数学春季教案 六年级5 比例尺.docx
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数学春季教案六年级5比例尺
第5讲比例尺
[教学内容]
春季精英版,6年级第5讲“比例尺”。
[教学目标]
知识技能
1.使学生理解比例尺的含义,会应用比例的知识求平面图的比例尺;
2.使学生能够应用比例知识,根据比例尺求图上距离或实际距离;
3.锻炼学生动手操作能力和实践能力。
数学思考
1.在实践活动中体验生活中需要的比例尺;
2.在操作、观察、思考、归纳等学习活动中理解比例尺的意义,正确计算比例尺,了解比例尺在实际生活中的各种用途;
3.能读懂不同形式的比例尺。
问题解决
能在日常生活中发现并提出简单的关于比例尺的数学问题,并加以解答;在解题的过程中体验与他人合作交流的思想;掌握不同的解题思路。
情感、态度与价值观
1.提高学生学习数学的兴趣,鼓励学生积极动手、动脑,大胆尝试,从中获得成功的体验,使学生体验到数学与生活的密切联系;
2.体验数学与生活的联系,培养学生用数学眼光观察生活的习惯。
[教学重点和难点]
教学重点
正确理解比例尺的含义。
教学难点
运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题。
[教学准备]
动画多媒体语言课件、三角板、圆规等。
第一课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、创设情境,谈话导入
(一)引入新问题
师:
我们的祖国幅员辽阔,城市众多,同学们,你们知道我国的哪些城市呢?
课件出示一幅中国政区图。
(学生自由发言)
生:
北京、上海、广州、南京、西安、郑州、深圳……
师进一步提问:
那同学们知道北京与上海之间相距多少千米吗?
广州与深圳呢?
……不需要大家记忆,只要有一幅地图和尺子,你就可以知道任意两个城市之间的距离了。
(板书课题:
比例尺)
师:
比如我们来算一下北京和上海之间的距离。
点击课件出示尺子量地图上北京和上海的长度。
(二)认识地图,解决问题①
师:
从地图中你了解到了哪些信息?
怎样计算北京和上海之间的距离?
生1:
北京与上海之间的图上距离是5厘米多一些,这幅地图的比例尺是1:
20000000,根据图上距离和比例尺就可以求出实际距离。
师:
为了方便我们可以按5厘米来计算。
生2:
因为图上距离:
实际距离=比例尺,所以,实际距离=图上距离÷比例尺,所以
5÷=100000000厘米=1000千米,所以北京与上海的实际距离大约是1000千米多一些。
(三)图上距离、实际距离与比例尺之间的关系②
师:
大家说一说,什么是比例尺?
图上距离、实际距离与比例尺之间有怎样的关系呢?
生:
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=比例尺×实际距离
实际距离=图上距离÷比例尺
师:
看来大家对三者之间的关系很熟悉,那么今天我们就来运用例尺的知识解决实际问题。
二、合作探究,解决问题
(一)教学例1
例1:
比例尺是1:
3000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是80厘米。
在一幅比例尺是1:
4000000的地图上,甲、乙两地的距离是多少厘米?
(1)学生读题,分析题意
师:
读题后,你认为这道题可分为几部分来进行解答?
生:
这里有两幅不同比例尺的地图,“比例尺是1:
3000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是80厘米。
”说的是第一幅地图;“在一幅比例尺是1:
4000000的地图上,甲、乙两地的距离是多少厘米?
”问的是第二幅地图的图上距离。
师:
甲、乙的实际距离会随着地图比例尺的不同而改变吗?
生:
不会改变。
师:
如何求比例尺是的地图上北京到南京的距离?
(2)学生同桌交流想法
生1:
可以通过第一幅地图求出甲、乙的实际距离。
生2:
再根据第二幅地图的比例尺、甲、乙的实际距离求出第二幅图中甲、乙的图上距离。
(3)学生尝试完成解答,汇报解题思路及过程③
方法一:
课件出示解析
根据“图上距离:
实际距离=比例尺”用方程求解。
课件出示答案:
解:
(1)在比例尺是1:
3000000的地图上,设甲、乙的实际距离是x厘米,根据比例尺意义列方程:
80:
x=1:
3000000
解得x=240000000
甲、乙的实际距离为240000000厘米。
(2)在比例尺是的地图上,设甲、乙的图上距离为y厘米,根据比例尺意义列方程:
y:
240000000=
解得y=60
答:
在比例尺是的地图上,甲、乙的距离是60厘米。
方法二:
课件出示解析:
由“比例尺=图上距离÷实际距离”可知:
下一步
图上距离=比例尺×实际距离
实际距离=图上距离÷比例尺
课件出示答案:
甲、乙的实际距离:
80÷=240000000(厘米)
在比例尺是的地图上,甲、乙的图上距离:
240000000×=60(厘米)
答:
在比例尺是的地图上,甲、乙的距离是60厘米。
(4)师生小结
同一实际距离,在不同比例尺的地图上,图上长度也不同,因此实际距离不变是解决问题的关键。
解决这类问题,如果大家很清楚的知道下面关系式:
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=比例尺×实际距离
实际距离=图上距离÷比例尺
就可以直接列算式,如果大家记得不太准确,就可以只记一个:
“图上距离:
实际距离=比例尺”谁不知道就设谁列方程解决。
(二)教学拓展问题1
1.在一幅比例尺是1:
6000000的地图上,量得北京到天津的距离为2厘米,如果把它画在比例尺是1:
2500000的地图上,北京到天津的距离是多少厘米?
(1)学生选择喜欢的方法解答
师:
谁愿意上黑板计算?
其他学生在书上选择你喜欢的方法独立完成。
(2)汇报解答结果
答案:
北京到天津的实际距离:
2÷=12000000(厘米)
在比例尺是1:
2500000的地图上,北京到天津的图上距离为:
12000000×=4.8(厘米)
答:
在比例尺是1:
2500000的地图上,北京到天津的距离是4.8厘米。
(三)教学例2
例2:
一块长方形土地,用1:
400的比例尺画在图上,周长是20厘米,长与宽的比是3:
2,这块长方形地的实际面积是多少?
(1)学生读题,分析问题
师:
读完题后,你认为要求这块长方形地的实际面积关键是什么呢?
生:
关键是求出实际的长和实际的宽。
师:
那么实际的长和宽怎么求呢?
大家小组讨论。
(2)学生小组讨论,解决问题
师:
怎样求出实际的长和宽呢?
生1:
可以先求出图上的长和宽,再根据比例尺求出实际的长和宽;
生2:
也可以根据比例尺和图上周长先求出实际的周长,再求出实际的长和宽。
(3)学生按照自己喜欢的步骤独立完成
课件出示解析:
题干“周长是20厘米,长与宽的比是3:
2”下划线。
出示文字:
长+宽=20÷2。
课件出示答案:
20÷2=10(厘米)
10×=6(厘米)
10×=4(厘米)
6÷=2400(厘米)2400厘米=24米
4÷=1600(厘米)1600厘米=16米
24×16=384(平方米)
答:
这块长方形地的实际面积是384平方米。
(4)鼓励学生用多种方法完成
师:
还有其他方法吗?
生1:
我先求出实际的周长,然后再求出实际的长和宽。
如下:
实际周长:
20×400=8000(厘米)
实际的一条长、一条宽之和:
8000÷2=4000(厘米)
实际的长:
4000×=2400(厘米)=24(米)
实际的宽:
4000×=1600(厘米)=16(米)
实际面积是:
24×16=384(平方米)
(5)小结
小结:
我们在求实际面积时,可以先求出实际的长和宽。
(四)教学拓展2
2.一个三角形按1:
4的比例缩小后得到右边的三角形,其中一条8.8厘米的边变成了多少厘米?
如果原来三角形的面积是97.6平方厘米,那么后来三角形的面积是多少平方厘米?
(1)学生读题,分析题意
师:
大家说一说,1:
4是谁与谁的比?
生:
现在三角形的边长:
原来三角形的边长=1:
4
师:
大家说得非常好,一定要看清楚谁是1,谁是4,分清大小关系。
(按1:
4的比例缩小的含义也就是把现在图形的边长是原来的四分之一)
(2)小组合作,解决问题
师:
根据这个比你能求出什么呢?
生:
可以求出8.8厘米的边缩小后得到的边长是多少。
师:
同学们,如果求后来三角形的面积应该怎样求呢?
大家小组讨论。
(3)汇报讨论结果
学生代表1:
需要知道缩小后三角形的一条边和这条边上所对应的高,可以选8.8厘米对应缩小后的边8.8÷4=2.2(厘米)为底,关键是求出这条底所对应的高。
学生代表2:
可以在原三角形中求出高然后按比缩小就是缩小后三角形的高。
方法一:
现在三角形的底:
8.8×=2.2(厘米)
原三角形的高:
97.6×2÷8.8=(厘米)
现在三角形的高:
×=(厘米)
现在三角形的面积:
2.2×÷2=6.1(平方厘米)
答:
其中一条8.8厘米的边变成了2.2厘米,后来三角形的面积是6.1平方厘米。
(4)小组讨论,发现原来面积与现在面积的关系
师:
观察三角形原来面积与后来面积,你能找出其中的关系吗?
大家小组讨论。
生通过计算发现:
97.6÷6.1=16
师:
为什么得数16呢?
得数与比例尺之间存在怎样的关系呢?
生:
我发现“原来面积:
缩小后面积=(×原来底×原来高):
(×现在底×现在高)=比例尺×比例尺。
(5)师小结
师:
这个发现非常重要。
比例尺问题中:
长度比等于比例尺;面积比等于比例尺的平方;体积比等于比例尺的立方。
(6)应用“面积比等于比例尺的平方”解决问题
学生独立完成。
方法二:
现在三角形的底:
8.8×=2.2(厘米)下一步
根据“缩小后三角形边长:
原来三角形边长=1:
4”可知:
缩小后三角形面积:
原来三角形面积=1:
16下一步
解:
设缩小后三角形面积为x平方厘米,则:
x:
97.6=×
解得x=6.1
答:
其中一条8.8厘米的边变成了2.2厘米,后来三角形的面积是6.1平方厘米。
(五)教学例3
例3:
在比例尺是1:
1000000的地图上,量得甲、乙两地之间的距离是42厘米,两辆汽车从两地相对开出,经过4小时12分钟相遇,已知快车的速度是慢车速度的倍,两车每小时各行多少千米?
(1)学生读题,同桌探讨
师:
先读题,同桌之间可以相互讨论。
师:
说一说,你是怎样想的?
生:
我们先根据比例尺求出实际的路程,然后根据行程问题中的相遇问题,求出速度和,最后根据两个速度的倍数关系,求出各自的速度。
(2)学生独立解答
师:
这道问题需要注意一个问题,大家说说需要注意什么?
生:
统一单位。
4时12分=4.2时
解析:
题干“在比例尺是1:
1000000的地图上,量得甲、乙两地之间的距离是42厘米”下划线。
出示文字:
图上距离:
实际距离=比例尺。
由相遇问题可知:
速度和=路程÷相遇时间
根据按比例分配原则,分别求出甲、乙两车的速度。
点击下一步出示:
答案:
甲、乙两地的实际距离:
42÷=42000000(厘米)
42000000厘米=420千米
4时12分=4.2时
两车速度和:
420÷4.2=100(千米/时)
慢车速度:
100×=40(千米/时)
快车速度:
100×=60(千米/时)
答:
慢车是40千米/时,快车是60千米/时。
(3)小结
小结:
本题是比例尺与行程问题相结合的问题,本题我们将“快车的速度是慢车速度的倍”转化为“快车的速度与慢车速度之比为3:
2”在解决问题中大家要灵活互化。
(六)教学拓展问题3
3.在比例尺是的地图上,甲、乙两个城市相距15厘米,有两辆汽车同时从甲、乙两个城市开出,分别以每小时85千米和65千米的速度相向而行,经过多少小时两辆汽车相遇?
(1)学生读题,分析题意,将线段比例尺化为数字比例尺
师:
说一说表示什么意思啊?
你能把它化成数字比例尺是多少?
生:
线段比例尺中图上1厘米代表实际的60千米,化成数字比例尺为1厘米:
60千米=1:
6000000
(2)学生独立解答
师:
同学们,这道题应该怎样解?
我找个同学上黑板。
其他学生独立完成。
三、课堂总结
师:
同学们,你能用今天学习的知识解决哪些问题?
你有什么收获?
还有什么问题要解决?
①学生观察地图,获得比例尺和图上距离,计算实际距离。
②学生熟练掌握公式,为后面解决问题做好铺垫。
③学生根据自己对公式的熟练程度选择合适的方法解决问题。
在计算过程中,要注意各种量的单位在算式中必须统一。
第二课时
教学过程:
教学路径
学生活动
方案说明
一、复习引入
师:
在复习一下,通过上节课学习你掌握的知识。
生1:
我知道“图上距离:
实际距离=比例尺”,知道这三个相关的量中,知道任意两个量,就可以求出另一个量。
生2:
我知道比例尺问题中:
长度比等于比例尺;面积比等于比例尺的平方;体积比等于比例尺的立方。
师:
在比例尺问题中,需要注意哪些问题呢?
生3:
要注意各种量的单位在算式中必须统一。
师:
大家说得真好,下面我们继续学习。
二、合作探究,解决问题
(一)教学例4
例4:
广场有两个圆形花园,画在1:
1000的图纸上,大、小两个圆的面积比是9:
1,周长相差12.56厘米,两个花园的实际面积各是多少平方米?
(1)学生读题,分析题意
师:
从题目中,你了解了哪些信息?
生:
图上两个圆的面积比是9:
1。
师:
圆的长度之比与面积之比有什么关系?
从这个条件中,你能推出哪些隐含的信息?
生:
圆中面积之比等于长度比的平方。
由图上两个圆的面积比是9:
1可知:
图上两个圆的半径比是3:
1,周长比也是3:
1。
师:
根据图上两个圆的周长相差12.56厘米,你能求出什么?
(2)小组合作,探究问题
师:
根据图上两圆周长比是3:
1,图上两个圆的周长相差12.56米,可以求出什么?
生:
可以求出图上两个圆的周长进而求出两个圆的半径,再根据比例尺,求出广场中两个花坛的实际半径,进而求出实际面积。
解析:
大、小两个圆的面积之比是9:
1,则周长比是。
下一步横线上填:
3:
1
下一步
根据周长差求出两个圆的周长和半径;再结合比例尺求出实际的面积。
答案:
解:
小圆图上周长:
12.56÷(3-1)=6.28(厘米)
小圆图上半径:
6.28÷3.14÷2=1(厘米)
小圆实际半径:
1÷=1000(厘米)
单位换算:
1000厘米=10米
实际小圆面积:
3.14×102=314(平方米)
实际大圆面积:
314×9=2826(平方米)
答:
大小两个花园的实际面积各是2826平方米和314平方米。
(3)小结
师:
在求实际的面积中,还有与圆相关的知识,我们要掌握圆的面积和圆的周长之间的比的关系。
(二)教学拓展4
4.学校的操场是个长方形,长80米,宽60米。
(1)选择合适的比例尺,求出操场的长和宽。
(2)根据你选择的比例尺画出操场的平面图。
(1)小组合作,解决问题
师:
要把这个操场按合适的比例尺画出来,你想画多大?
怎样算比例尺?
生:
图上距离:
实际距离=比例尺,要算出合适的比例尺,我先确定画出的图上长度和图上宽度。
然后算出比例尺。
(2)动手画一画
(三)教学拓展5
5.下图是用1:
500的比例尺画出的菜田的平面图,量出所需的数据(精确到整厘米数),求出它的实际面积。
(1)分析题意
师:
这是一个什么形状?
要求出它的实际面积,需要知道什么条件?
生:
这是一个直角梯形,要算出实际面积需要知道实际的上底、下底和高。
(2)学生独立解决问题
师:
大家先动手量一量图上的上底、下底和高,然后解决问题。
答案:
动画用尺子分别量出梯形的上底、下底、高。
对应标出上底1cm,下底2cm,高度3cm。
下一步
实际上底:
1×500=500(厘米)500厘米=5米
实际下底:
2×500=1000(厘米)1000厘米=10米
实际高度:
3×500=1500(厘米)1500厘米=15米
实际面积:
(5+10)×15÷2=112.5(平方米)
答:
它的实际面积是112.5平方米。
(四)教学拓展6
6.北京路小学的平面图面积与实际面积的比是1:
1000000,平面图上的长20厘米,宽15厘米。
北京路小学的实际面积是多少平方米?
(1)同桌合作,解决问题
(2)学生独立完成
师:
谁愿意上黑板完成?
其余同学书上独立完成。
答案:
平面图面积:
20×15=300(平方厘米)
实际面积:
300÷=300000000(平方厘米)
单位换算:
300000000平方厘米=30000平方米
答:
北京路小学的实际面积是30000平方米。
(五)教学拓展7
7.零件A画在比例尺为的甲图上,零件B画在比例尺为的乙图上,两个零件画在图上一样长。
零件A长6米,零件B长多少米?
(1)学生读题,分析题意
师:
读题后,你认为这道题可分为几部分来进行解答?
生:
这里有两幅不同比例尺的图,零件A画在比例尺为的甲图上,零件A长6米,通过这些条件可以求出零件A的图上长度;再根据零件B画在比例尺为的乙图上,两个零件画在图上一样长。
铜锅这个条件可以求出零件B的实际长度。
师:
这位同学思路清晰,目标明确,非常好。
(2)学生尝试完成解答,汇报解题思路及过程
解析:
题干“零件A画在比例尺为的甲图上,零件A长6米,”下划线。
出示文字:
根据条件,可以先求出零件A的图上长度。
题干“零件B画在比例尺为的乙图上,两个零件画在图上一样长。
”下划线。
出示文字:
进一步求出零件B的实际长度。
答案:
零件A的图上长度:
6×=(米)
零件B的图上长度与零件A相同,也是米。
则:
零件B的实际长度:
÷=15(米)
答:
零件B长15米。
四、课堂总结
师:
同学们,你能用今天学习的知识解决哪些问题?
你有什么收获?
还有什么问题要解决?
本讲教材及练习册答案:
教材:
例1:
60厘米
例2:
384平方米
例3:
快车每小时60千米;慢车每小时40千米
例4:
大:
2826平方米小:
314平方米
拓展问题答案:
1.4.8厘米
2.2.2厘米6.1平方厘米
3.6小时
4.略
5.112.5平方米
6.30000平方米
7.15米
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