研究生数学建模竞赛优秀论文选《军事行动避空侦察的时机和路线选择》635.docx
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研究生数学建模竞赛优秀论文选《军事行动避空侦察的时机和路线选择》635
参赛密码
(由组委会填写)
“华为杯”第十三届全国研究生数学建模竞赛
学校
参赛队号
1.
队员姓名
2.
3.
参赛密码
(由组委会填写)
题目军事行动避空侦察的时机和路线选择
摘要:
本文通过对卫星的被观测数据进行分析,建立基于时间的预测模型,对三种卫星的被观测情况和过顶情况进行了预测,为实现新疆地区部队隐蔽机动任务,建立了机动路径优化模型,求解得到了避开L-1卫星的最优机动路径,给出了Q型卫星过顶预测情况,并在问题三中建立了侦察卫星对目标机动路段的覆盖模型,给出了移动发射装置对不同侦察卫星的规避方案。
问题1是针对Q型、L型、K型卫星的被观测情况和过顶情况的预测问题。
在题设要求的基础上,通过对附件2-1、附件2-2、附件2-3中的数据进行分析,得到了卫星被观测站观测到的时间,建立基于时间参量的预测模型,通过卫星运行轨道的极坐标模型求取卫星位置。
由于附件中给出的方位角、仰角和距离,都是针对地面观测站而言的,即站心地平直角坐标系,而对于卫星轨道方程的计算是针对球心直角坐标系的,所以建立了坐标系的转换模型。
从而求解得到观察站对Q型、L型、K型卫星的观测情况和卫星的过顶情况,解决目标区域何时不被侦察的问题,给出安全施工的时间段,并针对K型卫星,分析得到卫星被连续观察最少5次才能预测下次被观测到的情况。
问题2是在卫星监视下,部队的机动路线优化问题。
题目要求解决部队从新疆的阿勒泰到和田并返回执行任务途中不被卫星侦察的问题,其实质是以时间为参数的对应某一出发时刻的最短路径的单目标问题。
而约束条件:
最短时间和避开卫星过顶侦察都是跟时间有关系的,那么目标函数是一种权值随时间变化的最短路径问题。
首先建立过顶时间求解模型,建立道路信息网,通过星下点轨迹方程求取过顶时间;其次建立机动路径优化模型,对卫星三种过顶情况进行分析,针对新疆地区,求解得到避开L-1型卫星的最优机动路径,并对Q型卫星的过顶情况进行预测。
问题3是在指定区域内,移动导弹发射装置规避卫星侦察问题。
根据问题1和问题2的求解,我们已经得到了Q型、L型、K型卫星的被观测情况和过顶情况,区域设定为问题2区域(新疆地区),建立路网模型,通过对问题2得到的该区域三种卫星过顶情况进行分析,得出过顶时间规律,依据时间参数建立侦察卫星对目标机动路段的覆盖模型,通过分析卫星的覆盖角对卫星星下点与地面目标点的弧线的覆盖情况,以及卫星覆盖面对星下点轨迹与地面路段的弧面覆盖情况,得到移动目标针对不通侦察卫星的规避方案。
最后,对数据分析、模型建立和模型求解中的误差进行了分析,并给出了解决方案。
并且模型的优缺点进行了分析,给出了模型基于GIS的改进方案。
关键词:
基于时间的预测模型;卫星运行轨道极坐标模型;星下点轨迹;过顶时间求解模型;机动路径优化模型;覆盖模型
1问题重述
社会的发展离不开国防建设,目前国防建设和部队活动开展频繁,而国外对我部队侦察密集,因为无法抵近侦察,采用卫星侦察方式已经常态化。
为了保护军事秘密,维护国家安全,需要防止敌卫星侦察,主要通过伪装和躲避的方式。
这就要求掌握卫星的运行规律和过顶数据,本题对卫星运行规律和过顶情况的计算有以下两个方面的要求:
(1)对于国外军用侦察卫星来说,由于其根数无法获得,无法通过六要素运动方程直接计算出卫星的实时位置数据和侦察范围以及过顶时间。
那么此时,对卫星运行规律的探索只能通过观测数据进行预测。
(2)本题是通过观测站对卫星的过境情况进行观测,得到观测数据,进而利用观测到的数据进行相关推导和计算。
依据观测数据,解决以下三个方面的问题:
问题1:
在北纬31.90~32.25度,东经118.02~118.91度这一区域范围内准备建设一大型国防工程,但是该地域长期受到Q型、L型卫星监视,为了躲避境外卫星的过顶侦察,在该区域内配置了一个观察站(观察站位置:
北纬:
32.0209度;东经:
118.7681度),通过观察站对该区域的过境卫星(Q型、L型、K型卫星)进行观测,得到了一些观测数据,根据观测数据求解以下三个子问题:
问题1.1:
Q型卫星侦察隐蔽问题。
根据题目附件2-1中给出的D0、D1、D2日Q型卫星被该观察站观测到的情况,包括观察站最先观察到卫星的时刻、离观察站最近的时刻、最后观察到的时刻以及三个时刻对应的天线方位角、天线仰角、卫星亮度、卫星与观测站距离、太阳方位角、太阳仰角。
根据观测到的这些数据,建立数学模型,预测D3、D5日的卫星被观测到的情况及过顶情况,并结合Q型卫星的侦察范围给出D3、D5两天内确保安全施工的时段,即除去过顶时间外的时段。
问题1.2:
L型卫星侦察隐蔽问题。
L型卫星为双星卫星,是L-1、L-2两颗卫星协同工作的卫星系统。
题目附件2-2给出了L-1、L-2卫星在8月16日-21日被观察站观测到的情况,需要完成以下两个任务:
(1)根据观测到的这些数据,建立数学模型,预测8月23日卫星被观测到的情况及过顶情况,并给出确保安全施工的时段。
(2)由于L型卫星是SAR(雷达成像照相)侦察卫星,其特点是能全天时、全天候侦察,不受天气和光照等因素的影响,并且具有一定的穿透能力,普通的伪装网是不能遮蔽其侦察的,根据卫星的这些特点和预测的卫星过顶数据,对L型卫星侦察方面的薄弱环节进行分析。
问题1.3:
K型卫星侦察隐蔽问题。
观测站对K型卫星观测到的数据只有十次,根据这连续十次的观测数据,预测其未来三次被观测到的情况,并说明该卫星已经被连续观察最少n次才能够确定下次被观测到的情况所需要的n,以及观察次数对预报精度的影响。
问题2:
某部需要从新疆的阿勒泰隐蔽地经喀什运动到和田并在和田执行某任务,24小时后再隐蔽地返回阿勒泰(不必经喀什),部队可以按需要选择在高速公路(最大速度100
公里/小时)或普速公路(除高速之外的其他公路,最大速度50公里)上行进,假设部队出发时(2016年11月1日凌晨5时整)Q型卫星、L-1卫星(它们的轨道要素见附
件1,其他L型卫星都不考虑)均位于各自轨道的近地点。
行车时车队最大长度2千米,部队每开进10~12小时可选择途经的县级以上(含县级)城市休息10小时以上(即连续开进时间不少于10小时,不多于12小时),请你们根据附件3给出的地图(必要时可借助因特网获取有关地理信息),设计合理的行军时机、路线和宿营地,避开L-1卫星侦察,并预测Q型卫星的过顶时刻,以便及时做好隐蔽工作,尽可能快地安全到达目的地。
问题3:
研究导弹发射装置的战时隐蔽问题。
有专家提出,运动方式可能是移动发射装置规避卫星侦察的有效方案。
请你们研究以下问题:
假设某移动发射装置可在某一指定区域内自由运动,分别研究针对Q型、L型(包括L-1、L-2)、K型卫星的侦察能够规避的可行性、条件(区域大小、形状、路网状况及其他你们认为需要的条件)和方式。
欢迎进一步针对两种或三种卫星的组合侦察能够规避的可行性、条件和方式。
并考虑卫星参数变化对方案的影响。
2问题分析
2.1问题1的分析
问题1是在题设要求的基础上,通过对附件2-1、附件2-2、附件2-3中的数据进行分析,预测观察站对Q型、L型、K型卫星的观测情况和卫星的过顶情况,解决目标区域何时不被侦察的问题,给出安全施工的时间段。
为了对本题进行解答,需要结合卫星运行的物理背景,在对观测数据分析推导的前提下,从已知条件和天体运动规律(开普勒三大定律)出发,建立预测模型,从而解决以下三个子问题:
问题1.1是针对Q型卫星的预测问题。
首先根据题目附件2-1中给出的D0、D1、D2日Q型卫星被该观察站观测到的情况,对数据进行分析,提取预测基础。
附件2-1中给出的方位角、仰角和距离,都是针对地面观测站而言的,在空间中来看,数据信息是针对站心地平直角坐标系而言的(右手系,Y轴指向正北,X轴指向正东,观测站为O点,Z轴为O点法线,指向天顶为正)。
但是,根据开普勒定律,卫星在椭圆轨道上绕地球运行,地球在椭圆的一个焦点上,要预测卫星的过顶情况就需要预测卫星在观测时刻点对应的位置信息,那么这个位置信息的计算从空间来看,是基于球心直角坐标系的。
那么,为了预测卫星观测情况,需要解决以下几个问题:
(1)确定D3、D5日的观测时刻;
(2)对已知卫星位置(已经观测到的数据)建立站心地平直角坐标系、大地坐标系和球心直角坐标系,并根据相对位置推导三个坐标系之间的转换关系;
(3)依据某一时刻卫星观测数据,通过坐标系之间的相互转换,计算下一观测时刻的卫星位置信息,进而得到卫星相对于观测点的方位角和仰角,以及距离和其他信息。
(4)根据预测得到的D3、D5日观测数据,计算过顶情况,得到目标区域的安全施工时段。
问题1.2:
L型卫星侦察隐蔽问题。
L型卫星为双星卫星,是L-1、L-2两颗卫星协同工作的卫星系统。
题目附件2-2给出了L-1、L-2卫星在8月16日-21日被观察站观测到的情况,需要完成以下两个任务:
(1)根据观测到的这些数据,建立数学模型,预测8月23日卫星被观测到的情况及过顶情况,并给出确保安全施工的时段。
(2)由于L型卫星是SAR(雷达成像照相)侦察卫星,其特点是能全天时、全天候侦察,不受天气和光照等因素的影响,并且具有一定的穿透能力,普通的伪装网是不能遮蔽其侦察的,根据卫星的这些特点和预测的卫星过顶数据,对L型卫星侦察方面的薄弱环节进行分析。
问题1.3:
K型卫星侦察隐蔽问题。
观测站对K型卫星观测到的数据为连续十次,需要据此预测其未来三次被观测到的情况,并说明该卫星已经被连续观察最少n次才能够确定下次被观测到的情况所需要的n,以及观察次数对预报精度的影响。
对于此题,要根据相邻两次观测到的最短时间,即近似等于卫星绕行一周的时间,算出卫星运行的周期和每日卫星绕行圈数。
先预测未来三天的观测时间,结合模型计算其他的卫星被观测情况。
地球自转
卫星被观测时间预测
卫星运行周期
问题1求解思想如图1所示。
开始
已观测数据分析,提取时间规律
L型卫星
Q型卫星
建立基于时间参量的预测模型
空间位置坐标转换:
大地坐标
球心直角坐标站心地平直角坐标
K型卫星
D3、D5日被观测情况求解
8月22日被观测情况和过顶情况
未来三次卫星被观测情况预测
结束
8月23日安全施工时段
安全施工时段
预测所需最少连续观测次数的确定
8月23日被观测情况和过顶情况
D3、D5日目标区域过顶情况求解
图1问题1求解思想流程图
2.2问题2的分析
问题2是在卫星监视下,部队的机动路线优化问题,从新疆的阿勒泰隐蔽地经喀什运动到和田并在和田执行某任务,24小时后再隐蔽地返回阿勒泰(不必经喀什)。
这是在一个给定的道路交通网中,需要求取从出发地到目的地的最优路径,主要是通过在道路交通网的节点处做出选择与判断。
结合卫星的过顶区域,在节点处选择沿那条路机动,
考虑过顶时间决定什么时候开始机动,如果所有可选择的路段在某时间段内都在卫星的国定区域,那么就要在节点处(途经的县级以上(含县级)城市)休息。
问题的目标函数为:
一条最优机动路径。
约束条件有两个:
(1)部队以最短的时间到达目的地;
(2)避开卫星过顶侦察。
进一步分析,由于某一路段的机动时间和对应路段长度与行进速度都有关,题目给出部队可以按需要选择在高速公路(最大速度100公里/小时)或普速公路(除高速之外
的其他公路,最大速度50公里)上行进,可见行进速度主要受道路等级的制约,因此可以把道路等级,路段长度都转化为时间参数。
那么,问题就转化为求以时间为参数的对应某一出发时刻的最短路径的单目标问题。
而约束条件:
最短时间和卫星过顶侦察都是跟时间有关系的,那么目标函数是一种权值随时间变化的最短路径问题。
开始
任务分析
建立条件约束优化模型
机动路径优化模型
目标函数:
最优机动路径约束条件:
(1)部队机动时避开卫星过顶侦察时间;
(2)机动路径用时最短。
问题2求解思想如图2所示。
过顶时间求解模型
星下点轨迹方程
建立目标路段道路交通网
三种卫星过顶情况分析
目标区域县级以上(含县级)城市地理信息
Q型卫星过顶情况预测
避开L-1型卫星最优机动路径
星下点轨迹与区域方位
2.3问题3的分析
结束
图2问题2求解思想流程图
问题3是在指定区域内,对于移动导弹发射装置规避卫星侦察问题。
根据问题1和问题2的求解,我们已经得到了Q型、L型、K型卫星的被观测情况和过顶情况,为了方便计算,本题设定区域为问题2中的区域,通过对问题2得到的该区域三种卫星过顶情况进行分析,得出过顶时间规律,依据时间参数建立模型,求取卫星过顶时的覆盖区域(星下点轨迹),得到区域大小、形状等信息。
根据问题2建立该区域路网模型,求解移动导弹发射装置的规避路径和条件。
在模型求解过程中,涉及到了三种情况:
单星、双星组网、三星组网。
分析得到反卫星侦察能够规避的可行性、条件(区域大小、形状、路网状况及其他你们认为需要的
条件)和方式。
开始
指定区域为问题2设计区域(新疆地区)
问题3求解思想如图3所示。
过顶情况数据分析
星下点轨迹
地面点的卫星覆盖情况
建立侦察卫星对目标机动路段的覆盖模型
发射装置规避方案路径选择X=1:
路径可行X=0:
路径不可行
结束
规避卫星侦察的可行性、条件和方式
图2问题2求解思想流程图
3
三星组网
单星
双星组网
问题假设
假设1:
由于短时间内卫星轨道面在太空中变化很小,一天只随太阳转动0.986度,在实际建模和计算时假设卫星轨道面不变。
假设2:
在分析计算过程中,忽略地球扁率、大气摄动等的影响,将地球作为球体,并且卫星轨道无摄动。
假设3:
部队机动过程中忽略天气等因素的影响。
4符号说明
a、e
卫星椭圆轨道的长半轴、离心率
θ
卫星与焦点连线的夹角
(X,Y,Z)
球心直角坐标
(L,B,H)
大地坐标(经度、纬度、高程)
(x,y,z)
站心地平直角坐标
α
卫星在轨道平面相对于近地点偏转角度
χ、Ω、i
近地点幅角、升交点赤径、轨道倾角
γ、ϕ、d
观测站的天线仰角、方位角、与卫星距离
m、n
施工区域长、宽
s
以星下点轨迹为中心的卫星左右探测距离
D
卫星到观察点的距离
V
县级以上(含县级)城市节点
A、aij
路段集、连接节点i和节点j的路段
Ti、tij
原始通行时间集、aij上的原始通行时间
τ
卫星对所有路段的过顶时间集
(τi,τj)
卫星对路段aij的过顶时间
φ、δ
为地心纬度、地球上的经度
T、ω
卫星运行周期、卫星角速度。
t0、L
部队机动出发时间、为最优机动路径
f(i,j)
节点i到节点j之间的延迟时间函数
5问题1模型的建立和求解
5.1问题1.1模型的建立和求解
5.1.1Q星数据分析
题目中给出的卫星为,近地轨道对地观测卫星,经过计算可以得到其轨道为近圆轨道,根据附件1中给出的卫星的运行周期为94.37分钟,每天的绕地球的运行圈数为15.26圈。
地球自转一圈的周期为24小时,即1440分钟,而卫星绕地球转动15圈的总时间
为1415.55分钟,即卫星转动15圈比地球自转一周的时间少24分37秒,因此,当卫星
再次转动15圈时,卫星与观察者最近时刻的时间,理论上应该比前一天的时刻,提前
24分37秒。
以D0天的第一次,D0天的第四次和D1天的第二次作为一组数据,以D0天的第三次,D1天的第一次和D2天的第二次作为另一组数据,详细数据见表1,表2,观察到的卫星的时刻为例,进行验证。
表1第一组分析数据
次数
分析时刻点
时间
时间差值
D0-1
离观察者最近的时间
00:
10:
36
0
D0-2
离观察者最近的时间
23:
47:
17
23分19秒
D1-2
离观察者最近的时间
23:
24:
01
23分16秒
D2-3
离观察者最近的时间
23:
00:
50
23分11秒
表2第二组分析数据
次数
分析时刻点
时间
时间差值
D0-3
离观察者最近的时间
13:
15:
51
0
D1-1
离观察者最近的时间
12:
52:
38
23分13秒
D2-2
离观察者最近的时间
12:
29:
21
23分17秒
理论上,时间应该提前为24分37秒,但是,经过对实际观察到的时间数据的分析,
得到平均时间差为23分15秒。
其理论计算和实际观察误差为1分22秒。
产生误差的原因有以下三个方面:
(1)在下一个15次时,观察者与卫星之间的最近距离,已经发生变化,所以在24
分37秒时刻,尚未达到最近距离,卫星在1分22秒内,转过的弧度为5.15度,即在
15次之后,再次观察到卫星时,应比前一次晚一段时间;
(2)卫星轨道面在太空中,一天随太阳转动0.986度,即在下一次观察到卫星的时候,卫星的轨道面已经发生改变,而本题中将其忽略;
(3)地球实际为一个椭圆,而实际计算时按照圆来计算,忽略了卫星在运行中的摄动影响。
综上分析,可以根据D2天观测时刻点来预测D3天观测到卫星的时刻:
TD3=TD2-23分16秒
那么,可以得到D3、D5天观测到卫星的时刻,如表3所示。
表3D3、D5天观测到卫星的时刻
观测到卫星次数观测到卫星时间
D3-1
D3-2
D5-1
D5-2
最先观察到卫星的时间
00:
30:
08
12:
01:
26
12:
45:
39
23:
17:
31
离观察者最近的时间
00:
33:
07
12:
04:
54
12:
52:
38
23:
24:
01
最后观察到的时间
00:
36:
04
12:
08:
11
12:
56:
09
23:
27:
07
5.1.2问题1.1模型的建立
根据对附件2-1中Q型卫星D0、D1、D2三天观测数据的分析,得到了D3天观测站对卫星的观测时刻点,知道了时间参量,我们可以建立关于时间参量的方程组对卫星位置进行求解[1]。
根据开普勒第一定律,人造卫星轨道是绕地球运行的椭圆轨道,地球中心位于椭圆的一个焦点上,建立卫星椭圆轨道的极坐标方程。
r=a(1-e2)/(1-ecosθ)
其中,a为长半轴,e为离心率,θ为卫星与焦点连线的夹角,为时间t和角速度的函数。
根据开普勒第二定律,卫星与地心向径在单位时间内扫过的面积相等,建立同等时间向径扫过面积方程:
t2t4
⎰t1r(t)dt=⎰t3r(t)dt
由于下一观测时刻已知,根据开普勒方程即可求出该时刻对应的向径,再者卫星椭圆轨道极坐标系的极点为地心,与球心直角坐标系原点重合,可以通过向径和轨道参数求出卫星在球心直角坐标系中的位置坐标(X,Y,Z):
⎡X⎤⎡
cosαcosχ⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢Y⎥=r∙⎢sinαcos(90-(360-Ω))⎥
⎢⎣Z⎥⎦⎢⎣cosαsinχ⎥⎦
其中,α为卫星在轨道平面相对于近地点偏转角度,χ为近地点幅角,Ω为升交点赤径。
Z
M1
M2
M3
,,O
Y
M4
X,,,,
图4球心直角坐标系
,,
,,
θ1
θ
,,
图5卫星轨道极坐标系
将球心直角坐标系转换到站心地平直角坐标系即可求出卫星在下一观测时刻相对于观测站的位置。
但是,在卫星球心直角坐标到站心地平直角坐标的转换计算过程中涉及到了观测站大地坐标向球心直角坐标的转换计算。
下面是转换过程[2]:
(1)观测站大地坐标向球心直角坐标的转换
以下是观测站大地坐标(L0,B0,H0)向球心直角坐标(X0,Y0,Z0)的转换计算过程:
Z
P
x
y
Z
X
地心O
Y
X
Y
图6大地坐标系
由于观测站P位置在地球表面,所以H0=0,由图6大地坐标系中的三角关系可以列出方程:
⎡X0⎤⎡xcosL0⎤
⎢Y⎥=⎢xsinL⎥
⎢0⎥⎢0⎥
⎢⎣Z0⎥⎦⎢⎣y⎥⎦
由图7可知,过观测点P子午线的切线TP,与x轴夹角为90
dy=-cotBdx
+
B,那么:
p
X
y
OQ
T
Kp
图7观测点的子午线平面
x,y需要计算,将子午圈椭圆方程和第一偏心率计算公式代入上式,同时为了化简形式,将卯寅圈方程代入即可求得x,y简化公式。
子午圈方程:
x2+y2=
第一偏心率公式:
a2b21
卯寅圈方程
e=
a2-b2
a
1-e2sin2B
N=a
得到:
x=NcosB
y=N(1-e2)sinB
那么,大地坐标到球心直角坐标的转换计算式为:
0
⎡X⎤⎡(N+H
⎢⎥⎢
)cosBcosL⎤
000⎥
⎢Y0⎥=⎢(N+H0)cosB0sinL0⎥
⎢Z⎥⎢⎡2⎤⎥
⎣0⎦⎢⎣⎣N(1-e)+H0⎦sinB0⎥⎦
(2)卫星球心直角坐标到站心地平直角坐标的转换
Z
M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z1)
M3
10.1
-X,西方270度
观察点A
Y,北方0度
5.5
M4
X,东90度
图8站心地平直角坐标系
从球心直角坐标(X,Y,Z)转换到站心地平直角坐标(x,y,z),可以通过将(X,Y,Z)
旋转两次实现,先绕Z轴旋转(90的大地坐标。
旋转转换方程为:
+
L),再绕X轴旋转(90
-
B),其中(L,B,H)为卫星
⎡x⎤
⎛⎡X⎤⎡X0⎤⎫
⎢y⎥=R(90-B)R
(90
+L)ç⎢Y⎥-⎢Y⎥⎪
⎝
⎢⎥xz
ç⎢⎥⎢0⎥⎪
⎢⎣z⎥⎦
ç⎢⎣Z⎥⎦⎢⎣Z
0⎦⎭
⎥⎪
在上式中,(X0,Y0,Z0)是站心地平直角坐标系原点(即观测站)对应的球心直角坐标系中的坐标,由题可知观测站的大地坐标(L0,B0,H0)。
在上式中,
⎡100⎤
⎢⎥
Rx(90
-B)=
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