ABC为锐角三角形)。
222abc,,b(定理中,,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形ac
222acb,,三边长,b,满足,那么以,b,为三边的三角形是直角三角形,但acac
b是为斜边)
3:
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
4:
互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
6:
勾股数
222abc,,?
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,,,ba为正整数时,称,b,为一组勾股数cac
3,4,56,8,105,12,137,24,25?
记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;;;等
勾股定理练习
一(填空题:
1.在Rt?
ABC中,?
C=90?
(1)若a=5,b=12,则c=________;
(2)b=8,c=17,则S=________。
?
ABC
2.若一个三角形的三边之比为5?
12?
13,则这个三角形是________(按角分类)。
B
A第8题图
8(一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所
行的最短路线的长是_____________。
二(选择题:
9(观察下列几组数据:
(1)8,15,17;
(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有()组
A.1B.2C.3D.4
6
4
A
1
0
0
10(三个正方形的面积如图,正方形A的面积为()
A.6B.,C.64D.811.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为(),(,,,(,(,,或,(不能确定119119
12.下列命题?
如果a、b、c为一组勾股数,那么4a、4b、4c仍是勾股数;?
如果直角三角形的两边是5、12,那么斜边必是13;?
如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;?
一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,(a>b=c),
222那么a?
b?
c=2?
1?
1。
其中正确的是()
A、?
?
B、?
?
C、?
?
D、?
?
2213.三角形的三边长为(a+b)=c+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()
A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里15.已知等腰三角形的腰长为10,一腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为()
A、40B、80C、40或360D、80或36016(某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()
A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元
北
A东20m30m150?
南第14题第16题图
图
三(解答题:
19(有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求竹竿高与门高。
20(一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,
(1)这个梯子的顶端距地面有多高,
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米,A
A′
OB′AB
第20题图A
平行四边形
平行四边形
定义:
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示:
平行四边形用符号“?
”来表示。
平行四边形性质:
平行四边形对边相等;平行四边形对角相等;平行四边形对角线互相平分
平行四边形的面积等于底和高的积,即S=ah,其中a可以是平行四边形的任何一?
ABCD
边,h必须是a边到其对边的距离,即对应的高。
平行四边形的判定:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线看:
对角钱互相平分的四边形是平行四边形
从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点,则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且这条直线二等分平行四边形的面积。
知识巩固
4.如图,ABCD的对角线AC和BD相较于点O,如果AC=10,BD=12,AB=m,那么m的取值范围是。
1、已知ABCD的对角线交于O,过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F,求证:
OE=OF.
2、如图,在周长为20cm的?
ABCD中,AB?
AD,AC、BD相交于点O,OE?
BD交AD于E,则?
ABE的周长为cm.
EAD
O
CB
1.平行四边形的周长等于56cm,两邻边长的比为3?
1,那么这个平行四边形较长的边长为_______.
2、在中,?
+?
=270?
,则?
=______,?
=______.?
ABCDACBC
3.如图,中,过对角线的交点,=4,=3,=1.3,则四边形的周?
ABCDEFOABADOFBCEF长为()A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
4、如图,在?
ABCD中,AB=AC,若?
ABCD的周长为38cm,?
ABC的周长比?
ABCD的周长少10cm,求?
ABCD的一组邻边的长.
1.在?
ABCD中,?
A?
?
B?
?
C?
?
D的值的比可能是()
A.1?
2?
3?
4B.1?
2?
2?
1C.1?
1?
2?
2D.2?
1?
2?
1
ABCD2、如图,在中,AB=10cm,AB边上的高DH=4cm,BC=6cm,则BC边上的高DF的长为。
ABADACBC,,,13,5,,ABCDS2、如图,在中,则=ABCD
ABCDS:
如图,已知中,M是BC的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,求ABCD
ABCDAEBC,AFCD,ABCD2、如图,在中,于,于,若AE=4,AF=6,的EF
ABCD周长为40,求的面积。
3、国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏(某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花(如果有ABEFDC?
?
BCGHAD?
?
,,那么下列说法中错误的是()A(红花、绿花种植面积一定相等B(紫花、橙花种植面积一定相等C(红花、蓝花种植面积一定相等D(蓝花、黄花种植面积一定相等
EAD绿紫红GH黄橙蓝BCF
例3
BCEDCFABCD,,:
BAD324、如图,在中,,分别以BC、CD为边向外作和,
,,,EBCCDF使BE=BC,DF=DC,,延长AB交边EC于点H,点H在E、C两点之间,连
,EBH接AE、AF。
(1)求证:
ABEFDA,;
(2)当AEAF,时,求的度数。
1(能判定四边形是平行四边形的条件是()
A(一组对边平行,另一组对边相等B(一组对边相等,一组邻角相等C(一组对边平行,一组邻角相等D(一组对边平行,一组对角相等5、如图,?
ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,四边形EGFH是平行四边形,说明理由.
例1、如图,在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F,求证:
四边形ABDF是平行四边形(
21(如右图所示,在ABCD中,BF?
AD于F,BE?
CD于E,若?
A=60?
,AF=3cm,
CE=2cm,求ABCD的周长(
22(如图所示,在ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
求证:
(1)AE=CF;
(2)AE?
CF(
AD
F
E
CB
例1,如图,已知AC是ABCD的一条对角线,BM?
AC,ND?
AC,垂足分别是M、
N.求证:
四边形BMDN是平行四边形.
证法一:
?
四边形ABCD是平行四边形
?
AB=CD
?
AB?
CD,?
?
3=?
4
又?
BM?
AC,DN?
AC
?
?
1=?
2=90?
?
BM?
DN且?
ABM?
?
CDN
?
BM=DN,又BM?
DN
?
四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
证法二:
如图,连结BD交AC于O.
?
四边形ABCD是平行四边形
?
BO=DO(平行四边形对角线互相平分)?
BM?
AC,DN?
AC
?
?
1=?
2=90?
,
又?
?
3=?
4,?
?
MOB?
?
NOD?
OM=ON
?
四边形BMDN是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
2.已知如图:
O是ABCD的对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F
两点.
求证:
四边形AECF是平行四边形.证明:
?
四边形ABCD是平行四边形?
AB?
CD,?
?
1=?
2
?
O是对角线AC的中点,
?
OA=OC
又?
AOE=?
COF
?
?
AOE?
?
COF
?
OE=OF,又OA=OC
?
四边形AECF是平行四边形.
2(如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形的周长为()(
9(A)9(B)6(C)3(D)2
3(平行四边形的两条对角线分别为6和10,则其中一条边x的取值范围为()(
(A)4(A)有两组对边分别平行的图形是平行四边形
(B)平行四边形的对角线相等
(C)平行四边形的对角互补,邻角相等
(D)平行四边形的对边平等且相等
20((8分)已知:
如图,在?
ABC中,中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点(求证:
四边形DFGE是平行四边形(
一次函数
1、一次函数的定义
ykxb,,kbk,0一般地,形如(,是常数,且)的函数,叫做一次函数,其中x
ykx,b,0是自变量。
当时,一次函数,又叫做正比例函数。
ykxb,,?
一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式(
ykx,b,0k,0?
当,时,仍是一次函数(
b,0k,0,时,它不是一次函数(?
当
?
正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数(
2、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k?
0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注:
正比例函数一般形式y=kx(k不为零)?
k不为零?
x指数为1?
b取零
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,•直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小(9(解析式:
y=kx(k是常数,k?
0)
10(必过点:
(0,0)、(1,k)
11(走向:
k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,•图像经过二、四象限12(增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小13(倾斜度:
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地,形如y=kx,b(k,b是常数,k?
0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx,b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:
一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)?
k不为零?
x指数为1?
b取任意实数
b一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它k
为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
b
(1)解析式:
y=kx+b(k、b是常数,k0)
(2)必过点:
(0,b)和(-,,k)0
(3)走向:
k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限k,0k,0,,直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限,,,,b,0b,0,,
k,0k,0,,直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限,,,,b,0b,0,,
(4)增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.(5)倾斜度:
|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.(6)图像的平移:
当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
kkxbk,,,0,,
函数
k,0k,0k~
b
b,0b,0b,0b,0b,0
符号b,0
yyyyyy
图象OOOOOOxxxxxx
随的增大而增大随的增大而减小yyxx性质
4、一次函数y=kx,b的图象的画法.
根据几何知识:
经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:
是先选取它与两坐标轴的交点:
(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0b<0b=0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降,y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx,b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数一次函数
一般地,形如y=kx(k是常数,一般地,形如y=kx,b(k,b是常数,k?
0),概念
k?
0)的函数叫做正比例函数,其那么y叫做x的一次函数.当b=0时,是y=kx,
中k叫做比例系数所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量X为全体实数
范围
图象一条直线
b必过点(0,0)、(1,k)(0,b)和(-,0)k
走向k>0时,直线经过一、三象限;k,0,b,0,直线经过第一、二、三象限
k<0时,直线经过二、四象限k,0,b,0直线经过第一、三、四象限
k,0,b,0直线经过第一、二、四象限
k,0,b,0直线经过第二、三、四象限增减性k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上升)
k<0,y随x的增大而减小。
(从左向右下降)
倾斜度|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
图像的bb>0时,将直线y=kx的图象向上平移个单
位;平移
bb<0时,将直线y=kx的图象向下平移个单
位.
6、直线()与()的位置关系y,kx,bk,0y,kx,bk,0111222
(1)两直线平行且
(2)两直线相交,,k,kb,bk,k121212(3)两直线重合且(4)两直线垂直,,k,kb,bkk,,1121212
巩固练习
一、选择题:
1(已知y与x+3成正比例,并且x=1时,y=8,那么y与x之间的函数关系式为()
(A)y=8x(B)y=2x+6(C)y=8x+6(D)y=5x+3
2(若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过()
(A)一象限(B)二象限(C)三象限(D)四象限
3(直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是()
(A)4(B)6(C)8(D)16
4(若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x
(kg)之间的函数解析式分别为y=kx+a和11
y=kx+a,如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y,乙弹簧长为y,则2212
y与y的大小关系为()12
(A)y>y(B)y=y1212
(C)y5(设b>a,将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内,•则有
一组a,b的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是()
6(若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过第()象限(
(A)一(B)二(C)三(D)四
7(一次函数y=kx+2经过点(1,1),那么这个一次函数()
(A)y随x的增大而增大(B)y随x的增大而减小
(C)图像经过原点(D)图像不经过第二象限
339(要得到y=-x-4的图像,可把直线y=-x()(22
(A)向左平移4个单位(B)向右平移4个单位
(C)向上平移4个单位(D)向下平移4个单位
210(若函数y=(m-5)x+(4m+1)x(m为常数)中的y与x成正比例,则m的值为()
11(A)m>-(B)m>5(C)m=-(D)m=544
11(若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限,则k的取值范围是()(
111(A)k<(B)1(D)k>1或k<333
12(过点P(-1,3)直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,•这样的直线可
以作()
(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条
abbcca,,,13(