行程问题综合.docx
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行程问题综合.docx
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行程问题综合
行程问题综合
(1)
基本模式
(一)相遇问题和相离问题:
(1)相遇问题:
“两物体分别从两地出发,相向而行”,注意关键词“相向”,如果两物体同时出发,相遇时所用时间一定相同,注意对速度和理解
图示:
甲乙
甲从A地出发乙从B地出发
关系式:
相遇时间=总路程÷速度和总路程=速度和×相遇时间
例1:
甲、乙两车速度比是3:
4,两车同时从两地相向而行,在离中点6千米处相遇,求两地相距多少千米?
巩固:
1、甲乙两车同时从AB两地出发相向而行。
甲车每小时行45千米,两车相遇后乙车再行135千米到A地,甲车再行2小时到B地。
求乙车行全程共用了几小时?
2、甲乙两队学生从相隔17km两地出发,相向而行,一个同学骑自行车以每刻钟3.5km速度在两队之间往返联络,如果甲队每小时走4.5km,乙队每小时走4km,问:
两队相遇时骑自行车同学一共行了多少千米?
<4>某轮船公司较长时间以来,每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约,并且在每天同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛,轮船在途中所花时间,来去是六昼夜,问今天中午从哈佛开出轮船,在整个航运途中,将会遇到只同一公司轮船从对面开来。
<5>甲乙分别从A、B两地同时出发,相向而行,甲在早上9点到达C地,而乙到达c地时已经是下午5点了,已知甲乙速度比为5:
3,则甲乙相遇时间时是几点?
(2)相离问题:
“两物体(从同一地点)同时出发,相背而行”,注意对“速度和”理解,注意时间因素
图示:
甲出发点乙
AB
关系式:
相离距离=速度和×相背而行时间
例2:
甲乙两人上午8时分别从AB两地同时相向出发,到10时两车相距112.5km两车继续行驶到下午1时,两车还是相距112.5千米,求AB两地之间距离?
基本模式
(二)追及问题和领先问题
(1)追及问题:
“两物体同向而行,一快一慢,慢者先行,快者追之”
图示:
慢者先走出一段距离
就是需要追及距离在快者追时慢者继续往前走
快者此时此地追起追到
出发点注意:
追上时一共走出路程不叫追及距离
基本数量关系式:
追及时间=需要追及距离÷速度差;追及距离=速度差×追及时间
速度差=追及距离÷所用时间,近而再根据其他已知条件求出各自速度,从而解决问题。
速度差=速度(快)-速度(慢)需要追及距离也就是慢者先行距离或者快者开始出发时距慢者距离。
比思想:
快者与慢者速度比=快者与慢者路程比,追及距离份数=快者路程份数-慢者路程份数
例3:
上午8时8分,小明骑自行车从家里出发。
8分钟后,爸爸骑摩托车去追他。
在离家4千米地方追上了小明,然后爸爸立即回家。
到家后,爸爸又立即回头去追小明。
再追上他时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分?
巩固:
甲乙丙三辆车先后从A地开往B地。
乙比丙晚出发5分钟,出发后45分钟追上丙;甲比乙晚出发15分钟,出发后1小时追上丙。
甲出发后几小时追上乙?
(2)领先问题:
“两物体同向而行,在同一出发点同时出发,一快一慢,则快者必领先于慢者”
图示:
慢者
快者快者领先距离
两者在同一出发点同时出发
关系式:
领先距离=速度差×所用时间,速度差=领先距离÷所用时间,所用时间=领先距离÷速度差
例4、小李和老王同时从A地出发去B地,小李骑电动车,老王开汽车,2分钟后小李在老王后方0.5千米,A、B两地相距90千米,老王用了3个小时到达B地,问小李到达B地时,老王已经到达B地多长时间了?
巩固1、两辆汽车同时从某地出发,运送一批货物到距离165千米工地。
甲车比乙车早到48分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米。
问:
甲车行完全程用了多少小时?
2、甲乙两人上午8时从东村骑车到西村,甲每小时比乙快6km,中午12时,甲到西村后立即返回东村,在距西村15km处,遇到乙,问东西两村相距多少千米?
3、A车每小时行驶50km,B车每小时行驶40km,这两辆汽车同时从甲城出发,沿同一路线送货到乙城,A车在途中发生故障,停车2小时,结果,AB两车同时到达乙城,求:
甲乙两城之间距离?
4、一辆汽车以每小时72千米速度向回音壁驶去,汽车上司机按了一下喇叭,4.5秒后听到回声,已知声音速度是每秒钟340米,求:
司机听到回声时,汽车距回音壁有多远?
与“封闭路程”有关行程问题:
注意以下两点:
一是两人同地背向运动,从一次相遇到下次相遇共行一个全程;二是同地同向运动时,甲追上乙时,甲比多行一个全程。
例5:
如图,A、B是圆形跑道两端,小张在A点,小陈在B点同时出发,反向行走,他们在C点第一次相遇,C点离A点跑道长80米;在D点第二次相遇,D点离B点跑道长60米,求这个圆形跑道长度。
D
A
B
c
巩固1、甲乙丙三人沿着湖边散步,同时从湖边一个地点出发。
甲按顺时针方向走,乙与丙按逆时针方向走。
甲第一次遇到乙后1
分钟遇到丙,再过3
分钟第二次遇到乙。
已知乙速度是甲
,湖周长是600米,求丙速度。
2、甲乙两人在同一条椭圆形轨道上做训练,他们同时从一点出发,沿反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后,立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙速度是甲
,跑第二圈时,甲速度提高了
乙速度提高了
,已知甲乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米,求椭圆形跑道长度?
(2)多次相遇:
第一次相遇,甲、乙共同完成1个全程(相当于封闭路线半圈),以后每次折返相遇,两个人都要共同完成两个全程(相当于封闭路线一圈)。
甲乙若保持各自速度不变,那么每共同走出一个全程,甲乙完成路程比不变。
例1、甲乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出,甲每小时行75千米,乙每小时行65千米。
甲、乙两车第一次相遇后继续前进,分别到达B、A两地后,立即按原路返回,两车从出发到第二次相遇共行了6小时,A、B两地相距多少千米?
巩固1、一个游泳池长90米。
甲、乙二人分别从游泳池两端同时出发,游到另一端立即返回。
照这样往、返游,两人游10分钟,甲每秒游3米,乙每秒游2米,二人会相遇几次?
2、客货两车同时从甲乙两地相对开出,在途中相遇后继续前进,各自到达对方出发点后立即返回,途中第二次相遇,两次相遇点相距120km,已知客车每小时行60km,货车每小时行48km,求:
甲乙两地之间距离?
3、客货两车同时从甲乙两站相对开出,第一次相遇在离乙地80km地方,相遇后继续行驶,均在到达对方出发点地方立即返回,第二次相遇在距甲地50km地方相遇,求甲乙两地之间距离?
行程问题基本模式综合题
一、行程问题中转化假设基本思想
<1>小明家离体育馆2300米,有一天,他以每分钟100米速度去体育馆看球赛,出发几分钟后发现,如果以这样速度走下去一定迟到,他马上改用每分钟180米速度跑步前进,途中共用15分钟准时到达了体育馆。
问,小明在离体育馆多少米地方开始跑步?
<2>甲乙两车同时从相距160千米两站相向开出,到达对方站后立即返回,经过4小时两车在途中第二次相遇。
相遇时甲车比乙车多行了120千米,求两车速度。
<3>客车和货车同时从甲乙两站相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇又以原速前进。
到达对方站后立即返回,两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。
甲乙两站间路程是多少千米?
二、比例在行程问题中应用:
行程问题常常借助时间比、速度比、路程比来解决,尤其当题意中缺乏某方面数量时,注意用正反比思想去
讨论和转化条件。
<1>甲、乙两车分别从AB两地同时出发,在AB之间不断往返行驶,已知甲车速度是每小时15千米,乙速度是每小时35千米,并且甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点恰好相距100千米,那么AB两地相距多少千米?
<2>A、B两地之间公路长96千米,甲骑自行车自A往B行驶,乙骑摩托车自B往A行驶,他们同时出发,经过80分钟后两人相遇,乙到A地后又马上折回,在第一次相遇后40分钟追上甲,乙到B地后马上折回,问:
再经过多长时间甲乙又一次相遇?
<3>甲乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行。
相遇后,甲继续向B地行驶,乙继续向A地行驶,两车保持各自速度不变。
从相遇时算起,甲到B地用了4小时,乙到A地用1小时。
求甲乙两车速度比。
<4>甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑,当甲跑到B时,乙离B地还有35米,丙离B地还有68米;当乙跑到B时,丙离B地还有40米,设甲、乙、丙跑步速度都是匀速,则A、B两地相距多少米?
<5>在60米赛跑中,甲冲过终点线时,比乙领先10米,比丙领先20米,假如乙和丙速度始终不变,那么当乙到达终点时,将比丙领先多少米?
三、行程中变速
解决变速类行程问题基本思路是:
①把条件密集段做为解答突破口求得该段上未知量,这是解决问题关键;
②把问题进行适当分析,转化成基本类型,多注意用比和比例思想解决问题,
用份数方法来解决问题;
③利用假设、类比等方法求解,注意隐含条件挖掘;
④按题意作图,将抽象信息具体化,辅助解题。
典型例题:
<1>李明骑自行车从甲地到乙地开会,如果他每小时行16千米就能准时到达,可是当行了全程
时,自行车漏气,他改成步行,速度减少了62.5%,结果迟到半小时,问:
甲乙两地相距多少千米?
<2>小明打算在课前5分钟到校,他以每小时4千米速度步行从家去学校,当他走了1千米时候发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,结果恰好准时到校,后来算了一下,如果小明从一开始就跑步上学,可以比原来早9分钟到校,求小明家到学校路程?
<3>如图,甲、乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,它们速度比是5:
4,相遇于B地后,甲继续以原来速度向C地方向前进,而乙则立即调头返回C,且乙速度比相遇前降低了
,这样,当乙回到C地时,甲刚好到达离C地18千米处D地,那么A、C之间距离是多少千米?
<4>如图,从A到B是1千米长下坡路,从B到C是3千米长平路,从C到D是2.5千米上坡路,平路速度是每小时4千米,上坡速度是每小时2千米,下坡速度是每小时6千米,小明和小亮分别从A、D两点同时出发,问多长时间两人相遇?
<5>如图,A到B是下坡,从B到C是平路,从C到D是上坡,小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米,平路时步行速度是每小时5千米,下坡时步行速度是每小时6千米,小张和小王分别从A、D两点同时出发,1小时后两人在E点相遇,已知E在BC段上,并且E至C距离是B至C距离
,当小王到达A后9分钟,小张到达D,那么A至D全长多少千米?
<6>从甲城到乙城有一条公路,将它分成3段,已知第一段公路长恰好是第三段公路长2倍,在第一段上,汽车速度是每小时40千米,在第二段上汽车速度是每小时90千米,在第三段上,汽车速度是每小时50千米,现在两辆汽车分别从甲乙两城同时出发,相向而行,1小时20分钟后在第二段
处(从甲到乙方向
处)相遇,求甲乙两城之间距离?
综合练习:
1、甲乙两辆汽车分别从A、B两点出发,相向而行,乙车先行了全程
还多40千米,这时甲车才出发,一直到两车相遇时,乙车一共行了全程
,已知甲、乙两车速度比为5:
3,A、B两地全程多少千米?
2、A、B两城同时对开客车,两车第一次在距A城50千米处相遇,到站后各停20分钟上下乘客再返回,返回时在距B城40千米处相遇,问:
A、B两城相距多少千米?
3、一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高1/9,那么要比原定时间提前一小时到达,如果以原速行162千米后,再把速度提高1/6,也比原定时间提前一小时到达。
甲乙两地相距多少千米?
4、一辆汽车和一辆摩托同时从A、B两地相对开出。
汽车每小时行50千米,摩托车速度是汽车速度
,相遇后汽车继续行3.2小时到达B地。
A、B两地相距多少千米?
5、甲乙两人从相距36KM地方相向而行,如果甲比乙先走2个小时,那么他们在乙出发2.5时后相遇,如果乙比甲先走2个小时,那么他们在甲出发3时后相遇。
甲乙两人每时各走多少千米?
6、甲乙两车同向行驶,若甲车每小时行驶60千米,5小时追上乙车,若甲车每小时行驶70千米,3小时追上乙车,则乙车速度是每小时多少千米?
7、一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果按原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达。
那么甲、乙两地相距多少千米?
8、甲乙两人同时从从A、B两地出发,相向而行,出发时他们速度比是3:
2,相遇后,甲继续向B地走,但是速度提高了20%,乙继续向A地走,速度比相遇前提高了30%。
这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14千米。
那么A、B两地间距离是多少千米?
9、姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地,她们回家要从公园门口沿马路向西行,她们商量是先回家取车再骑车去某地省时间,还是直接从公园门口步行更省时间,姐姐算了一下,已知骑车与步行速度比是4:
1,从公园门口到达某地距离超过2千米时,回家取车才合算。
那么,公园门口到她们家距离有多少千米?
10、有一条东西向铁路桥,一只小狗在铁路桥中心以西5米地方。
一列火车以每小时60千米速度从西边驶过来,火车头距离铁路桥西桥头还有2个桥长距离,此时小狗发现了火车,如果它迎着火车跑过去,恰好能在火车头距离桥头还有1米时候逃离铁路桥,若它以同样速度向东跑话,小狗会在桥上距东桥头0.25米地方被火车追上。
那么火车桥长多少米?
小狗速度是每小时多少千米?
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