三年级下册数学试题奥数专题讲练第7讲 巧填符号提高篇解析版全国通用.docx
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三年级下册数学试题奥数专题讲练第7讲 巧填符号提高篇解析版全国通用.docx
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三年级下册数学试题奥数专题讲练第7讲巧填符号提高篇解析版全国通用
第七讲巧填算符
知识导航
所谓填算符,就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号),从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
在填算符的问题中,所填的算符包括+、-、×、÷、()、[]、{}。
解决这类问题常用的基本方法:
凑数法、逆推法和试填法,常常这几种方法并用。
凑数法是根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,然后,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。
凑数法常用于数字较多,结果也较大的题目。
逆推法常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。
逆推法常用于数字不太多,题目比较小的题目。
在解决实际填算符的问题时,通常需要我们打开思维,多方位思考!
例题精讲
【例1】在4个4之间填上+、-、×、÷或括号,使算式成立。
4444=8
分析:
这类问题我们可以用倒推法解决。
想想:
□+4=8,□-4=8,□×4=8,□÷4=8
1从□+4=8考虑,前面3个4得4,即有4+4-4+4=8,4-4+4+4=8,4-﹝4-4﹞+4=8
2从□-4=8考虑,前面3个4得12,即有4+4+4-4=8,4×4-4-4=8
3从□×4=8考虑,前面3个4得2,即有﹝4+4﹞÷4×4=8
4从□÷4=8考虑,前面3个4得32,即有﹝4+4﹞×4÷4=8,4×﹝4+4﹞÷4=8
【例2】在下列五个5之间,添加适当的运算符号+、-、×、÷或括号,使下面的算式成立。
55555=10
分析:
由于5的个数比较少,因此采用倒推法,即从结果出发,由后往前进行推想。
如果最后一个5前面添“+”号,那么我们只要使5555=5成立便可,然后继续由后往前推,重复上面的想法,只要使555+5=5,即555=0,这个等式很容易完成,因此可以得到如下填法:
(5-5)×5+5+5=10;(5-5)÷5+5+5=10;5×(5-5)+5+5=10;
同样思路可得:
5×5-5-5-5=10;(5÷5+5÷5)×5=10;(5×5+5×5)÷5=10。
【例3】在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立:
88888888=1000
分析:
要在八个8之间只添加号,使和为1000,可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数,它可以是888,而888+88=976,此时,用去了五个8,剩下的三个8应凑成1000-976=24,这只要三者相加就行了。
所以有888+88+8+8+8=1000。
【例4】在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立:
88888888=1999
分析:
在1999=1111+888,所以易得:
8888÷8+888=1999,注意发散思维。
【例5】在下面算式合适的地方添上+、-、×,使等式成立。
12345678=1
分析:
法1:
逆推法。
这道题的特点是等号左边的数字比较多,而等号右边的得数是最小的自然数1,可以考虑在等号左边最后一个数字8的前面添“-”号。
这时,算式变为:
1234567-8=1
只需让1234567=9就可以了,考虑在7的前面添“+”号,则算式变为123456+7=9,只需让123456=2就可以了,同开始时的想法,在6的前面添“-”号,算式变为12345-6=2,这时只要12345=8即可.同样,在5前面添“+”号,则只需1234=3即可.观察发现,只要这样添:
1+2×3-4=3就得到本题的一个解为1+2×3-4+5-6+7-8=1。
法2:
这类问题用“和差法”也比较好做。
8个数和为36,差为1。
一奇一偶,无法用和差,就把1×2,则和为35,差为1.(35-1)÷2=17,减数为17,凑17,可以是-4-6-7或-4-5-8则为1+2×3-4+5-6+7-8=1,
1+2×3-4-5+6-7+8=1。
【例6】
(1)(第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛A卷)请用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数3、3、5、6组成算式,使得数为24.算式为_________.
(2)(第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数6、8、8、9组成算式,使最后得数为24.算式为__________.
(3)用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数3、4、6、10组成算式,使最后得数为24.算式为__________.
分析:
(1)5×6-3—3=24或(3+5)×(6—3)=24;(3×3-5)×6=24
(2)8×9—8×6=24;
(3)(10+4-6)×3=24,4+6÷3×10=24,3×6-4+10。
这类题目称为“24点游戏”,就是给你4个数字,通过添加运算符号,使结果得到24。
【例7】在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立:
823=33
分析:
首先考察右端“33”,它有四种填法:
3+3=6,3-3=0,3×3=9,3÷3=1;再考察左端“823”,因为只有一个奇数3,所以要想得到奇数,3的前面只能填“+”或“-”,要想得到偶数,3的前面只能填“×”。
经试填,只有两种符合题意的填法:
8-2+3=3×3;8÷2-3=3÷3。
【例8】(首届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)在下面的数字之间添上五个加号“+”,组成算式,算出的结果最小=________.123456789
分析:
要使结果最小,必须在6与7、7与8、8与9之间添“+”号,因此有:
12+34+56+7+8+9=126.
【例9】用2,4,6,8,10,12,14,16这八个数填入下面算式的口中,每个数只能填一次,那么怎样填使计算结果最大。
分析:
显得知,2×4+6×8×10+12×14×16最大。
【例10】将1——9这九个数字,分别填入下面九个□中,使乘积最大
□□□×□□□×□□□
分析:
遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则和“和一定,差小积大”,有941×852×763
教师还可参讲附7,请灵活把握。
附加题目
【附1】(第二届“迎春杯”决赛)试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号:
+、一、×、÷,使运算结果等于1986.
888888888888888=1986
分析:
有了上题作铺垫,我们就不难得到:
8888÷8+888—88÷8—8÷8—8÷8=1986。
【附2】第九届《小数报》数学竞赛初赛)在888888888中添上适当的运算符号及括号,可使计算结果为1998.请写出一个这样的算式________.
分析:
由1998=111×18可以写出一个算式:
888÷8×[(88—8)÷8+8].在一些情况下,我们需要对数字进行乘法“解剖”。
【附3】(第十届“迎春杯”决赛)在下面各数之间,填上适当的运算符号和括号,使等式成立
106932=48
分析:
填法不唯一,下面给出几种试卷中常见的填法:
10×6一(9—3)×2=48;(10+6)×(9—3×2)=48;
10+6×(9—3)+2=48;10×(6+9)÷3—2=48;(10+6)×(9—3)÷2=48.
【附4】(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛C卷)在口中填上适当运算符号“+、一、×、÷”,使下面等式成立:
6口3口2=5口4,这样填写的方法共有_______种.
分析:
共有4种填法:
6×3÷2=5+4:
6—3—2=5—4;6÷3÷2=5—4;6×3+2=5×4.
【附5】只添一个加号和两个减号,使下面的算式成立。
123456789=100
分析:
123-45-67+89=100
【附6】在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立:
(1)4444=24
(2)55555=6
分析:
(1)因为4+4+4+4<24,所以必须填一个“×”。
4×4=16,剩下的两个4只需凑成8,因此,有如下一些填法:
4×4+4+4=24;4+4×4+4=24;4+4+4×4=24。
(2)因为5+1=6,等号左端有五个5,除一个5外,另外四个5凑成1,至少要有一个“÷”,有如下填法:
5÷5+5-5+5=6;5+(5+5)÷(5+5)=6;5+5×5÷5÷5=6;5+5÷5×5÷5=6,55÷55+5=6,答案不唯一。
【附7】在下面八个□里分别填上1——8,使差最小是多少。
□□□□-□□□□
分析:
最高位相差1,先放其它位,最小减最大,5123-4876=247
练习七
1.在下列算式的□中,添入加号和减号,使等式成立。
①1□23□4□5□6□78□9=100
②12□3□4□5□6□7□89=100
解答:
2.在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立:
888888888=2007
解答:
8888÷8+888+8=2007。
3.用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数1、3、3、4组成算式,使最后得数为24.算式为__________.
解答:
3×4×(3-1)=24。
4.在下面的数字之间添上四个加号“+”,组成算式,算出的结果最小=________.
123456789
解答:
12+34+56+78+9=189。
5.用1——6组成2个三位数,差最小是多少?
解答:
412-365=47
6.在下面算式中填入5、4、3、2,每个数只能填一次,那么怎样填使计算结果最大。
口口×口口
解答:
52×43。
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唐诗中的“数字”
转自《写作导报》,2003年2月5日,南京大学教授方延明
欣赏唐诗,常常发现许多含有数字的句子,这些简单的数字就它本身来说,既无形象,也不能抒情言志,但经诗人妙笔点化,却能创造出各种美妙的艺术境界,表达出无穷的妙趣。
(一)数字的连用
“两人对酌山花开,一杯一杯复一杯。
我醉欲眠卿且去,明朝有意抱琴来。
”这是李白的《山中与幽人对酌》。
诗得首句写“两人对酌”,对酌者是意气相投的“幽人”,于是乎“一杯一杯复一杯”地开怀畅饮了,接连重复三次“一杯”,不但极写饮酒之多,而且极写快意之至,读者仿佛看到了那痛饮狂歌的情景,听到了“将进酒,杯莫停”(《将进酒》)那兴高采烈的劝酒的声音,以至于诗人“我醉欲眠卿且去”,一个随心所欲,恣情纵饮,超凡脱俗的艺术形象挥之欲出。
(二)数字的搭配
“两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天。
窗含西岭千秋雪。
门泊东吴万里船。
”这是杜甫的即景小诗《绝句》。
“两个”写鸟儿在新绿的柳枝上成双成对歌唱,呈现出一派愉悦的景色。
“一行”则写出白鹭在“青天”的映衬下,自然成行,无比优美的飞翔姿态。
“千秋”言雪景时间之长。
“万里”言船景空间之广,给读者以无穷的联想。
这首诗一句一景,一景一个数字,构成了一个优美、和谐的意境。
诗人真是视通万里,思接千载,胸怀广阔,让读者叹为观止。
(三)数字的对比
“黄河远上白云间,一片孤城万仞山。
羌笛何须怨杨柳,春风不度玉门关。
”这是王之涣《凉州词》。
这首诗通过对边塞景物的描绘,反映了戍边将士艰苦的征战生活和思乡之情,表达了作者对广大战士的深切同情。
首联的两句诗写黄河向远处延伸直上云天,一座孤城坐落在万仞高山之中,极力渲染西北边地辽阔、萧疏的特点,借景物描写衬托征人戍守边塞凄凉忧怨的心情。
千岩迭障中的孤城,用“一”来修饰,和后面的“万”形成强烈对比,愈显出城地的孤危,勾画出一幅荒寒萧索的景象。
(四)用数字点睛
“万木冻欲折,孤根暖独回。
前村深雪里,昨夜一枝开。
风递幽香出,禽窥素燕来。
明年如应律,先发望春台。
”这是齐己的五言律诗《早梅》。
齐己曾就这首诗求教于郑谷,,诗的第二联原为“前村深雪里,昨夜数枝开。
”郑谷读后说:
“‘数枝’非‘早’也,未若‘一枝’佳。
”齐己深为佩服,便将“数枝”改为“一枝”,并称齐己为“一字师”,这虽属传说,但说明“一枝”两字是极为精彩的一笔。
这首诗的立意在于“早”:
一场大雪过后,万物被积雪所盖,唯见一枝坚毅的梅花蓓蕾初放。
“一”在此表示少,但突出的却是"早",而“一枝开”使人联想到“昂首怒放花万朵”,其中蕴含的对梅花顽强生命力的赞颂又自在言外。
“一”字妙用,切合了“早梅”的立意,在全诗中起到了画龙点睛的作用。
唐诗中运用数字的例子是不胜枚举的,仅此文一斑,我们便可窥见数字在诗人笔下所产生的审美情趣是多么神奇。
第七讲巧填算符
知识导航
所谓填算符,就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号),从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
在填算符的问题中,所填的算符包括+、-、×、÷、()、[]、{}。
解决这类问题常用的基本方法:
凑数法、逆推法和试填法,常常这几种方法并用。
凑数法是根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,然后,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。
凑数法常用于数字较多,结果也较大的题目。
逆推法常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。
逆推法常用于数字不太多,题目比较小的题目。
在解决实际填算符的问题时,通常需要我们打开思维,多方位思考!
例题精讲
【例1】在4个4之间填上+、-、×、÷或括号,使算式成立。
4444=8
分析:
这类问题我们可以用倒推法解决。
想想:
□+4=8,□-4=8,□×4=8,□÷4=8
5从□+4=8考虑,前面3个4得4,即有4+4-4+4=8,4-4+4+4=8,4-﹝4-4﹞+4=8
6从□-4=8考虑,前面3个4得12,即有4+4+4-4=8,4×4-4-4=8
7从□×4=8考虑,前面3个4得2,即有﹝4+4﹞÷4×4=8
8从□÷4=8考虑,前面3个4得32,即有﹝4+4﹞×4÷4=8,4×﹝4+4﹞÷4=8
【例2】在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立:
(1)4444=24
(2)55555=6
分析:
(1)因为4+4+4+4<24,所以必须填一个“×”。
4×4=16,剩下的两个4只需凑成8,因此,有如下一些填法:
4×4+4+4=24;4+4×4+4=24;4+4+4×4=24。
(2)因为5+1=6,等号左端有五个5,除一个5外,另外四个5凑成1,至少要有一个“÷”,有如下填法:
5÷5+5-5+5=6;5+(5+5)÷(5+5)=6;5+5×5÷5÷5=6;5+5÷5×5÷5=6,55÷55+5=6,答案不唯一。
【例3】在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立:
88888888=1000
分析:
要在八个8之间只添加号,使和为1000,可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数,它可以是888,而888+88=976,此时,用去了五个8,剩下的三个8应凑成1000-976=24,这只要三者相加就行了。
所以有888+88+8+8+8=1000。
【例4】在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立:
88888888=1999
分析:
在1999=1111+888,所以易得:
8888÷8+888=1999,注意发散思维。
【例5】在下面算式合适的地方添上+、-、×,使等式成立。
12345678=1
分析:
法1:
:
逆推法。
这道题的特点是等号左边的数字比较多,而等号右边的得数是最小的自然数1,可以考虑在等号左边最后一个数字8的前面添“-”号。
这时,算式变为:
1234567-8=1
只需让1234567=9就可以了,考虑在7的前面添“+”号,则算式变为123456+7=9,只需让123456=2就可以了,同开始时的想法,在6的前面添“-”号,算式变为12345-6=2,这时只要12345=8即可.同样,在5前面添“+”号,则只需1234=3即可.观察发现,只要这样添:
1+2×3-4=3就得到本题的一个解为1+2×3-4+5-6+7-8=1。
法2:
这类问题用“和差法”也比较好做。
8个数和为36,差为1。
一奇一偶,无法用和差,就把1×2,则和为35,差为1.(35-1)÷2=17,减数为17,凑17,可以是-4-6-7或-4-5-8则为1+2×3-4+5-6+7-8=1,
1+2×3-4-5+6-7+8=1。
【例6】
(1)(第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛A卷)请用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数3、3、5、6组成算式,使得数为24.算式为_________.
(2)(第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数6、8、8、9组成算式,使最后得数为24.算式为__________.
(3)用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数3、4、6、10组成算式,使最后得数为24.算式为__________.
分析:
(1)5×6-3—3=24或(3+5)×(6—3)=24;
(2)8×9—8×6=24;
(3)(10+4-6)×3=24,4+6÷3×10=24,3×6-4+10。
这类题目称为“24点游戏”,就是给你4个数字,通过添加运算符号,使结果得到24。
【例7】在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立:
823=33
分析:
首先考察右端“33”,它有四种填法:
3+3=6,3-3=0,3×3=9,3÷3=1;再考察左端“823”,因为只有一个奇数3,所以要想得到奇数,3的前面只能填“+”或“-”,要想得到偶数,3的前面只能填“×”。
经试填,只有两种符合题意的填法:
8-2+3=3×3;8÷2-3=3÷3。
【例8】(首届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)在下面的数字之间添上五个加号“+”,组成算式,算出的结果最小=________.123456789
分析:
要使结果最小,必须在6与7、7与8、8与9之间添“+”号,因此有:
12+34+56+7+8+9=126.
【例9】在下面八个□里分别填上1——8,使差最小是多少。
□□□□-□□□□
分析:
最高位相差1,先放其它位,最小减最大,5123-4876=247
【例10】将1——9这九个数字,分别填入下面九个□中,使乘积最大
□□□×□□□×□□□
分析:
遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则和“和一定,差小积大”,有941×852×763
附加题目
【附1】(第二届“迎春杯”决赛)试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号:
+、一、×、÷,使运算结果等于1986.
888888888888888=1986
分析:
有了上题作铺垫,我们就不难得到:
8888÷8+888—88÷8—8÷8—8÷8=1986。
拓展:
第九届《小数报》数学竞赛初赛)在888888888中添上适当的运算符号及括号,可使计算结果为1998.请写出一个这样的算式________.
分析:
由1998=111×18可以写出一个算式:
888÷8×[(88—8)÷8+8].在一些情况下,我们需要对数字进行乘法“解剖”。
【附2】(第十届“迎春杯”决赛)在下面各数之间,填上适当的运算符号和括号,使等式成立
106932=48
分析:
填法不唯一,下面给出几种试卷中常见的填法:
10×6一(9—3)×2=48;(10+6)×(9—3×2)=48;
10+6×(9—3)+2=48;10×(6+9)÷3—2=48;(10+6)×(9—3)÷2=48.
【附3】(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛C卷)在口中填上适当运算符号“+、一、×、÷”,使下面等式成立:
6口3口2=5口4,这样填写的方法共有_______种.
分析:
共有4种填法:
6×3÷2=5+4:
6—3—2=5—4;6÷3÷2=5—4;6×3+2=5×4.
【附4】只添一个加号和两个减号,使下面的算式成立。
123456789=100
分析:
123-45-67+89=100
【附5】在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立:
(1)4444=24
(2)55555=6
分析:
(1)因为4+4+4+4<24,所以必须填一个“×”。
4×4=16,剩下的两个4只需凑成8,因此,有如下一些填法:
4×4+4+4=24;4+4×4+4=24;4+4+4×4=24。
(2)因为5+1=6,等号左端有五个5,除一个5外,另外四个5凑成1,至少要有一个“÷”,有如下填法:
5÷5+5-5+5=6;5+(5+5)÷(5+5)=6;5+5×5÷5÷5=6;5+5÷5×5÷5=6,55÷55+5=6,答案不唯一。
练习七
1.在下列算式的□中,添入加号和减号,使等式成立。
①1□23□4□5□6□78□9=100
②12□3□4□5□6□7□89=100
解答:
2.在下面算式适当的地方添上加号,使算式成立:
888888888=2007
解答:
8888÷8+888+8=2007。
3.用四则运算符号+、一、×、÷(每种可用多次,也可不用),括号(如果需要的话)及四个数1、3、3、4组成算式,使最后得数为24.算式为__________.
解答:
3×4×(3-1)=24。
4.在下面的数字之间添上四个加号“+”,组成算式,算出的结果最小=________.
123456789
解答:
12+34+56+78+9=189。
5..用1——6组成2个三位数,差最小是多少?
解答:
412-365=47
6.在下面算式中填入5、4、3、2,每个数只能填一次,那么怎样填使计算结果最大。
口口×口口
解答:
52×43。
课外阅读
唐诗中的“数字”
转自《写作导报》,2003年2月5日,南京大学教授方延明
欣赏唐诗,常常发现许多含有数字的句子,这些简单的数字就它本身来说,既无形象,也不能抒情言志,但经诗人妙笔点化,却能创造出各种美妙的艺术境界,表达出无穷的妙趣。
(一)数字的连用
“两人对酌山花开,一杯一杯复一杯。
我醉欲眠卿且去,明朝有意抱琴来。
”这是李白的《山中与幽人对酌》。
诗得首句写“两人对酌”,对酌者是意气相投的“幽人”,于是乎“一杯一杯复一杯”地开怀畅饮了,接连重复三次“一杯”,不但极写饮酒之多,而且极写快意之至,读者仿佛看到了那痛饮狂歌的情景,听到了“将进酒,杯莫停”(《将进酒》)那兴高采烈的劝酒的声音,以至于诗人“我醉欲眠卿且去”,一个随心所欲,恣情纵饮,超凡脱俗的艺术形象挥之欲出。
(二)数字的搭配
“两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天。
窗含西岭千秋雪。
门泊东吴万里船。
”这是杜甫的即景小诗《绝句》。
“两个”
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