={x|x是正方形};
(4)S={x|x>3},T={x|3x-6>3};
(5)E={x|(x+1)(x+2)=0},F={-1,-2}.
概念形成:
集合相等:
如果两个集合的元素完全相同,那么
我们就说这两个集合相等.
集合A等于集合B,记作A=B.
可见,集合A=B,是指A,B的所有元素完全相同.
例:
{1,-1}={-1,1}.
如果AB,又BA,那么A=B;
反之,如果A=B,那么AB,并且BA.
例1 指出下面集合之间的关系:
(1)A={x|x2-9=0} ,B={-3,3};
(2)M={x||x|=1},N={-1,1};
例2 指出下面集合之间的关系:
(1)A={2,4,5,7},B={2,5};
(2)P={x|x2=1},Q={-1,1};
(3)C={正奇数},D={正整数};
(4)M={等腰直角三角形},N={有一个角是45°的直角三角形}
练习1 用适当的符号(,,=,,)填空:
(1)a{a,b,c};
(2){4,5,6}{6,5,4};
(3){a}{a,b,c};
(4){a,b,c}{b,c};
(5){1,2,3};
(6){x|x是矩形}{x|x是平行四边形};
(7)5{5};
(8){2,4,6,8}{2,8}.
本节课我们学习的内容:
(1)ABA=B或AB;
(2)若集合A中的元素个数为n,
那么其子集的个数为2n,
其真子集的个数为2n1;
(3)严格区分元素与集合、集合与集合的关系.
例1:
解
(1)A=B;
(2)M=N.
例2:
解
(1)BA;
(2)P=Q;
(3)CD;(4)M=N;
附高一数学周末练习1(集合的基本运算)
1.满足A∪{1,2}={1,2,3,4}的集合A的个数是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.已知集合A={y|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=( )
A.{(0,1),(1,2)} B.{0,1} C.{1,2} D.
3.设集合P={m|-1 R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D. 4.设全集I={1,2,3,4,5},若A∩B={2}, ,则下列结论正确的是( ) A. B. C.3 A,3 B D. 5.已知集合A={x|x2+x-6=0}与B={y|ay+1=0}满足 ,则a的取值是______. 6.已和全集U={2,3,a2+2a-3},若A={b,2}, ,则这数a=___,b=____. 7.非空集合P满足下列两个条件: (1)P {1,2,3,4,5}, (2)若元素a P,则6-a P,则集合P个数是_____. 8.已知集合M={y|y=x2+1,x R},N={x R|y=x+1},则M∩N=_____. 9.设A={x|x2+(b+2)x+b+1=0,b R},则A中所有元素之和为_____. 10.设集合={x|x2-x-6<0},Q={x|x-a≥0} (1)若 ,求实数a的取值范围; (2)若 ,求实数a的取值范围; (3)若 ={x|0≤x<3},求实数a的值。 答案: 1.D(集合A={3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}) 2.D 3.A(提示: 当m=0时,不等式mx2+4mx-4<0即为-4<0恒成立 当m≠0时,若要满足不等式mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立, 需 ,解得-1 所以集合Q={m R|-1 Q.) 4.A 5. (提示: A={2,-3},因为 ,所以 或y=2或y=-3) 6.2,-4;3 7.6 8. 9.-1或-(b+2)(提示: 分b=0和b≠0两种情况) 10. (1)a≤-2 (2)a≥3 (3)a=0 (提示: P={x|-2
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- 第一章 集合 命题