数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验报告内含matlab程序代码.docx
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数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验报告内含matlab程序代码.docx
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数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验报告内含matlab程序代码
数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)
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西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
0912020107
姓名
李亚强
实验课题
线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR—迭代方法。
实验目的
熟悉线性方程组的J-迭代,GS—迭代,SOR-迭代方法。
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。
实验内容
线性方程组的J—迭代;
线性方程组的GS—迭代;
线性方程组的SOR-迭代。
成绩
教师
实验四实验报告
一、实验名称:
线性方程组的J—迭代,GS—迭代,SOR—迭代.
二、实验目的:
熟悉线性方程组的J-迭代,GS—迭代,SOR—迭代,SSOR—迭代方法,编程实现雅可比方法和高斯—赛德尔方法求解非线性方程组
的根,提高matlab编程能力。
三、实验要求:
已知线性方程矩阵,利用迭代思想编程求解线性方程组的解。
四、实验原理:
1、雅可比迭代法(J-迭代法):
线性方程组
可以转变为:
迭代公式
其中
,称
为求解
的雅可比迭代法的迭代矩阵。
以下给出雅可比迭代的分量计算公式,令
,由雅可比迭代公式有
,既有
,于是,解
的雅可比迭代法的计算公式为
2、高斯-赛德尔迭代法(GS-迭代法):
GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进,给出了迭代公式:
其余部分与雅克比迭代类似。
3、逐次超松弛迭代法(SOR—迭代法):
选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w,将之作为分裂矩阵M,
,其中,w〉0,为可选择的松弛因子,又
(1)公式构造一个迭代法,其迭代矩阵为
从而得到解
的逐次超松弛迭代法.
其中:
由此,解
的SOR-迭代法的计算公式为
(2)
观察
(2)式,可得结论:
(1)、当w=1时,SOR—迭代法为J—迭代法.
(2)、当w〉1时,称为超松弛迭代法,当w<1时,称为低松弛迭代法。
五、实验内容:
%1。
J—迭代
functionx1=jacobi(A,b,y);
m=input('请输入迭代次数m:
’);
eps=input(’请输入精度eps:
’);
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
M=D\(L+U);
g=D\b;
a=1;
k=0;
whilea>eps
x2=M*x1+g;
a=norm(x2-x1,inf);
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp(’近似解:
');
disp(x1);
x2=x1—y;
a=norm(x2,inf);
fprintf(’误差:
%.6f;迭代次数:
%d\n',a,k);
%2。
GS—迭代
functionx1=G_S(A,b,y)
n=100;
m=input(’请输入迭代次数m:
');
eps=input('请输入精度eps:
');
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
%生成矩阵M,向量g
M=(D-L)\U;
g=(D-L)\b;
%迭代首项
x1=eye(n-1,1);
x2=eye(n—1,1);
fori=1:
n-1
x1(i)=1;
x2(i)=0;
end
a=1;
k=0;
whilea〉eps
x2=M*x1+g;
a=norm(x2—x1,inf);
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp(’近似解:
');
x2=x1-y;
a=norm(x2,inf);
fprintf(’误差:
%。
4f;迭代次数:
%d\n',a,k);
%3。
SOR—迭代
functiona=p(A)
[n,n]=size(A);
x=eig(A);
a=0;
fori=1:
n
b=abs(x(i));
ifb〉a
a=x(i);
end
end
a=abs(a);
functionx1=SOR(A,b,y)%y为精确解
%超松弛迭代
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
%求最佳松弛因子w
M=D\(L+U);
w=p(M);
w=2/(1+sqrt(1—w^2));
ifw〈0||w〉2
disp(’迭代不收敛’);
return;
end
%生成矩阵M,向量g
M=(D-w*L)\((1—w)*D+w*U);
g=(D—w*L)\b*w;
%进行迭代
w=1;
k=0;
%x1=eye(n,1);
whilew>1e-6
x2=M*x1+g;
w=norm(x2-x1,inf);
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp(’近似解:
');
disp(x1);
x2=x1—y;
w=norm(x2,inf);
disp(’误差:
');
disp(w);
disp(’迭代次数:
');
disp(k);
六、实验结果:
A=[520;641;125];b=[1018—14]’;
X1=G_S(A,b,[000]')
X1=
—0。
8750
7.1874
-5.5000
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