数学建模小题目及答案.docx
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数学建模小题目及答案
1.求下列积分的数值解:
functiony=myfun(x)
y=1./(x.*(x.^2-3*x+2).^(1/3));
warningoffall
Q=quad(@myfun,2,100000)
Q=quad(@myfun,2,10000000)
Q=quad(@myfun,2,1000000000000000)
warningon
当上限为100000,10000000,1000000000时,
定积分的值为x=1.4389,1.4396,1.4396。
因此,可以将1.4396作为此定积分的值。
2.已知
,
,画出
时,
的图形。
symst,symsh;
f=exp(t+h)*cos(t+h)+(t+h)^2*sin(t+h);
int(f,t,0,10)
ans=
1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*cos(h)-2*sin(h)*h
ezplot('1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*cos(h)-2*sin(h)*h',[-10,10])
3.画出
绕
轴一周所围成的图形,并求所产生的旋转体的体积。
主程序:
[y,z]=cylinder(1:
0.2:
9,100);
mesh(sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2),y,z);
holdon;
mesh(-sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2),y,z);
求体积
dv=
dydz
先计算在第Ⅰ卦限的体积1≤y
+z
≤9
计算
dy
dz
=
-
clear
symszmy
m=sqrt(16-(y-5)^2)*(sqrt(9-y^2)-sqrt(1-y^2));
int(m,1,9)
ans=
-118/3*i-19*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))-35/3*3^(1/2)*EllipticPi(1/3,1/2*2^(1/2))+50*3^(1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))-58/3*i*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))+35/6*i*3^(1/2)*EllipticPi(3/4,1/2*2^(1/2))+50*i*3^(1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))+75/2*log(5)-75/2*log(-3+4*i)
V=8(118/3*i-19*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))-35/3*3^(1/2)*EllipticPi(1/3,1/2*2^(1/2))+50*3^(1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))-58/3*i*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))+35/6*i*3^(1/2)*EllipticPi(3/4,1/2*2^(1/2))+50*i*3^(1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))+75/2*log(5)-75/2*log(-3+4*i))
4.画出下列曲面的图形
(1)旋转单叶双曲面
;
x=@(s,t)3.*sec(s).*cos(t);
y=@(s,t)3.*sec(s).*sin(t);
z=@(s,t)2.*tan(s);
ezmesh(x,y,z)
或者
t=-pi/4:
0.1:
pi/4;
r=0:
0.1:
2*pi;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=3*sec(t).*sin(r);
y=3*sec(t).*cos(r);
z=2*tan(t);
surf(x,y,z)
(2)马鞍面
;
x=-2*pi:
0.2:
2*pi;
[x,y]=meshgrid(x);
z=x.*y;
surf(x,y,z);
xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');
title('surf');
或者
x=-2:
0.1:
2;
y=-2:
0.1:
2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
zz=xx.*yy;
surf(xx,yy,zz)
或者
ezsurf(@(x,y)x*y)
5.画出隐函数
的图形。
ezplot('cos(y)+sin(x)-1',[-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi])
6.
(1)求函数
的三阶导数;
clear
symsx
diff('log((x+2)/(1-x))',x,3)
(2)求向量
的一阶向前差分。
a=[0,0.5,2,4];
i=1:
3;
b=a(i+1)-a(i)
7.求解非线性方程组
(1)
[x,y]=solve('x^2+y-6=0','y^2+x-6=0','x','y')
(2)
[x,y]=solve('exp(x+sin(y))+cos(y)=10','tan(x)+10*log(y)=5','x','y')
8.求函数
的极值点,并画出函数的图形。
clear;
symsx
y=x^3+6*x^2+8*x-1;
dy=diff(y)
x=solve(dy)
x=double(x)
作图:
fplot('x^3+6*x^2+8*x-1',[-5,1])
9.某单位需要加工制作100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m和1m的圆钢各一根。
已知原料长6.9m,问应如何下料,使用的原材料最省。
解:
最简单做法是,在每一根原材料上截取2.9m,2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套,每根原材料剩下料头0.9m(7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。
为了做100套钢架,需用原材料100根,共有90m料头。
若改为用套裁,这可以节约原材料。
下面有几种套裁方案,都可以考虑采用。
见表1-5。
结果
方案
2.9m
2.1m
1m
余料
1
1
1
1
0.9
2
1
0
4
0
3
2
0
1
0.1
4
0
0
6
0.9
5
0
1
4
0.8
6
0
2
2
0.7
7
0
3
0
0.6
为了得到100套钢架,需要混合使用各种下料方案。
设按1方案下料的原材料根数为x1,2方案为x2,3方案为x3,4方案为x4,5方案为x5,6方案为x6,7方案为x7。
根据表1-11的方案,可列出以下数学模型:
LINGO程序如下:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
x1+x2+2*x3>=100;
x1+x5+2*x6+3*x7>=100;
x1+4*x2+x3+6*x4+4*x5+2*x6>=100;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
@gin(x5);
@gin(x6);
@gin(x7);
Feasiblesolutionfound:
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValue
MINZ27.90000
X18.000000
X246.00000
X331.00000
X41.000000
X55.000000
RowSlackorSurplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
N=91根
10.某部门在今后五年内考虑给下列项目投资,已知:
项目
,从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年末回收本利115%;
项目
,从第三年初需要投资,到第五年末能回收本利125%,但规定最大投资额不超过4万元;
项目
,第二年初需要投资,到第五年末能回收本利140%,但规定最大投资额不超过3万元;
项目
,五年内每年初可购买公债,于当年末归还,并加利息6%。
该部门现有资金10万元,问它应如何确定给这些项目每年的投资额,使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大?
第j年
项目
1
2
3
4
5
A
X1A
X2A
X3A
X4A
B
X3B
C
X2C
D
X1D
X2D
X3D
X4D
X5D
解:
分析:
第一年有10万元资金,
;
第二年投资,
;
第三年投资:
;
第四年投资:
;
第五年投资:
其中,
由于“连续投资问题”要求第五年末部门所拥有的资金的本利总额最大,故目标函数为:
建立“连续投资问题”的线性规划模型:
用Lingo求解:
max=1.15*X4A+1.25*X3B+1.4*X2C+1.06*X5D;
X1A+X1D=100000;
X2A+X2C+X2D-1.06*X1D=0;
X3A+X3B+X3D-1.15*X1A-1.06*X2D=0;
X4A+X4D-1.15*X2A-1.06*X3D=0;
X5D-1.15*X3A-1.06*X4D=0;
X3B<=40000;
X2C<=30000;
Z=143750元。
第一年:
X1A=71698.11元X1D=28301.89元
第二年:
X2A=0X2C=30000元X2D=0
第三年:
X3A=0X3B=40000元X3D=42452.83元
第四年:
X4A=45000元X4D=0
第五年:
X5D=0
11.已知某工厂计划生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品,各种产品需要在A,B,C三种设备上加工生产,具体相关数据如表1。
试研究下列问题。
(1)如何充分发挥已有设备的能力,使生产盈利最大?
(2)如果为了增加产量,可租用其他厂家设备B,每月可租用60台时,租金为1.8万元,试问租用设备B是否合算?
(3)如果该工厂拟增加生产两种新产品Ⅳ和Ⅴ,其中产品Ⅳ需用A设备12台时,B设备5台时,C设备10台时,单位产品盈利21000元;产品Ⅴ需用A设备4台时,B设备4台时,C设备12台时,单位产品盈利1870元。
假如A,B,C三种设备台时不增加,试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算?
表1生产计划的相关数据
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
设备有效台时/每月
A
8
2
10
300
B
10
5
8
400
C
2
13
10
420
单位产品利润/元
3000
2000
2900
解:
(1)设使用A为x1台时,B使用x2台时,C是使用x3台时:
程序
max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;
8*x1+2*x2+10*x3<=300;
10*x1+5*+5*x2+8*x3<=400;
2*x1+13*x2+10*x3<=420;
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
134500.0
Extendedsolversteps:
6
Totalsolveriterations:
29
VariableValueReducedCost
X124.00000-3000.000
X224.00000-2000.000
X35.000000-2900.000
RowSlackorSurplusDualPrice
1134500.01.000000
210.000000.000000
30.0000000.000000
410.000000.000000
(2)max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;
8*x1+2*x2+10*x3<=300;
10*x1+5*x2+8*x3<=460;
2*x1+13*x2+10*x3<=420;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
综Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
145000.0
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
X131.00000-3000.000
X226.00000-2000.000
X30.000000-2900.000
RowSlackorSurplusDualPrice
1145000.01.000000
20.0000000.000000
320.000000.000000
420.000000.000000
合考虑方案
(1)和方案
(2),方案
(2)经济效益为145000不合理.
(3)目标函数:
maxz=3000*x1+2000*x2+2900*x3+21000*x4+1870*x5;
8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5<=300;
10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5<=400;
2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5<=420;
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
135960.0
Extendedsolversteps:
25
Totalsolveriterations:
202
VariableValueReducedCost
X126.00000-3000.000
X219.00000-2000.000
X31.000000-2900.000
X41.000000-2100.000
X58.000000-1870.000
RowSlackorSurplusDualPrice
1135960.01.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
45.0000000.000000
结论:
最大经济效益为1356960元时,x1,x2,x3,x4,x5分别为26、19、1、1、8.
12.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B,目的是方便市民的生活,提高城市的生活质量。
根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h(即每个劳动力用1h),分别可以建成1个项目A和两个项目B。
如果投入1个劳动力·h需要支付10元,市政府为了用有限的资金和劳动力,并用最快的时间建成这批项目,服务于社会,服务于人民。
市政府依次提出下面的四条要求。
(1)至少要建50个项目A;
(2)至多建设60个项目B;
(3)至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h;
(4)总投入资金不超过预算120万元。
试为该市政府制定一个满意的项目建设方案。
解:
第一目标:
第二目标:
第三目标:
规划函数:
应用lingo软件,得项目A数目为70,项目B数目为60.
程序:
min=p1*d11+p2*d22+p3*d31+p4*d41+p5*d52;
x1-d11=50;
x2+d22=60;
1.1*x1+0.55*x2-d31=80;
x1+0.5*x2-d41=100;
1.1*x1+0.55*x2+d52=120;
运行结果为
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
P10.00000020.00000
D1120.000000.000000
P20.0000000.000000
D210.0000000.000000
P30.00000030.00000
D3130.000000.000000
P40.0000000.000000
D410.0000000.000000
P50.00000010.00000
D5210.000000.000000
X170.000000.000000
X260.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.000000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
13.求微分方程组初值问题
式中,
,
,
,
。
选用ode45函数计算,其相对误差限为
,绝对误差限为
,分别画出初值条件为
,
,
,
,
解的相平面轨迹图。
程序:
新建一个shier.m文件
functiondx=shier(t,x);
dx=zeros(2,1);
dx
(1)=(2*x
(1)-x
(1)*x
(2));
dx
(2)=(-x
(2)+2*x
(1)*x
(2));
options=odeset('RelTol',1e-5,'AbsTol',1e-6);
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.3]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.5]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.7]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.9]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,1.1]);
plot(t,x(:
1),'-',t,x(:
2),'*')
图一
图二
图三
图四
图五
14.求两个圆
,
所围公共部分的面积。
程序:
ezplot('x^2+y^2-100',[-20,20]);
holdon;
ezplot('(x-3)^2+(y-4)^2-100',[-20,20]);
>>symsx;
g=sqrt(100-(x+2.5)^2);
int(g,x,0,7.5)
ans=25*pi-25/8*15^(1/2)-50*asin(1/4)
double(ans)
ans=53.8027
>>s=4*double(ans)
s=215.2109
15.已知平面区域
,
的高程数据见表3(单位:
m)。
表3
4800
4400
4000
3600
3200
2800
2400
2000
1600
1200
800
400
0
13501370139014001410960940880800690570430290210150
13701390141014301440114011101050950820690540380300210
138014101430145014701320128012001080940780620460370350
1420143014501480150015501510143013001200980850750550500
143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550
9501190137015001200110015501600155013801070900105011501200
9101090127015001200110013501450120011501010880100010501100
88010601230139015001500140090011001060950870900936950
83098011801320145014204001300700900850810380780750
740880108011301250128012301040900500700780750650550
650760880970102010501020830800700300500550480350
510620730800850870850780720650500200300350320
370470550600670690670620580450400300100150250
0400800120016002000240028003200360040004400480052005600
试用二维插值求
方向间隔都为10的高程,画出该区域的等高线和三维视图,并求该区域的表面积。
建一个moutain.m文件
x=0:
400:
5600;
y=0:
400;4800;
z=[13501370139014001410960940880800690570430290210150
13701390141014301440114011101050950820690540380300210
138014101430145014701320128012001080940780620460370350
1420143014501480150015501510143013001200980850750550500
143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550
950119
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