蔡氏混沌非线性电路的分析研究.docx
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蔡氏混沌非线性电路的分析研究
研究生课程论文
(2018-2018学年第二学期>
蔡氏混沌非线性电路的研究
研究生:
***
提交日期:
2018年8月1日研究生签名:
学号
学院
电子与信息学院
课程编号
S0809009
课程名称
非线性电路与系统理论
学位类别
硕士
任课教师
***教授
教师评语:
成绩评定:
分任课教师签名:
年月日
蔡氏混沌非线性电路的研究
***
摘要:
本文介绍了非线性中的混沌现象,并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。
只要改变蔡氏电路中一个元件的参数,就可产生多种类型混沌现象。
利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真,就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步,并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。
关键词:
混沌;蔡氏电路;MATLAB仿真
Abstract:
Thispaperintroducesthechaosphenomenoninnonlinearcircuits.Chua’scircuitwasatypicalchaoscircuit,andtheoreticalanalysisandsimulationwasmadetoresearchit.ManykindsofchaosphenomenonenwouldgenerateaslongasonecomponentparameterwasalteredinChua’scircuit.OntheplatformofMatlab,mathematicalmodelofChua’scircuitwereprogrammedandsimulatedtorealizethesynchronizationofdualandsinglecochlearvolume.Atthesametime,behaviorcharacteristicsofchaosattractorisabletobeobservedcorrectly.
Keywords:
chaosphenomenon;Chua’Scircuit;simulation
引言:
混沌是一种普遍存在的非线性现象,随着计算机的快速发展,混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。
混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为,即一个可由确定性方程描述的非线性系统,其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。
混沌中蕴含着有序,有序的过程中也可能出现混沌。
混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性,即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。
混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题而成为20世纪三大重要基础科学之一。
非线性电路中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路,在这个电路中能够观察到混沌吸引子。
蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路,所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。
经过若干年的研究及目前对它的分析,在理论和实践方面不断取得进展,同时人们也不断开拓新的应用领域,如在通信、生理学、化学反应上程等方面不断产生新的技术构想,并有希望很快成为现实[1-3]。
1混沌理论的发展与蔡氏电路的出现
混沌理论的基本思想起源于20世纪初,发生于20世纪60年代后,发展壮大于20世纪80年代,被认为是继相对论、量子力学之后,人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命。
混沌理论揭示了有序与无序的统一,确定性与随机性的统一,简单性与复杂性的统一,稳定性与不稳定性的统一,完全性与不完全性的统一,自相似性与非相似性的统一,并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。
今天,混沌理论与计算机科学等相结合,使人们对一些久悬未解的难题的研究取得了突破性进展,在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用。
追溯混沌的发展史,可以从Poincare’<庞加莱)开始[4]:
19世纪末20世纪初,法国数学家Poincare’发现三体问题与单体问题、二体问题不同,它是无法求出精确解的。
在一定范围内,其解是随机的,从而使Poincare’可能成为世界上最先了解混沌存在的第一人。
20世纪20年代,G.D.Birkhoff紧跟Poincare’的学术思想,建立了动力系统理论的两个重要研究方向:
拓扑理论和遍历理论。
到1960年前后,非线性科学研究得到了突飞猛进的发展,A.N.Kolmogorov与V.I.Arnold及J.Moser深入研究了Hamilton系统<或保守系统)中的运动稳定性,得出了著名的KAM定理<即用这三位发现者的名字命名的定理),KAM定理揭示了Hamilton系统中KAM环面的破坏以及为混沌运动奠定了基础。
实际上,有关耗散系统中混沌现象的研究始于20世纪60年代,美国气象学家E.N.Lorenz对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值模拟时,发现在某些条件下可出现非周期的无规则行为。
这一结果解释了长期天气预报始终没有获得过成功的内在机理,根本原因是确定性动力学系统中存在有混沌运动。
E.N.Lorenz在得到第一个奇怪引子——Lorenz吸引子的同时,还进一步揭示了一系列混沌运动的基本特征。
1963年E.N.Lorenz在美国《大气科学杂志》上发表的文章“确定性的非周期流”,给出了混沌解的第一个例子。
1964年M.He’non等人以KAM理论为背景,发现了一个二维不可积Hamilton系统中的确定性随机行为,即He’non吸引子。
D.Ruelle和F.Takens提出了奇怪吸引子的概念,同时将这一概念引入耗散系统,并于1971年提出了一种新的湍流发生机制,这一工作由J.P.Gollub等人的实验所支持,并对后来的Smale马蹄吸引子的研究起到了推动作用。
美国数学家Smale发明的马蹄吸引子结构成为混沌经久不衰的形象,尤其是Smale提出的马蹄变换,为20世纪70年代混沌理论的研究做了重要的数学准备。
1975年,Maryland大学的T.Y.Li<李天岩)和J.A.York在美国《数学月刊》上发表了“PeriodThreeImpliesChaos”<周期3蕴含混沌)的文章,并给出了混沌的一种数学定义,被认为是对混沌的第一次正式表述,现称为Li-York定义或Li-York定理,Chaos一词也自此被正式使用。
1976年,R.M.May研究了一维平方映射,并在一篇综述中指出,非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。
在此基础上,美国物理学家M.J.Feigenbaum于1978年发现了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性、收敛速58率每次缩小4.6692…常数倍并具有普适性的发现及重整化群理论的应用,把混沌研究从定性分析推进到定量计算阶段,并引入了重整化群思想,这是一个重大的发现,具有里程碑的意义。
进入20世纪80年代,混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象、独特的概念体系和方法论框架的学科。
随着相关理论的不断完善,有关混沌的研究也更加深入。
F.Takens于1981年提出了判定奇怪吸引子的实验方法,而P.J.Holmes转述并发展的Melnikov理论分析方法可用于判别二维系统中稳定流形和不稳定流形是否相交,也即判别是否出现混沌。
20世纪80年代初P.Linsay通过对含变容二极管的二阶非自治电路的研究,在实际物理系统中验证了Feigenbaum的倍周期分岔通向混沌的理论。
Y.Ueda、L.O.Chua等对正弦激励下的非自治电路中及R.W.Newcomb等对自治电路中的混沌现象研究的报道是电路系统关于混沌的早期研究。
1984年,L.O.Chua提出了著名的产生双涡卷的三阶自治电路——蔡氏电路,并采用电路实验、计算机模拟、理论分析等多种研究工具对电路系统中混沌行为的研究,给非线性自治电路系统中分岔、混沌现象的研究提供了一个较完善的范例。
蔡氏电路以一个分段线性负电阻为核心,在不同的参数组合下产生了极其丰富的分岔与混沌现象,同时,蔡氏电路还被认为是能产生混沌现象的三阶自治电路最紧凑、元件数最少的结构。
随后的十多年间,有关产生混沌、超混沌的构造与实际电路系统的不断报道,不仅给非线性动力学系统中混沌理论的研究提供了丰富的资料,也使电路系统中混沌现象的研究成为整个混沌理论研究中不可缺少的一个重要组成部分。
在众多产生混沌、超混沌的电路中,大都是以非线性电阻为核心构成,但也有以非线性动态元件为核心构造的二阶非自治和四阶自治电路中的混沌、超混沌电路的报道。
直到目前,有关非线性系统中混沌、混沌产生的机制、产生混沌的系统等仍然是研究的热点内容之一。
2混沌现象及其特征
混沌是二十世纪最重要的科学发现之一,被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命,它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线,将经典力学研究推进到一个崭新的时代。
由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号,使得混沌在许多领域<如保密通信,自动控制,传感技术等)得到了广泛的应用[5]。
对电路系统来说,在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中,出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的,但在状态平面上其相轨迹始终不会重复,但是有界的,而且电路对初始条件十分敏感,这便是非线性电路中的混沌现象。
根据Li-York定义,一个混沌系统应具有三种性质:
<1)存在所有阶的周期轨道;
<2)存在一个不可数集合,此集合只含有混沌轨道,且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近,而是两种状态交替出现,同时任一轨道不趋于任一周期轨道,即此集合不存在渐近周期轨道;
<3)混沌轨道具有高度的不稳定性。
可见,周期轨道与混沌运动有密切关系,表现在两个方面:
第一,在参数空间中考察定常的运动状态,系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度,然后进入混沌状态;
第二,第二,一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道,一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段,它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。
根据文献[6][7],混沌主要特征表现在:
<1)敏感依赖于初始条件;
<2)伸长与折叠;
<3)具有丰富的层次和自相似结构;
<4)在非线性耗散系统中存在混沌吸引子。
同时,混沌运动还具有如下特征:
<1)存在可数无穷多个稳定的周期轨道;
<2)存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道;
<3)至少存在一个不稳定的非周期轨道。
随着时间的增加,相空间中的轨线或轨道都向某个子集逼近,在逼近过程中不仅有体积的压缩,还有维数的减少,直至达到最小为止,则该具有最小维数的子集就是吸引子。
吸引子只能出现在非保守系统<即耗散系统)中,对电路而言,非保守系统就是电路中至少有一个正电阻存在,并且使得电路在某个工作区域内整体上是耗能的。
对连续系统而言,吸引子可以在任意阶的系统中出现,但混沌吸引子只可能在三阶或三阶以上的自治系统中出现。
混沌吸引子是整体稳定和局部不稳定相结合的产物[4]。
混沌并不是简单的无序或混乱,而是没有明显的周期和对称,但却具备了丰富的内部层次的有序状态。
混沌是存在于非线性系统中的一种较为普遍的现象,混沌并不是一片混乱,而是有着精致的内在结构,混沌运动具有遍历性、随机性、规律性等特点。
混沌运动能在一定范围内按其自身的规律不重复地遍历所有状态,因此,用混沌变量进行优化搜索,无疑会比随机搜索更具优越性,尤其是变尺度混沌优化方法在连续系统的优化中具有更大的应用空间。
3分形与混沌
对于线性代数方程组或微分方程组,解的数目是一定的,不随参数的改变而改变。
而非线性问题则不然。
在非线性动力学系统中,当控制参数变化到某个临界值时使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分岔。
混沌运动是经过一系列解的突变才发生的,解发生突变的参数值称为分岔点,分岔理论主要研究非线性方程组解的数目如何在参数变化过程中发生突变。
Mandelbrot最先引入分形的含义,分形是指破碎的、不规则的,整体与局部在某种意义下的对称性的或自相似的集合。
一般地,分形F <1)F具有精细的结构,即有任意小的细节; <2)F是不规则的,不能用传统的几何语言来描述; <3)F通常有某种自相似的形式,可能是近似的或统计的; <4)F在某种方式下定义的分形维数通常大于它的拓扑维数[8]。 在非线性科学中,分形与混沌有着不同的起源,但它们又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果,表明它们有着共同的数学祖先——动力系统。 但分形与混沌的来源不同,分形起源于对不规则集合的研究,混沌则起源于对非线性动力学的研究,或者说,分形来自于对几何学的研究,混沌产生于对物理学的研究。 混沌主要研究非线性系统在时间上演化过程的行为特征,分形主要研究吸引子在空间上的结构,它们是从不同侧面研究的同一个问题。 分形是描述混沌运动的一种几何语言,混沌是产生分形的根源。 分形是空间上的混沌,混沌是时间上的分形。 1981年,Eckmann对各种可能的分岔现象进行了研究,归纳出三种走向混沌的主要途径: (1)倍周期分岔通向混沌。 1976年R.May在英国《自然》杂志上发表了一篇关于Logistic映射的综述,这是倍周期分岔通向混沌的第一个实例。 后来Feigenbaum研究总结出: 一个系统一旦发生倍周期分岔,必导致混沌。 这条途径在Duffing系统和He’non系统均被发现。 而且Feigenbaum还确定了这条途径的两个普适常数。 (2)Hopf分岔通向混沌。 Hopf分岔又称为Ruelle-Takens-Newhouse方案,它是由Ruelle和Takens等人为了取代Landau和Hopf关于湍流的假设,针对Landau的“论湍流问题”,于1971年合写的“论湍流的本质”文章中提出的。 1978年又对他们的结果做了进一步改进。 混沌可视为无穷多个频率耦合的振荡现象,一种规则的运动最多经过三次Hopf分岔就能转变为混沌运动状态。 Hopf分岔通向混沌的实例目前还比较少,其规律知之甚少,近年来引起了人们的关注。 (3)阵发性通向混沌。 又称为Pomeau-Manneville途径。 它是由Pomeau和Manneville于1980年提出的。 阵发混沌是非平衡非线性系统进入混沌的又一条道路,具体说,阵发混沌是指系统从有序向混沌转化时,在非平衡非线性条件下,当某些参数的变化达到某一临界值时,系统的时间行为忽而有序忽而混沌,在两者之间振荡。 阵发混沌最早见之于Lorenz模型,阵发混沌与倍周期分岔所产生的混沌是孪生现象,凡是观察到倍周期分岔的系统,原则上均可发现阵发混沌现象。 阵发混沌已在Belousov-Zabotinskii反应、非线性振子和对流等实验中观察到[4]。 当电路参数发生改变,特别是微小的改变时,就能引起电路的解或相图发生质的变化的现象称为分岔。 分岔有三种类型: 叉型分岔、Hopf分岔和切分岔。 能引起电路发生分岔的参数称为分岔参数,对一个具体电路而言,并不是所有参数都是分岔参数。 Hopf分岔是从平衡点分支分岔出周期振荡分支的分岔,也是电路产生振荡的原因。 4混沌研究的判据与准则 研究混沌运动可以直接观察状态变量随时间的变化规律或者在相空间观察其轨迹。 常用的方法与判据有: 庞加莱截面法、相空间重构法、功率谱分析法、关联维数、李雅普诺夫指数、测度熵等[7]。 分别简述如下: 1)庞加莱截面法: 在多维相空间(x1,x1,x2,x2,…,xn,xn>中适当选取一个截面,该截 面既可以是平面也可以是曲面,连续的动力学轨道与该截面相交,通过观察交点的特征即可分析运动的形式和特点。 具体表现为: <1)周期运动在此截面上留下有限个离散的点; <2)准周期运动在截面上留下一条闭合曲线; <3)混沌运动是沿一条线段或一曲线弧,而且具有自相似的分形结构。 2)相空间重构法: 把时间序列从一维扩展到三维或更高维的相空间中去,以便把时间序列的混沌信息充分地显露出来,这便是时间序列的重构相空间。 1980年Packard等人提出了由一维可观察量重构一个等价的相空间,来重现系统的动态特性,其原理如下: 由系统中的某一可观测量的时间序列{xi|i=1,2,…,N}重构m维相空间,得到一组相空间矢量: Xi={xi,xi+τ,…,xi+(m-1>τ}i=1,2,3,…,MXi∈Rmτ指时间延迟,m≥2d+1,d为系统自变量的个数,M小于N,并与N有相同的数量级。 相空间重构是相图分析、分维和Lyapunov指数计算的关键。 重构相空间的关键在于嵌入空间维数m和时间延迟τ的选择。 3)功率谱分析法: Welch所提出的功率谱计算方法表明,频率为f的周期系统的功率谱在频率为f及高次谐波2f,3f,…处有δ函数形式的尖峰。 每个尖峰的高度指示了相应频率的振动强度。 特别是当发生分岔时,功率谱将改变它的特征,对于混沌系统,功率谱上会出现宽带的噪声背景。 4)关联维数: 混沌体系是由奇怪吸引子的不规则轨线来描述的,奇怪吸引子为分形结构,分维数可对吸引子的几何特征及集于吸引子上的轨道随时间的演化情况进行数量上的描述,因而可对吸引子的混沌程度进一步细分。 分维数有多种定义,其中Grassberger和Procaccia在1983年提出了一种易于从实验数据中提取分维数即关联维数的算法,此后关联维数作为混沌行为的测量参数得到了广泛应用。 具体计算公式参阅文献[72][73][84]。 5)Lyapunov(李雅普诺夫>指数: 对于n维相空间中的连续动力学系统,考察一个无穷小n维球面的长时间演化,其第i个李雅普诺夫指数按椭球主轴长度pi(t>定义为: 上式说明李雅普诺夫指数的大小表明相空间中相近轨道的平均收敛或发散的指数率。 一般说来,具有正和零李雅普诺夫指数的方向,都对吸引子起支撑作用,负李雅普诺夫指数对应着收敛方向,这两种因素对抗的结果就是伸缩与折叠操作,形成奇怪吸引子的空间几何形状。 最大李雅普诺夫指数决定轨道覆盖整个吸引子的快慢,最小李雅普诺夫指数决定轨道收缩的快慢,所有李雅普诺夫指数之和表征轨道总的平均发散快慢。 任何吸引子必定有一个李雅普诺夫指数是负的,对于混沌必定有一个李雅普诺夫指数是正的,具有两个或两个以上的正李雅普诺夫指数的混沌吸引子称为超混沌吸引子或超混沌。 因此,由系统的李雅普诺夫指数,便可以判断系统是否处于混沌状态。 计算李雅普诺夫指数的方法有Kaplan-Yorke法、差分方程法,微分方程法、长度演化法和面积演化法,在此不一一介绍。 对于二维系统,其分维 数与李雅普诺夫指数的关系为: d=1-λ1/λ2 6)测度熵: 熵是系统无序程度的量度。 1958年Kolmogorov对测度熵K给出了明确定义,指出系统所有正的李雅普诺夫指数之和是测度熵K的上界,因此,由测度熵K值的大小,可以区分规则运动、混沌运动和随机运动。 7)KAM定律: KAM定律条件不满足时,KAM环面的破裂会导致显著的混沌行为。 8)中心流定形定律: 若稳定形和不稳定流形相交,就会存在Smale意义下的混沌。 5蔡氏电路的工作原理 1983年,美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua’scircuit>。 它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路,也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数,可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象[1-3][9-11]。 因此,蔡氏电路开启了混沌电子学的大门,人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在保密通信中的应用研究,并取得了一系列丰硕的成果。 图1(a>是蔡氏电路的电路拓扑图,它是一个三阶电路,有两个电容、一个电感、一个线性电阻,并含有一个非线性电阻元件N。 它的伏一安特性曲线如图1(b>所示,是一个分段线性函数,中间一段呈现负电阻的特征,它可以用开关电源等电子电路来实现。 由图1可以推导出电路的状态方程如下: 其中函数g(uc1>是分段线性函数,其形式为: 蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管,可采用多种方式实现。 一种较简单的实现,它相当于两个非线性电阻RN1和RN2的并联。 图2给出RN1和RN2的电路及其伏安特性。 适当选取电阻参数值使E2远大E1,也远大于蔡氏电路工作时uc1的变化范围,则在电路的工作范围内,RN2是一个线性负电阻,RN1和RN2并联后可实现图l中非线性电阻RN的伏安特性,其中: 式<4)即是蔡氏电路的标准方程形式。 其中f(x>可表示为如下形式 当电阻R满足一定条件时,电路有Q1、Q2、Q3这3个平衡点。 平衡点分别为: 调节R,可改变平衡点的位置及平衡点处系统的特征值。 当电路的平衡点是满足一定条件的鞍焦平衡点时,系统有可能产生混沌。 式(5>中: k=(b-a>/(b+1>,a与b不为一l。 由式(5>可将状态空间R3分为3个子空间D1、D0、D-1在每一个子空间内,方程(4>均是线性的,其Jacobi矩阵为: <6) M的特征方程为: 式中, ,E为单位矩阵。 根据Routh-HurwitzCrierion判据,当下式满足 (7> 时,在式在式(5>表示的三个区域中,M的特征值都具有负的实部,此时,平衡点渐进稳定,电路不发生振荡。 如果保证ab<0,Q1、Q3存在且位于对应的 中,当a、b其中一个参数发生变化,平衡点的性质就会改变。 当平衡点由稳定变成不稳定且在平衡点附近出现极限环时,即发生了Hopf分岔,此时电路参数满足条件[2]: (8> 6蔡氏电路的Matlab仿真 取x=0.2,y=0.1,z=0.3作为系统的初始值,在t=[0,300]的时间范围内求解系统的运动轨迹,其平面投影相图及时域波形如下: 图3x-y-z立体相图 图4x时域波形图 图5y时域波形图 图6z时域波形图 图7x-y平面相图 图8x-z平面相图 图9y-z平面相图 x—y—z,x—y,x—z,y—z的相图分别如图3,图7,图8,图9所示,其中二维的相平面图是三维的相图在某个特定坐标轴上的投影。 从仿真结果图可以,蔡氏电路的正规化状态方程描述了一个连续时间系统,这个系统在所给参数和初值的条件下可以产生双涡卷吸引子的混沌现象。 改变参数和初值,还可以产生其它很多有趣的混沌现象。 混沌系统的数学模型通过软件Matlab来实现仿真。 仿真表明: 在相同的混沌行为预期下,仿真实验与真实实验的参数范围可能会有一些差别,但是,就总体而言,仿真实验与真实实验有较好的对等性,而且仿真实验更容易实现预期的混沌行为,更能准确地观测到混沌吸引子的行为特征。 仿真还表明: 在仿真实验过程中能精确控制系统的参数。 与此相反,在真实实验中,系统的一些参数存在不可精确控制和漂移等特性,由此产生的随机性和混沌现象混合在一起,影响了对混沌本质的研究。 仿真实验可以有效地避免这一问题,在混沌控制和混沌同步等应用研究领域,可对系统的稳定性和鲁棒性等问题进行较为准确的量化分析。 7结语 从理论分析与仿真实验两个角度综合研究蔡氏电路的混沌行为。 对三阶蔡氏电路进行分析,在Matlab的平台上进行数值仿真,观察到了混沌现象,加深了对蔡氏电路系统混沌现象的理解。 蔡氏电路所代表的非线性动力学系统的确是混沌系统,该系统具有丰富的混沌动力学行为。 仿真结果印证了震荡过程中出现的双涡卷混沌奇怪吸引子[2][4]。 利用系统平衡点处的线性化矩阵,可以定性分析系统的动力学行为,以便寻找能使系统产生混沌的参数。 蔡氏电路是一个结构非常简单而又可靠的混沌电路,且有着丰富复杂的混沌动力学特征。 只要改
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