2422 直线与圆的位置关系第2课时.docx
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2422直线与圆的位置关系第2课时
第2课时
整体设计
教学目标
知识与技能
1.了解切线长的概念.
2.理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,并能熟练应用它们解决实际问题。
过程与方法
1.通过经历探索切线长定理的过程,发展探究意识和体会并实践“试验——论证”的探究方法,以及解决实际问题的能力.
2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生运用知识解题的能力,培养数形结合思想.
情感态度价值观
1.通过情境设置引发学生的求知欲,应用所学知识把复杂的问题转化为简单的问题来解决,从而树立解决问题的信心.
2.通过小组合作交流,探究出切线长定理及应用,培养学生主动探究知识、合作交流的意识.
教学重难点
【重点】理解切线长定理,掌握内切圆和三角形的内心的概念.
【难点】用切线长定理进行计算或证明,会画三角形的内心.
教学准备
【教师准备】预想学生学习过程中遇到的问题
【学生准备】预习课本P99〜100.
教学过程
1、新课引入
导入一:
如图所示的是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
导入二:
知识回顾:
1.如何用尺规作图作一个角的平分线?
2.作∆ABC的角平分线,并指出它的性质.
3.直线和圆的位置关系有几种?
4.切线的判定定理和性质定理是什么?
【师生活动】学生思考回答,学生之间互相补充,教师点评.
[设计意图]由生活实例导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.复习与本节课有关的知识,为本节课的学习做铺垫.
2、新知构建
[过渡语]上节课我们学习了过圆上一点作圆的切线及切线的性质和判定,今天让我们一起学习过圆外一点作圆的切线及有关性质.
一、切线长的概念
自主学习课本99页,解决下列问题:
1.什么是圆的切线长?
2.过圆外一点可以引圆的几条切线?
3.切线和切线长的区别是什么?
【师生活动】学生自学课本内容后,小组成员互相交流,学生展示后教师归纳总结.
1.经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
如图所示,过圆外一点P有圆的两条切线PA,PB,则线段PA,PB的长是☉O的切线长.
2.切线和切线长的区别:
切线是直线,无法度量;切线长是切线上一条线段的长,可以度量.
二、切线长定理
如图所示,PA,PB是☉0的两条切线,切点分别为A,B.观察图形,你能得到哪些等量关系?
如何证明你的结论?
(PA=PB,∠APO=∠BPO,∠AOP=∠BOP,∠BOA+∠APB=180°等结论)
教师引导:
已知中出现圆的切线,常作辅助线的方法是什么?
【师生活动】学生独立思考、完成证明过程,小组交流答案,互相完成纠错,学生板书证明PA=PB的过程,教师点评.
已知:
如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B.
求证:
PA=PB,∠APO=∠BPO.
证明:
连接OA,OB.
∵PA和PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP
又OA=OB,OP=OP
∴Rt∆AOP
Rt∆BOP
追问:
1.你能用语言叙述结论吗?
2.连接AB,你又能得到哪些等量关系?
【师生活动】学生回答,互相补充,教师归纳总结.
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
[设计意图]通过操作、观察、猜想、证明、归纳的过程得出切线长定理,学生经历知识的形成过程,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结能力,体会数学的严谨性,使学习能力不断提高.同时注重几何基本图形的认识,为应用切线长定理解决问题打下基础.
[过渡语]刚才复习了角平分线的画法和性质,知道三角形的三条角平分线交于一点,那么应用性质完成下面的思考.
三、三角形的内切圆
思考:
如图所示的是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切?
教师引导:
1.刚才所画的三角形三条角平分线的交点有什么性质?
(到三角形三边的距离相等.)
2.作圆的关键是什么?
(找圆心和半径)
3.如果我们已经作出圆,圆心满足什么条件?
(圆心到三边距离相等)
4.找到圆心后,如何确定圆的半径?
(圆心到三边的距离为半径)
【学生活动】根据教师的引导完成作图,小组内交流答案是否正确.
作法:
1.分别作∠B和∠C的平分线BM和CN,设它们交于点I.
2.以I为圆心,以I到BC的距离ID为半径作圆,则☉I就是所求作的圆,如图所示.
内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
[设计意图]作三角形的内切圆是这节课的难点,把如何作三角形的内切圆分解成小问题的形式,在教师的引导下层层深入展开,学生易于理解掌握.
(教材例2)如图所示,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13.求AF,BD,CE的长.
教师引导分析:
观察图形和已知,☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,则根据切线长定理可得,又因为AB=9,BC=14,CA=13,所以有等量关系,,.根据等量关系,考虑方程思想解答,所以设,根据等量关系可以用未知数表示线段的长,所以可列方程,解方程可得.
学生根据分析独立完成,该题也可以列方程组求解.
解:
设AF=x,则:
AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-X
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14
解得:
x=4
因此AF=4,BD=5,CE=9.
[设计意图]该例题是应用切线长定理解决问题,在教师的引导下分析问题,然后独立完成,体会方程思想是解答几何计算的重要思想方法,感受数学的严谨性和规范性.
[知识拓展]1.如图所示,是☉O的两条切线,切点分别为A,B.若连接AB,则不难得出OP垂直平分AB,这个结论可以直接运用.
2.切线长定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系,应重点掌握.
3.—个三角形只有一个内切圆.
4.三角形的内心一定在三角形的内部,是三角形三条角平分线的交点,它到三角形各边的距离相等
3、课堂小结
1.切线长的概念:
经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.三角形的内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
4、检测反馈
1.如图所示,从圆外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果
∠APB=60°,PA=10,则弦AB的长()
A.5B.
C.10D.
解析:
∵PA,PB都是☉O的切线,∴PA=PB,∵∠APB=60°,∴∆PAB是等边三角形,PA=10,∴AB=10.故选C.
2.从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为()
A.
B.
C.9(
)D.9
解析:
如图所示,点A为圆外一点,AB切☉O于点B,则AC是点A到☉O的最短距离,连接OB,则OB⊥AB,设AC=x,则OA=9+x,在Rt∆AB0中,∵AB2+OB2=OA2,182+92=(9+x)2,解得x=9
-9或x=-9
-9(舍去),∴这点到圆的最短距离为9
-9.故选C.
3.如图所示,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB‖CD,BO=6cm,CO=8cm.
求证:
BO⊥CO.
证明:
∵AB‖CD,∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G
∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,
∴∠OBC=
∠ABC,∠OCB=
∠DCB
∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠DCB)=
×180°=90°
∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.
5、板书设计
第2课时
切线长的概念
切线长定理
三角形的内切圆
例2
6、布置作业
一、教材作业
【必做题】
教材第101页习题24.2的3,6,10,11题.
【选做题】
教材第103页习题24.2的14题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,点O是∆ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC等于()
A.130°B.100°C.50°D.65°
2.如图所示,PA切☉O于A,PB切☉O于B,OP交☉O于C,下列结论中错误的是()
A.∠APO=∠BPOB.PA=PBC.OP⊥ABD.C是PO的中点
3.—个钢管放在V形架内,下图是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm,∠MPN=60°,则OP等于()
A.50cmB.25
cmC.
cmD.50
cm
4.圆外一点P,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C为优弧AB上一点,若∠ACB=α,则∠APB等于()
A.180°-αB.90°-αC.90°+αD.180°-2α
5.如图所示,☉O内切于Rt∆ABC,切点分别是D,E,F,则四边形OECF是.
6.如图所示,☉O是∆ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOF=120°,∠DOE=110°,则∠A=,∠B=,∠c=
7.如图所示,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若PA=8cm,C是弧上的一个动点(点C与A,B两点不重合),过点C作☉O的切线,分别交于点D,E,则△PED的周长是cm.
8、如图所示,已知AB为⊙O的直径,PA,PC是⊙O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°
(1)求∠P有大小;
(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号)
9、已知:
如图所示,PA,PB分别是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=35°,求∠P的度数.
【能力提升】
10、如图所示,PA,PB分别切圆O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ACB等于()
A、60°B、75°C、105°D、120°
11、已知:
如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.
(1)求证:
BC=CD;
(2)求证:
∠ADE=∠ABD;
【拓展探究】
12、如图所示,PA,PB切⊙O于点A,B两点,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点D,C,若PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,求△PCD的周长.
【答案与解析】
1.A(解析:
∵BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)=
(180°-80°)=50°,∴∠BOC=180°-50°=130°,故选A)
2.D(解析:
∵PA,PB是⊙O⊙切线,切点是A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∴选项A,B正确;∵PA=PB,∠APO=∠BPO,∴OP⊥AB,∴选项C正确;根据已知不能得出C是PO的中点,故选项D错误,故选D)
3.A(解析:
由题意知圆O与V形架的两边相切,∴△ONP是直角三角形,又∠OPN=
∠MPN=30°,∴OP=
ON=50cm,故选A)
4.D(解析:
连接OB,OA,∵点P为⊙O外一点,PA,PB切⊙O与A,B两点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠ACB=,∴∠AOB=2∠ACB=2,∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=180-2,故选D)
5.正方形(解析:
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,∴OE⊥AC,OF⊥BC,∴四边形OECF是矩形,又∵OE=OF,∴矩形OECF就正方形,故填正方形)
6.60°70°50°(解析:
∵AB,BC,CA分别切于⊙O于点D,E,F,
∴∠A=180°-∠DOF=60°,∠B=180-∠DOE=70°,又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=50°)
7.16(解析:
∵PA,PB,PC切⊙O于A,B,C.∴由切线长定理得CD=AD,CE=BE,
PA=PB,所以△PED的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm,故填16)
8.解:
(1)∵PA是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴PA⊥AB,∴∠BPA=90°,∵∠BAC=30°,∴∠CAP=90°-∠BAC=60°,又∵PA,PC切⊙O于点A,C,∴PA=PC,∴△PAC为等边三角形,∴∠P=60°.
(2)连接BC,则∠ACB=90°,在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,∴BC=
AB=1,∴AC=
=
,∴△PAC为等边三角形,∴PA=PC,∴PA=
.
9.解:
∵PA,PB分别是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵OA=OB,∠BAC=35°,∴∠ABO=∠OBP=35°,∴∠AOB=180°-35°-35°=110°,在四边形APBO中,∠OAP=∠OBP=90°,∠AOB=110°,则∠P=360-(∠OAP+∠OBP+∠AOB)=70°
10.C,(解析:
连接AO,BO,∵PA,PB分别切⊙O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠AOB=180°-∠P=150°,设点E是优弧AB上一点,由圆周角定理知,∠E=75°,由圆内接四边形的对角互补知,∠ACB=180°-∠E=105°,故选C,)
11.证明:
(1)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC,∵OB是⊙O的半径,∴CB为⊙O的切线,又∵CD切⊙O于点D,∴BC=CD,
(2)∵BE是⊙O的直径,∴∠BDE=90°,∴∠ADE+∠CDB=90°,又∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBD=90°,由
(1)得BC=CD,∴∠CDB=∠CBD,∴∠ADE=∠ABD.
12.解:
∵PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,∵PA+PB=m,PAPB=m-1,∵PA,PB切⊙O于A,B两点,∴PA=PB=
,即
=m-1,即m2-4m+4=0,解得:
m=2,∴PA=PB=1,∵PA.PB切⊙O于A,B两点CD切⊙O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为:
PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2
教学反思
成功之处
本节课的主要内容是切线长,切线长定理用三角形的内切圆,是切线性质和判定的延伸,复习导入新课后,自主学习切线长的概念,并思考切线长之间的区别,培养了学生的自学能力,并体会学习数学的严谨性,然后让学生动手操作画图,观察思考,得到线段和角的等量关系,作出猜想并给出证明,最后语言归纳总结,学生在这个活动中,参与意识强,思维活跃,锻炼了学生的发展思维,提高分析问题的能力,并培养了学生的归纳总结能力,使得这节课的重点内容得以掌握
不足之处
本节课的教学设计突出学生自主学习,合作交流,共同探究等活动,目的是让学生在课堂上尽情展示自我,享受学习带来的快乐,可是具体实施时却没有达到这样的目的,存在着部份学生对知识的掌握不透彻,造成在合作交流时困难较多,导致后边的倒题处理仓促,有些需要加强巩固的内容没有完成,甚至有的学生在学习困难时不积极主动,所以在今后的课堂上注重更多的关注有困难的学生
再教设计
本节课是直线和圆中的重点内容,注意数形结合教学,并设计不同的方法让学生合作交流,从而归纳出切线长定理,在切线长定理的归纳中潜移默化地培养学生对数学知识的归纳能力,设计体现在教学中让学生体验数学知识的形成过程,在体验中感悟和深化知识,通过例题的讲解,激化学生学习数学的积极性.
教材习题解答
练习(教材第100页)
1、解:
∵点O是内心,∴点O是△ABC三条角平分线的交点,∴∠BOC=180°-
(∠ABC+
∠ACB)=180°-
=117.5°
2、解:
S=
ra+
rb+
rc=
r(a+b+c)=
rl
习题24.2(教材第101页)
1,提示:
(1)点P在⊙O内
(2)点P在⊙O上(3)点P在⊙O外
2、提示
(1)相离.
(2)相切,(3)相交
3、解:
(1)∵UV是⊙T的切线,∴UT⊥UV,∴∠VUT=90°,在Rt△UVTk,∠VUT=90°,UV=28cm,TU=25cm,∴VT2=UV2+TU2,∴VT=
=
(cm),
(2)∵VU与VW均是⊙T的切线,∴∠UVT=∠TVW,∠TWV=90°,又∵∠UVW=60°,∴∠TVW=
×60°=30°,在Rt△TVW中,∠TWV=90°,∠TVW=30°,TW=25cm,∴TV=2TW=2×25=50(cm)
4、证明:
连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB,又点C是⊙O上的点,∴直线AB是⊙O的切线.
5、证明:
连接OP,∵AB是小圆的切线,是大圆的弦,∴OP⊥AB,由垂径定理可知,AP=PB
6、解,因为PA,PB是⊙O的切线,所以PA=PB,所以∠PAB=∠PBA,由题意知,OA⊥PA,又∠OAB=25°,所以∠PAB=90°-25°=65°,所以∠P=180°-∠PAB-∠PBA=50°
7、解:
半径为4cm的圆能作出2个,半径为3cm的圆能作出1个,不存在同时经琮A,B两点,且半径为2cm的圆.
8、提示:
锐角三角形的外心在这个三角形的内部;直角三角形的外心是这个直角三角形的中点;
钝角三角形的外心在这个三角形的外部.
9.提示:
可以在车轮上任意连接两点,作出它的垂直平分线,重复一次,则这两条垂直平分线的交点即为圆心,从而确定它的半径.
10.解:
如图所示,连接OW,OX,因为YW,YX均是⊙O的切线,所以OW⊥WY,OX⊥XY,又因为XY⊥WY,所以∠OWY=∠OXY=∠WYX=90°,所以四边形OXYW是矩形,又因为OW=OX,所以四边形OXYW是正方形,所以OW=WY=0.65m,所以这个油桶的底面半径是0.65m.
11.解:
连接OE,OG,因为AB∥CD,所以E,O,G在同一直线上,因为AB,CD,BC是⊙O的切线,所以易证得∠BOC=90°,在Rt△BOC中,OB=6cm,CO=8cm,
所以BC=
=
=10(cm).
12.提示:
连接OC,易知∠DAC=∠OCA=∠OAC,所以AC平分∠DAB.
13.解:
连接O1O2,OlB,BO2,AO2,由题意知O1O2与AB互相垂直且平分,所以四边形AO1BO2是菱形,又因为O1O2=O2A=O1A,所以△AO1O2是等边三角形,所以∠O1AO2=60°,所以∠O1AB=
∠O1AO2=30°.
14.解:
如图所示,连接OA,OB,OC,设OO与AB,BC,CA的切点分别为点D,E,F,连接OD,OE,OF,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=
AB·OD+
BC·OE+
AC·OF=
AB·r+
BC·r+
AC·r
=
r(AB+BC+AC)=
r(a+b+c).
又∵S△ABC=
·AC·BC=
ab,∴
r·(a+b+c)=
ab,∴r=
备课资源
教学建议
1.本节课是直线与圆的位置关系中的重点内容,是学习了切线的性质和判定的基础上继续对切线性质的探究,本节课的重点是切线长定理、三角形的内切圆以及它们的应用.复习提问后探究切线长定理,先让学生动手操作化一条切线,通过折叠使学生自然而然地想到利用轴对称研究两条切线的问题,从而发现切线长定理,然后进行三条切线问题的研究——即三角形的内切圆,研究三角形的内切圆问题又让学生经历了从图形到有关问题计算的过程,让学生经历知识的形成过程,教学设计中尽量把探究问题分解成小问题,降低探究难度,从而达到突破重点,同时提高学生的学习能力.
2.本节谋的难点是切线长定理和三角形的内切圆的画法的探究过程,要重视课堂上学生数学思维的提高,所以要坚持以学生为主的教学,多让学生思考,并说出自己的观点,及时纠正学生的错误,并加以强化,让学生在课堂上通过动手、动脑、动口,亲身经历知识的形成过程,发挥课堂上的主体作用,达到学习知识、强化能力的目的,课堂上教师只是一个引导者,不能代替学生想和说,所以要给学生思考交流的时间和展示自己的空间.
经典例题
例题如图所示,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y.
(1)求证:
AM∥BN;
(2)求y关于x的关系式.
证明:
(1)∵AB是直径,AM,BN是切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM∥BN.
解:
(2)过点D作DF⊥BC于F,则AB∥DF.
由
(1)AM∥BN,∴四边形ABFD为矩形.
∴DF=AB=2,BF=AD=x.
∵DE,DA,CE,CB都是切线,
∴根据切线长定理,得DE=DA=x,CE=CB=y.
在Rt△DFC中,DF=2,DC=DE+CE=x+y,CF=BC-BF=y-x,
∴(2+y)2=22+(y-x)2.化筒,得y=
(x>0).
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