第十五章 整式的乘除与因式分解.docx

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第十五章整式的乘除与因式分解

第十五章整式的乘除与因式分解

15.12整式的乘法

§15．2．1同底数幂的乘法

教案过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

复习an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．

（出示投影片）

提出问题：

（出示投影片）

问题：

一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

[师]1012×103如何计算呢？

[生]根据乘方的意义可知

1012×103=

×（10×10×10）=

=1015．

[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．

Ⅱ．导入新课

1．做一做

出示投影片：

计算下列各式：

（1）25×22

（2）a3·a2

（3）5m·5n（m、n都是正整数）

（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．

[生]我们可以发现下列规律：

（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．

（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

2．议一议

am·an等于什么（m、n都是正整数）？

为什么？

出示投影片

[师生共析]

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

am·an=am+n

于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：

“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

3．例题讲解

出示投影片

[例1]计算：

（1）x2·x5

（2）a·a6

（3）2×24×23（4）xm·x3m+1

[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？

学生活动:

板演

Ⅲ．随堂练习

1．课本P166练习：

计算

Ⅳ．课时小结

[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？

Ⅴ．课后作业

课本P175习题15．2─1．

（1）、

（2），2．

（1）、8．

§15．2．2单项式与单项式相乘,

单项式与多项式相乘

教案目标

①探索并了解单项式与单顷式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算，

②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．

教案重点

单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．

教案难点

单项式与多项式相乘去括号法则的应用．

教案过程（师生活动）

设计理念

复习引新

1．知识回顾：

回忆幂的运算性质：

am·an＝am＋n（m，n都是正整数）

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

（am）n＝amn（m，n都是正整数）

即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

（ab）n＝anbn（n为正整数）

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．

创设情境引入新课

问题光的速度约为3×105千M/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千M吗?

地球与太阳的距离约为（3×105）×（5×102）千M．

问题是（3×105）×（5×102）等于多少呢?

学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：

（3×105）×（5×102）

＝（3×5）×（105×102）

＝15×107（为什么?

）

在此处再问学生更加规范的书写是什么?

应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千M。

请学生回顾，我们是如何解决问题的．

从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．

探究新知

1.问题：

如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?

学生独立思考，小组交流．

学生分析：

跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．

ac5·bc2

＝（a·c5）·（b·c2）

＝（a·b）·（c5·c2）

＝abc5＋2

＝abc7

2．试一试：

类似地，请你试着计算：

（1）2c5·5c2；

（2）（－5a2b3）·（－4b2c）

ac5和bc2，2c5和5c2，（－5a2b3）和（－4b2c）都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?

学生小结：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

3．算一算

例1教科书第173页例4

例2小民的步长为aM，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方M?

4．辩一辩

教科书第174页练习2

从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．

在教案过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．

在例题教案中应该先让学生现察有哪些运算，如何利用运算性质和法则，分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．

深入探究

1．师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．

2．试一试

计算：

2a2·（3a2－5b）

（根据乘法分配律，不难算出结果吧！

）

3．想一想

从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?

学生发言，互相补充后得出结论：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

4．做一做

教科书第174页例5（在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号）

这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教案中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论。

因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论。

学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．

课外巩固

1．必做题：

教科书第177页习题15．2第3、4、6题

2．备选题：

（1）若（－5am＋1b2n－1）（2anbm）＝－lOa4b4，则m－n的值为（）

（2）计算：

（a3b）2（a2b）3

（3）计算：

（3a2b）2＋（－2ab）（－4a3b）

（4）计算：

（－

xy）·（

xy2－2y＋

y）

设计思想

单项式的乘法用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法．因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位．所以在教案中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教案过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系．在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力．因为整式是在数的运算的基础上发展起来的，所以在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，格新知识转化为已经学过的知识．无论是单项式乘以单项式4（转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行。

§15．2．3多项式与多项式相乘

教案目标

①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．

教案重点

多项式与多项式相乘．

教案难点

多项式与多项式相乘．

教案过程（师生活动）

设计理念

复习引新

1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．

2．练一练：

教科书第175页练习1、2

我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长aM，宽mM的长方形绿地增长bM，加宽nM（课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分）．提出问题：

你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?

不同的表示方法之间有什么关系?

学生独立思考后交换各自的解法：

方法一：

这块花园现在长（a＋b）M，宽（m＋n）M，因而面积为（a＋b）（m＋n）M2．

方法二：

这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：

amM2、anM2、bmM2、bnM2，故这块绿地的面积为（am＋an＋bm＋bn）M2．

（a＋b）（m＋n）和（am＋an十bm十bn）表示同一块绿地的面积，所以有（a＋b）（m十n）＝am＋an＋bm＋bn

用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?

用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?

这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．

借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到（a＋b）（m＋n）是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，让学生对这个结论有直现感受．

探究新知

引导学生观察等式的左边（a＋b）（m＋n）是两个多项式（a＋b）与（m＋n）相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．

进一步引导学生，如果我们把（m＋n）看成一个整体，那么两个多项式（a＋b）与（m＋n）相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．

1．做一做

（a＋b）（m＋n）

＝a（m＋n）＋b（m＋n）

＝am＋an＋bm＋bn

2．讲一讲

让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

3．试一试

例1教科书第176页例6

教案中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号。

多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．

例2先化简，再求值：

（a－3b）2＋（3a＋b）2－（a＋5b）2＋（a－5b）2，其中a＝－8，b＝－6

4．练一练

教科书第177页练习1

把（m＋n）看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把（m＋n）看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了。

深入探索

1．试一试

例3计算：

（x＋2）（x－3）

2．想一想

问：

结果中的x2，－6是怎样得到的?

学生口答．

继续完成教科书第l77页练习2

问：

从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗?

（1）学生交流各自的发现．

（2）结合教科书第177页练习第3题图，直观认识规律，并完成此题．

3．练一练

（1）计算（口答）；

①（x＋2）（x＋3）；②（x－1）（x＋2）；

③（x＋2）（x－2）；④（x－5）（x－6）；

⑤（x＋5）（x＋5）；⑥（x－5）（x－5）；

（2）口答：

教科书第178页习题15．2第12题．

让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣。

小结

设计思想

本章在第一节课提出“怎样用不同的方法表示扩大后的绿地面积，用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?

”的问题，当时提出这个问题的目的是为了激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣，在学习了整式的加减与单项式与单项式、多项式与单项式的乘法后，与之呼应，又提出了当时悬而未决的问题“用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?

”教案中充分利用直观的几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，让学生从图形中可以看到（a＋b）（m＋n）是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，先对多项式乘以多项式的方法有直观感受，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一．然后在性质推导中把（m十n）看成一个单项式，渗透很重要的思想和方法：

整体思想．在教案过程中；学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：

学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．

15.13乘法公式

15．3．1平方差公式

教案目标

①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．

②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．

③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．

教案重点

平方差公式的推导及应用．

教案难点

用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

教案准备

卡片及多媒体课件

教案过程（师生活动）

设计理念

引入

同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：

探究：

计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

（1）（x＋1）（x－1）＝

（2）（m＋2）（m－2）＝

（3）（2x＋1）（2x－1）＝

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

（1）平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，在教案中，首先应让学生思考：

你能发现什么?

让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．

举例

再举几个这样的运算例子．

让学生独立思考，每人在组内举一个例子（可口述或书写），然后由其中一个小组的代表来汇报．

（2）这里是对前边进行的运算的讨论，为下一步运用公式进行简单计算打下基础。

验证

我们再来计算（a＋b）（a－b）＝

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：

特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示．

概括

平方差公式及其形式特征．

教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：

如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因。

应用

教科书第180页例1运用平方差公式计算：

（1）（3x＋2）（3x－2）

（2）（6＋2a）（2a－b）

（3）（－x＋2y）（－x－2y）

填表：

（a＋b）（a－b）

a

b

a2－b2

最后结果

（3x＋2）（3x－2）

2

（3x）2－22

（b＋2a）（2a－b）

（x+2y）（-x－2y）

对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：

提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．

（1）正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：

即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．

（2）在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．（3）例1第（3）小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解。

教科

教科书书第180页例2计算：

（1）102×98

（2）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）

此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．

（1）运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教案时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．

巩固

教科书第181页练习1、2

练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中

（1）（4）由两个大组完成，

（2）（3）由另两个大组完成。

让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感。

解释

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．

此处将教科书的图15.3－1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式。

小结

谈一谈：

你这一节课有什么收获?

作业

1．必做题：

教科书第184页习题15．3第一大题

作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则.

设计思想

在教案设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教案课件为辅助教案手段，突出对平方差公式的推导和应用．自主探究、单一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习．

15．3．2完全平方公式

教案目标

①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．

②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．

③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．

教案重点

（a±b）2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．

教案难点

公式的结构特征及教科书P184例5．

教案准备

投影仪；多媒体课件；小黑板．边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．

教案过程（师生活动）

设计理念

引入

同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：

。

在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力。

探究

计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

（1）（p＋1）2＝（p＋1）（p＋1）＝_____

（2）（m＋2）2＝_____

（3）（p－1）2＝（p－1）（p－1）＝_____

（4）（m－2）2＝_____

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

举例：

再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子（可口述或书写），然后由其中一个小组的代表来汇报。

（2）这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算。

验证

我们再来计算（a＋b）2，（a－b）2．

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：

特例—归纳—猜想—验证一用数学符号表示．

概括

完全平方公式及其形式特征．

教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：

如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因。

还可以引导学生将（a－b）2的结果用（a＋b）2来解释：

（a－b）2＝[a＋（－b）]2＝a2＋2a（－b）＋（－b）2＝a2－2ab＋b2

（3）对公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一。

应用

教科书第182页例3运用完全平方公式计算：

（1）（4m＋n）2

（2）（y－

）2

引导学生用如下的填空形式完成例3：

解：

（1）∵（4m＋n）2是____与____和的平方，

可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率。

（1）正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解．

（2）在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误．

教科

教科书第183页例4运用完全平方公式计算：

（1）1022

（2）992

此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．

运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教案时可让学生自己独立解决此问题。

解释

（1）现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：

（2）你能根据下图（教科书第182页图15．3—3）说明（a－b）2＝a2－2ab十b2吗?

第

（1）小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快?

第

（2）小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：

（a－b）2＝a2－b2－2b（a－b）＝a2－2ab＋b2。

（1）重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．

（2）此处将教科书的图15．3－2改为由学生自主拼图得到公式，是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法，利用这个拼图游戏，可进一步促使学生关注几何与代数的联系，增进学生的认知和对公式的记忆（3）教科书的图15.3－3比较难读懂，可引导学生合作交流得出代数恒等式。

思考

（a＋b）2与（－a－b）2相等吗?

（a－b）2与（b－a）2相等吗?

（a－b）2与a2－b2相等吗?

为什么?

组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．

拓展

教科书第184，页例5运