三角形内角和定理1.docx
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三角形内角和定理1.docx
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三角形内角和定理1
授课人
备课时间
上课时间
执教班级
课题
三角形内角和定理1
教学课时
1
教学课型(新授、复习、
习题、实验等)
新授课
教学
目标
(一)教学知识点
三角形的内角和定理的证明.
(二)能力训练要求
掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观察、猜想和论证能力.
(三)情感与价值观要求
通过新颖、有趣的实际问题,来激发学生的求知欲.
教学
重点、
难点
●教学重点
三角形内角和定理的证明方法运用
●教学难点
三角形内角和定理的证明方法.
媒体运用
电子白板
预设过程(应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等)
Ⅰ.巧设现实情境,引入新课
[师]大家来看一机器零件
工人师傅将凹型零件(图1)加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽(图2)的程序是:
将垂直的铣刀倾斜偏转35°角(图3),就能得到55°的燕尾槽底角.
图1 图2 图3
为什么铣刀偏转35°角,就能得到55°的燕尾槽底角呢?
Ⅱ.讲授新课
[师]为了回答这个问题,先观察如下的实验(电脑实验,或实物实验)
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点,A为动点(如图4),放松橡皮筋后,点A自动收缩于BC上,请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形:
△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢?
图4
[生甲]当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.
[生乙]三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
[师]很好.在三角形中,最大的内角有没有等于或大于180°的?
[生丙]三角形的最大内角不会大于或等于180°.
[师]很好.看实验:
当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行,这时,∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜:
三角形的内角和可能是多少?
[生齐声]180°
[师]180°,这一猜测是否准确呢?
我们曾做过如下实验:
实验1:
先将纸片三角形一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行(图5
(1))然后把另外两角相向对折,
使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图
(2)、(3)),最后得图(4)所示的结果.
(1)
(2)(3)(4)
图5
实验2:
将纸片三角形三顶角剪下,随意将它们拼凑在一起.
[师]由实验可知:
我们猜对了!
三角形的内角之和正好为一个平角.
但观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?
请同学们再来看实验.
图6
这里有两个全等的三角形,我把它们重叠固定在黑板上,然后把三角形ABC的上层∠B剥下来,沿BC的方向平移到∠ECD处固定,再剥下上层的∠A,把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.
这时,∠A与∠ACE能重合吗?
[生齐声]能重合.
[师]为什么能重合呢?
[生齐声]因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA.
[师]很好,这样我们就可以证明了:
三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明:
三角形的内角和等于180°这个真命题.
这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢?
[生]需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证.
[师]对,下面大家来证明,哪位同学上黑板给大家板演呢?
图7
[生甲]已知,如图7,△ABC.
求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证明:
作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
即:
∠A+∠B+∠C=180°.
[生乙]老师,我的证明过程是这样的:
证明:
作BC的延长线CD,作∠ECD=∠B.
则:
EC∥AB(同位角相等,两直线平行)
∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等)
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°)
∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换)
[师]同学们写得证明过程很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
我们通过推理的过程,得证了命题:
三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理.即:
三角形的内角和定理.
小明也在证明三角形的内角和定理,他是这样想的.大家来议一议,他的想法可行吗?
图8
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC.(如图8)他的想法可行吗?
你有没有其他的证法.
[生甲]小明的想法可行.因为:
∵PQ∥BC(已作)
∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等)
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180°)
∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换)
图9
[生乙]也可以这样作辅助线.即:
作CA的延长线AD,过点A作∠DAE=∠C(如图9).
[生丙]也可以在三角形的一边上任取一点,然后过这一点分别作另外两边的平行线,这样也可证出定理.
图10
即:
如图10,在BC上任取一点D,过点D分别作DE∥AB交AC于E,DF∥AC交AB于F.
∴四边形AFDE是平行四边形(平行四边形的定义)
∠BDF=∠C(两直线平行,同位角相等)
∠EDC=∠B(两直线平行,同位角相等)
∴∠EDF=∠A(平行四边形的对角相等)
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°(1平角=180°)
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)
[师]同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
图11
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?
等边三角形的一个内角是多少度?
请证明你的结论.
答案:
90°60°
如图11,在△ABC中,∠C=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=90°.
图12
如图12,△ABC是等边三角形,则∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
图13
2.如图13,已知,在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,求证:
∠ADE=50°.
证明:
∵DE∥BC(已知)
∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等)
∵∠C=70°(已知)
∴∠AED=70°(等量代换)
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°(三角形的内角和定理)
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED(等式的性质)
∵∠A=60°(已知)
∴∠ADE=180°-60°-70°=50°(等量代换)
(二)看课本,然后小结.
Ⅳ.课时小结
这堂课,我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是:
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它.
Ⅴ.课后作业
(一)课后习题
(二)1.预习新课
2.预习提纲
(1)三角形内角和定理的推论是什么?
(2)三角形内角和定理的推论的应用.
Ⅵ.活动与探究
1.证明三角形内角和定理时,是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P?
(如图14-
(1)),如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢?
(如图14-
(2))“凑”到三角形外一点呢?
(如图14-(3)),你还能想出其他证法吗?
(1)
(2)(3)
图14
[过程]让学生在证明这个题的过程中,进一步了解三角形内角和定理的证明思路,并且了解一题的多种证法,从而拓宽学生的思路.
[结果]证明三角形内角和定理时,既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P,也可以把三个角“凑”到三角形内一点;还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.
证明略.
板书
设计
一、问题串
二、知识结构图
三角形的内角和等于180°
教学后记或反思(主要记录课堂设计理念,实际教学效果及改进设想等)
通过实验引入新课,掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观察、猜想和论证能力.通过习题的练习,提高学生数学学习的能力。
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- 关 键 词:
- 三角形 内角 定理