浙江数学高考试题附含答案解析.docx
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浙江数学高考试题附含答案解析
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数
学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共
4页,选择题部分
1至2页;非选择题部分
3至
4页。
满分
150分。
考试用时
120分钟。
考生注意:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题
纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题
卷上的作答一律无效。
参考公式:
若事件A,B互斥,则P(AB)
P(A)
P(B)
柱体的体积公式V
Sh
若事件A,B相互独立,则P(AB)
P(A)P(B)
其中S表示柱体的底面积,
h表示柱体的高
1
锥体的体积公式V
Sh
若事件A在一次试验中发生的概率是
p,则n
3
次独立重复试验中事件
A恰好发生k次的概率
其中S表示锥体的底面积,
h表示锥体的高
Pn(k)Cnkpk(1
p)nk(k
0,1,2,
n)
球的表面积公式
2
S
1(S1
4R
台体的体积公式
V
S1S2
S2)h
球的体积公式
3
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,
h表
V
4
3
R
3
示台体的高
其中R表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则eUA=
A.B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}
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2
2
.双曲线x
2
的焦点坐标是
y=1
3
A.(-2,0),(
2,0)
B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-2),(0,2)
D.(0,-2),(0,2)
3
.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是
2
112
正视图侧视图
俯视图
A.2
B.4
C.6
D.8
4
.复数
2
(i为虚数单位)的共轭复数是
1
i
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
5
.函数y=2|x|sin2x的图象可能是
A.B.
C.D.
6.已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
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7.设0
ξ
0
1
2
1
p
1
p
P
2
2
2
则当p在(0,1)内增大时,
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大
D.D(ξ)先增大后减小
8.已知四棱锥-
的底面是正方形,侧棱长均相等,
E
是线段
AB
上的点(不含端点),设
SABCD
SE与BC所成的角为θ,SE与平面ABCD
所成的角为θ,二面角S-
AB-C的平面角为θ,则
1
2
3
A.θ1≤θ2≤θ3
B.θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2
D.θ2≤θ3≤θ1
9.已知a,b,e
是平面向量,e是单位向量.若非零向量
a与e的夹角为
π,向量b满足
3
b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是
A.3-1
B.3+1
C.2
D.2-
3
10.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且
a1a2
a3
a4ln(a1
a2
a3).若a11,则
A.a1a3,a2
a4
B.a1
a3,a2
a4
C.a1
a3,a2
a4D.a1
a3,a2a4
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:
“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;
鸡雏三,值钱一。
凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?
”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别
x
y
z
100,
为x,y,z,则
3y
当z
81时,x___________,y___________.
5x
1z100,
3
x
y
0,
12.若x,y满足约束条件
2x
y6,则zx
3y的最小值是___________,最大值是___________.
x
y
2,
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=___________,
c=___________.
14.二项式(3x
1
)
8的展开式的常数项是___________.
2x
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15
∈R,函数
(
x
4,x
,当=2时,不等式
(
)<0的解集是___________.若
.已知
)=
λ
fx
x2
4x
3,x
λ
fx
函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.
16
.从1,3,5,7,9
中任取
2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________
个没有重复数字的四位数
.(用数字作答)
17
.已知点
P(0,1),椭圆x2
+y2=m(m>1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m=___________
4
时,点B横坐标的绝对值最大.学科
*网
三、解答题:
本大题共
5小题,共74
分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)已知角
α的顶点与原点O重合,始边与
x轴的非负半轴重合,它的终边过
点P(
3,-
4
).
5
5
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=
5
,求cosβ的值.
13
19
.(本题满分
15分)如图,已知多面体
ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠
ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:
AB1⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
20.(本题满分15分)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差
中项.数列
{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(Ⅰ)求q的值;
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(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.学*科网
21.(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同
的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
yA
PMx
O
B
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
2
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+y=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
4
22.(本题满分15分)已知函数f(x)=x-lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:
f(x1)+f(x2)>8-8ln2;
(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:
对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数
学·参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算。
每小题
4分,满分40
分。
1.C2.B3.C4.B
5.D
6.A
7.D
8.D
9.A
10.B
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算。
多空题每题
6分,单空题每题
4
分,满分
36分。
11.8;11
12.-2
;8
13.
21;3
14.7
7
15.(1,4);(1,3]
(4,
)
16.1260
17.5
三、解答题:
本大题共
5小题,共
74分。
18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力。
满分
14
分。
(Ⅰ)由角
的终边过点P(
3
4
4
,
)得sin
5
4
5
5
所以sin(
π)
sin
.
5
3,
4)得cos
3
(Ⅱ)由角
的终边过点P(
,
5
5
5
由sin(
5
得cos(
)
12
)
.
13
13
由(
)
得cos
cos(
)cos
sin(
)sin
,
所以cos
56
或cos
16
65
.
65
19.本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分。
方法一:
(Ⅰ)由AB2,AA14,BB12,AA1AB,BB1AB得AB1A1B122,
所以A1B12AB12AA12.
故AB1A1B1.
由BC2,BB12,CC11,BB1BC,CC1BC得B1C15,
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由AB
BC2,ABC
120得AC2
3,
由CC1
AC,得AC1
13,所以AB12
B1C12
AC12,故AB1B1C1.
因此AB1平面A1B1C1.
(Ⅱ)如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连结AD.
由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1,
由C1D
A1B1得C1D
平面ABB1,
所以
C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.学科.网
由BC11
5,A1B12
2,AC1121得cosC1A1B1
6,sinC1A1B1
1,
7
7
所以C1D
3,故sin
C1D
39
C1AD
.
AC1
13
因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是
39.
13
方法二:
(Ⅰ)如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直
角坐标系O-xyz.
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由题意知各点坐标如下:
A(0,
3,0),B(1,0,0),A1(0,
3,4),B1(1,0,2),C1(0,
3,1),
uuur
uuur
uuur
因此AB1(1,
3,2),A1B1
(1,
3,
2),AC11(0,2
3,
3),
uuur
uuur
0得AB1
A1B1.
由AB1A1B1
uuur
uuur
AB
AC
.
由
AB1
AC1
1
0
得
1
11
所以AB1
平面A1B1C1.
(Ⅱ)设直线
AC1与平面ABB1所成的角为.
uuur
uuur
uuur
由(Ⅰ)可知AC1
(0,2
3,1),AB
(1,3,0),BB1
(0,0,2),
设平面ABB1的法向量n
(x,y,z).
uuur
nAB
0,
x
3y
由uuur
即
2z
0,
nBB1
0,
uuur
所以sin
|cos
AC1,n
|
0,
(3,1,0).
可取n
uuur
|AC1
n|
39
uuur
.
|AC1|
|n|
13
因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是
39.
13
20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。
满分15分。
(Ⅰ)由a42是a3,a5的等差中项得a3a52a44,
所以a3a4a53a4428,
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解得a4
8.
由a3a5
20得8(q
1)
20,
q
因为q1,所以q2.
(Ⅱ)设cn(bn1bn)an,数列{cn}前n项和为Sn.
由cn
S1,n1,
解得cn
4n
1.
Sn
Sn1,n
2.
由(Ⅰ)可知
an
2n
1
,
所以bn1
bn
(4n1)
(1)n1,
2
故bn
bn1
(4n5)
(1)n2,n2,
2
bn
b1
(bn
bn1)(bn1bn2)
(b3
b2)(b2b1)
(4n5)
(1)n2
(4n9)
(1)n3
71
3.
2
2
2
设Tn
37
1
11
(1)2
(4n5)
(1)n2,n2,
2
2
2
1T
31
7
(1)2
(4n9)
(1)n2
(4n5)
(1)n1
2
n
2
2
2
2
所以1Tn
3
41
4
(1)2
4
(1)n2
(4n5)
(1)n1,
2
2
2
2
2
因此Tn
14
(4n3)
(1)n2,n2,
2
又b1
1,所以bn
15
(4n
3)
(1)n2
.
2
21.本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算
求解能力和综合应用能力。
满分
15分。
(Ⅰ)设P(x0,y0),A(1y12,y1),B(1y22,y2).
44
因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程
(yy0)2
1
y
2
x0即y2
2y0y8x0y02
0的两个不同的实数根.
44
2
2
所以y1y2
2y0.
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因此,PM垂直于y轴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
y1
y2
2y0,
y1y2
8x0y02,
所以|PM|1(y12
y22)x0
3y02
3x0,|y
y|22(y
2
4x
0
).
8
4
1
2
0
1
32
2
3
因此,
△PAB
的面积
△
2.
PAB
|PM||y1
y2|
(y0
4x0)
S
4
2
因为x02y02
1(x0
0)
,所以y02
4x0
4x02
4x0
4
[4,5]
.
4
因此,△PAB面积的取值范围是[6
2,15
10].
4
22.本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。
满分15
分。
(Ⅰ)函数f(x)的导函数f
1
1
(x)
x
,
2
x
由f(x1)
1
1
1
1
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