宁夏长庆高级中学届高三下学期第一次模拟考试数学理精.docx
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宁夏长庆高级中学届高三下学期第一次模拟考试数学理精
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正视图
32
44
宁夏长庆高级中学
2015-2016学年高三年级第一次模拟考试
数学试卷(理科
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1、集合{}1,1A=-,{}|20Bxax=+=,若BA⊆,则实数a的所有可能取值的集合(
A.{}2-
B.{}2
C.{}2,2-
D.{}2,0,2-2.已知z是纯虚数,
2
1i
z+-是实数,那么z等于(A.2iB.-2iC.-iD.i
3.已知命题p:
函数1
2xya
+=-的图象恒过定点(12,;命题q:
若函数(1yfx=-为
偶函数,则函数(yfx=的图象关于直线1x=对称,则下列命题为真命题的是((Apq∨(Bpq∧(Cpq⌝∧(Dpq∨⌝
4.在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(A.24种B.48种C.96种D.144种
5.执行如图所示的程序框图,输出S的值是(
A.32-
B.3
2
C.-12
D.12
6.已知实数yx,满足1
218yyxxy≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
则目标函数yxz
-=的最小值为(
A.2-
B.5
C.6
D.7
7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(
A.28+65
B.30+65
C.56+12
5
D.60+125
8.已知向量a=,2,1(-xb=,4(y,若a⊥b,则yx39+的最小值为(
A.2
B.32
C.6
D.9
9.在ABC∆中,角CBA,,所对的边分别为a,b,c,已知22,32==ca,B
Atantan1+bc
2=.则=∠C(
A.30
B.45
C.45或135
D.135
10.函数
2lnx
yx=
的图象大致为(
11.设抛物线xy22
=的焦点为F,过点M(3,0的直线与抛物线相交于BA,两点,与
抛物线的准线相交于点C,25
=
BF,则FBC∆与FAC∆的面积之比=∆∆ACF
BCFSS(A.
21B.32C.43D.5
4
12.对于任意实数ba,,定义{},min,,aab
abbba
≤⎧=⎨
<⎩,定义在R上的偶函数(xf满足
(4(xfxf=+,
且当20≤≤x时,{}
xxfx
--=2,12min(,若方程0(=-mxxf恰有两个根,则m的取值范围是(
A.{}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝
⎛
---2ln,3131,2ln1,1B.⎥⎦
⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣
⎡--1,3
131,1C.{}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝
⎛-
--2ln,2121,2ln1,1D.⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛--21,3131,21
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.13.若tan(2α-=π,则sin2α=___________.14.(8
2x
-展开式中不含..4
x
项的系数的和为_______.
15.如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线(xxfsin=及直线(],0(π∈=aax与x轴围
成的区域,向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为
21
则=a_____.
16.以下四个命题:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每20min从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;
②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;
③在线性回归方程y^=0.2x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量y^
平均增加0.2个单位;
④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.
其中正确命题的序号是________.
三、解答题:
本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.
设数列{}na的前.n项积..为n
T,且nnaT22-=(nN*
∈.(Ⅰ求证数列1nT⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列;(Ⅱ设1(1(1+--=nnnaab,求数列{}nb的前n项和nS.
18.(本小题满分12分
“你低碳了吗?
”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄段在[10,20,[20,30,…,[50,60的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示.(I求随机抽取的市民中年龄段在[30,40的人数;
(Ⅱ从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,求[50,60年龄段抽取的人数;
(Ⅲ从按(Ⅱ中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者,记X为年龄在[50,60年龄段的人数,求X的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D.E分别为AB.AC中点.
(Ⅰ求证:
DE∥平面PBC;(Ⅱ求证:
AB⊥PE;
(Ⅲ求二面角A-PB-E的大小.
已知椭圆2222:
1(0yxCabab+=>>的离心率为3
2
以原点为圆心,椭圆的短半轴长为
半径的圆与直线20xy-+=相切.AB、是椭圆C的右顶点与上顶点,直线(0ykxk=>与椭圆相交于EF、两点.
(Ⅰ求椭圆C的方程;(Ⅱ当四边形AEBF面积取最大值时,求k的值.
21.(本大题满分12分
已知函数(⎩⎨
⎧≥<+++-=1
ln123xx
axcbxxxxf,当32=x时,(xf有极大值274
(Ⅰ求实数cb,的值;
(Ⅱ若存在∈0x[-1,2],使得(730-≥axf成立,求实数a的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分选修4—1:
几何证明选讲
x
yF
E
B
O
A
如图,O⊙是△ABC的外接圆,D是AC
⌒的中点,BD交AC于E.(Ⅰ求证:
DBDEDC⋅=2;
(Ⅱ若32=CD,O到AC的距离为1,求⊙O的半径r.
23.(本小题满分10分选修4—4:
坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,直线l的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==t
yt
x3(t为参数,
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线
C的极坐标方程为-+θρθρ2222sincos03sin2=-θρ.
(Ⅰ求直线l的极坐标方程;
(Ⅱ若直线l与曲线C相交于A、B两点,求||AB.
24.(本小题满分l0分选修4—5:
不等式选讲
已知函数|1||2|(+--=xxxf.(Ⅰ求证:
3(3≤≤-xf;(Ⅱ解不等式xxxf2(2-≥.
宁夏长庆高级中学
2015-2016学年高三年级第一次模拟考试
数学试卷(理科答案
一、选择题(每小题5分,共60分
题号123456789101112答数DBDCDABCBDAA
二、填空题(每小题5分,共20分
13.
4
5
-14.015.π16.②③
三、解答题
17.
18.
19.【答案】(ⅠD.E分别为AB.AC中点,DE∥BC.DE平面PBC,BC平面PBC,∴DE∥平面PBC
(Ⅱ连结PD,PA=PB,∴PD⊥AB.DE∥BC,BC⊥AB,∴DE⊥AB.又PDDED=∴AB⊥平面PDE,PE平面PDE,∴AB⊥PE
(Ⅲ平面PAB⊥平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD⊥AB,
∴PD⊥平面ABC
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
∴B(1,0,0,P(0,0,3,E(0,
3
2
0,PB=(1,0,3-,PE=(0,3
2
3-.
设平面PBE的法向量1(xyz=,,n,∴30,330,2
xzyz⎧-=⎪
⎨-=⎪⎩
令3z=得1(323=,,n.
DE⊥平面PAB,∴平面PAB的法向量为2(01
0=,,n.设二面角的A-PB-E大小为θ由图知,12
12121
coscos2θ⋅⋅,nn=nn=
=nn,60θ︒=,
二面角的A-PB-E的大小为60︒.
20.解析:
(Ⅰ由题意知:
c
ea==32222222
cabeaa-===34
224ab=.又圆222xyb+=与直线20xy-+=相切,1b=,24a=,
故所求椭圆C的方程为2
2
14
yx+=.(4分(Ⅱ设1122((ExkxFxkx,,,,其中12xx<,
将ykx=代入椭圆的方程2
2
14
yx+=整理得:
22(44kx+=,
故212
24
xxk=-=
+.①
又点EF,到直线AB的距离分别为21112
22
2(24
5
5(4
xkxkkhk+-+++=
=
+,
22222
22
2(24
5
5(4
xkxkkhk+-+-+=
=+.
2215AB=+=
所以四边形AEBF的面积为121
(2SABhh=
+214(2525(4kk+=⋅⋅
+22(24
kk+=+22442
4kk
k++=+24214kk=++4214kk
=++22…,当24(0kk=>,即当2k=时,上式取等号.
所以当四边形AEBF面积的最大值时,2k=.(12分
21.【解析】(Ⅰ当1x<时,'
2
(32fxxxb=-++
则'2222
(3(2033
3
fb=-⨯+⨯
+=,所以0b=………………………………分因为322224
(((33327
fc=-++=,所以0c=………………………………5分
(Ⅱ因为存在0[1,2]x∈-,使得0(37fxa≥-
所以问题可转化为当[1,2]x∈-时,max(37fxa≥-
由(1知,32,1
(ln,1xxxfxaxx⎧-+<=⎨≥⎩
①当11x-≤<时,'22
(323(3
fxxxxx=-+=--
令'
(0fx=得0x=或23
x=
当x变化时,'
(fx,(xf变化情况如下表
x(-1,0
02(0,3
2
3
2(,13
'(
fx
-0+0-(xf
↘
极小值
↗
极大值
↘
又21(=-f,274
32=
⎪⎭
⎫⎝⎛f,00(=f所以(xf在[1,1-上的最大值为2……………………………………分②当12x≤≤时,(xf=xaln
当0a≤时,(0fx≤,所以(xf的最大值为0
当0>a时,(xf在[1,2]上单调递增,所以(xf在[1,2]上的最大值为2lna…分由此可知,当0a≤时,(xf在[-1,2]上的最大值为2;
由max0
(237
afxa≤⎧⎨
=≥-⎩得0a≤
当0>a时,若ln22a≤即2
ln2
a≤
时,(xf在区间[-1,2]上的最大值为2;由max20ln2
(237
afxa⎧
<≤
⎪⎨⎪=≥-⎩得20ln2a<≤……………………………………分若ln22a>即2
ln2
a>时,(xf在区间[-1,2]上的最大值为ln2a
由max2ln2
(ln237
afxaa⎧
>
⎪⎨⎪=≥-⎩得27ln23ln2a<≤-综上可知,a的取值范围为7
(,]3ln2
-∞-
…………………………………12分
22.(本小题满分10分选修4—1:
几何证明选讲解:
(I证明:
∵CBDABD∠=∠,ECDABD∠=∠
∴ECDCBD∠=∠,又EDCCDB∠=∠,
∴△BCD~△CED,∴
DB
DC
DCDE=
∴CD2
=DE·DB;………………(5分
23.(本小题满分10分选修4—4:
坐标系与参数方程
解:
(Ⅰ消去参数得直线l的直角坐标方程:
xy3=---------2分
由⎩⎨⎧==θ
ρθρsincosyx代入得θρθρcos3sin=(3R∈=⇒ρπ
θ.
4p(r³0)---------------------5分33ìr2cos2q+r2sin2q-2rsinq-3=0ï(Ⅱ)í得pq=ï3îr2-3r-3=0-----------------------------7分(也可以是:
q=p或q=设A(r1,p,B(r2,,33p则|AB|=|r1-r2|=(r1-r22-4r1r2=15.---------10分(若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分)24.(本小题满分l0分选修4—5:
不等式选讲(x£-1ì3ï解:
(1)f(x=í-2x+1(-1 (2)当x£-1时,x2-2x£3Þ-1£x£2Þx=1;当-1 [-1,1].-------------------------10分11
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- 宁夏 高级中学 届高三 下学 第一次 模拟考试 学理
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