上海市各区县届高三上学期期末考试数学理试题汇编圆锥曲线教师版本.docx

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上海市各区县届高三上学期期末考试数学理试题汇编圆锥曲线教师版本

【T】上海市各区县20XX届高三上学期期末考试数学理试题汇编：

圆锥曲线【教师版本】

上海市市重点中学讲义

圆锥曲线

一、填空题

x2y2

?

?

1的两条渐近线1、（宝山区20XX届高三上学期期末）抛物线y?

?

12x的准线与双曲线932

所围成的三角形的面积等于．

2、（崇明县20XX届高三上学期期末）在△ABC中，AN

＝4，BC＝，∠CBA＝

AB为实轴，且过点C，则?

的焦距为

3、（奉贤区20XX届高三上学期期末）若抛物线y2?

2px（p?

0）的准线经过双曲线x2?

y2?

1的一个焦点，则p?

________

4、（虹口区20XX届高三上学期期末）如图，已知双曲线C的右焦点为过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B的焦距为4，?

OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线

C的中心），则双曲线C的方程为_________________.

5、（黄浦区20XX届高三上学期期末）已知k?

Z，若曲线x2?

y2?

k2线xy?

k无交点，则k?

．

（第7题图）

?

，.若双曲线?

以4

x2y2

?

?

1的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦6、（金山区20XX届高三上学期期末）以椭圆2516

点的抛物线方程是

7、（静安区20XX届高三上学期期末）已知抛物线y?

ax的准线方程是y?

?

21，则a?

.4

x2y2

?

1（a?

1）上运动，F1、F28、（闵行区20XX届高三上学期期末）点P、Q均在椭圆?

:

2?

2aa?

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

是椭圆?

的左、右焦点，则PF1?

PF2?

2PQ的最大值为.

1/33

x2y2

9、（普陀区20XX届高三上学期期末）设P是双曲线?

?

1上的动点，若P到两条渐近线的距42

离分别为d1,d2，则d1?

d2?

_________.

10、（松江区20XX届高三上学期期末）已知抛物线C:

y?

4x的准线为l，过M（1,0）且斜率为k的2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若AM?

2MB，则k?

．

11、（杨浦区20XX届高三上学期期末）抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为?

的直线l交抛物线于点A,B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为4

_______________.

二、选择题

1、（嘉定区20XX届高三上学期期末）已知圆M过定点（2,0），圆心M在抛物线y2?

4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）

A．4B．3C．2D．1

2、（青浦区20XX届高三上学期期末）已知抛物线y?

2px（?

p0与）双曲线2

x2y2

?

2?

1（a?

0,b?

0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF?

x轴，若l为双曲2ab

线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是………………………（）.

（A）?

0,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

,（B）（C）（D）?

?

?

?

?

?

?

?

6?

?

64?

?

43?

?

32?

x2y2

?

?

1的右焦点与抛物线y2?

12x的焦点3、（松江区20XX届高三上学期期末）已知双曲线m5

相同，则此双曲线的渐近线方程为

A.

y?

B.

y?

xC.

y?

D

.y?

2/33

三、解答题

x2

?

y2?

1上两个不同的点A,B关于直线1、（宝山区20XX届高三上学期期末）已知椭圆2

1y?

mx?

（m?

0）对称．2

（1）若已知C（0,），M为椭圆上动点，证明：

MC?

（2）求实数m的取值范围；

（3）求?

AOB面积的最大值（O为坐标原点）．12；2

2、（奉贤区2016

其中?

x,y?

对应点的曲线方程是C．

（1）、求C的标准方程；2

（2）、直线l1:

x?

y?

m?

0与曲线C相交于不同两点M,N，且满足?

MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．

3/33

3、（虹口区20XX届高三上学期期末）

x2y2

已知椭圆C:

2?

2?

1（a?

b?

0）的左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且

ab

AB?

2,?

ABF为等边三角形.

（第23题图）

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆

?

?

?

?

?

?

?

?

?

C交于另一点J，若HM?

HN?

?

1，试求以线段NJ为直径的圆的方程；

2

22

（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O:

x?

y?

4相交于P、Q两点，

直线l2与椭圆C交于另一点R；求?

PQR面积取最大值时，直线l1的方程.

4/33

x2y2

4、（黄浦区20XX届高三上学期期末）已知椭圆?

：

2?

2?

1（a?

b?

0），过原点的两条直线l1ab

和l2分别与?

交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．

（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S．

2

（2）若直线l1和l2关于y轴对称，?

上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12?

d2为

定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．

（3）当ACBD为菱形，且圆x2?

y2?

1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．

5/33

5、（嘉定区20XX届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（?

1,0）的距离与P到定直线x?

?

4的距离之比为1．2

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m,0）（0?

m?

2）的距离的最小值为1，求m的值．

（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于?

3，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？

请说明理由．4

6/33

7/33

x2y2

7、（静安区20XX届高三上学期期末）设P1和P2是双曲线2?

2?

1上的两点，线段P1P2的中点ab为M，直线P1P2不经过坐标原点O.

b2

（1）若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:

k1k2=2；a

（2）

若双曲线的焦点分别为F1（

、F2，点P1的坐标为（2，1），直线OM的斜率为3，求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.2

8/33

8、（闵行区20XX届高三上学期期末）已知椭圆?

的中心在坐标原点，且经过点（1,，它的一个焦点与抛物线?

:

y2?

4x的焦点重合．

（1）求椭圆?

的方程；

（2）斜率为k的直线l过点F?

1,0?

，且与抛物线?

交于A、B两点，设点P（?

1,k），△PAB的面

积为k的值；

（3）若直线l过点M?

0,m?

（m?

0），且与椭圆?

交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：

mn为定值.

9/33

32

9、（浦东新区20XX届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0,y0）、直线l:

ax

?

by?

c?

0，我们称?

?

为点P（x0,y0）到直线l:

ax?

by?

c?

0的方向距离。

x2

?

y2?

1上的任意一点P（x,y）到直线l1:

x?

2y?

0,l2:

x?

2y?

0的方向

（1）设椭圆4

距离分别为?

1、?

2，求?

1?

2的取值范围。

（2）设点E（?

t,0）、F（t,0）到直线l：

xcos?

?

2ysin?

?

2?

0的方向距离分别为?

1、?

2，试问是否存在实数t，对任意的?

都有?

1?

2?

1成立？

若存在，求出t的值；不存在，说明理由。

x2y2

（3）已知直线l：

mx?

y?

n?

0和椭圆E2?

2?

1（a?

b?

0），设椭圆E的两个焦点F1,F2ab

到直线l的方向距离分别为?

1、且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，?

2满足?

1?

2?

b2，

试比较AB的长与a?

b的大小。

10/33

x2y2

10、（普陀区20XX届高三上学期期末）如图，椭圆?

?

1的左、右两个焦点分别为F1,F2，A为259

F7

12?

arccos8.

11/33椭圆的右顶点，点P在椭圆上且?

PF

（1）计算PF1的值；

（2）求?

PF1A的面积.

11、（青浦区20XX届高三上学期期末）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y2?

4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直

线

相切．l：

x?

y?

2?

0

（1）求椭圆M的方程；

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

MMP

（2）已知直线y?

x?

m与椭圆交于A、B两点，且椭圆上存在点满足OP?

OA?

OB，

求m的值．

12/33

12、（松江区20XX届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（-1,0）,D（1,0）,曲线E上的动点P

满足PC+PD=E上的点A、B满足OA?

OB．

（1）求曲线E的方程；

（2）若点A

在第一象限，且OA?

，求点A的坐标；（3）求证：

原点到直线AB的距离为定值．

13/33

13、（徐汇区20XX届高三上学期期末）已知直线l1、l2与曲线W:

mx2?

ny2?

1?

m?

0,n?

0?

分别

相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．

（1）若直线l1:

y?

x?

a和l2:

y?

x?

b将单位圆W:

x?

y?

1分成长度相等的四段弧，求22

a2?

b2的值；

（2）

若直线l1:

y?

2xl2:

y?

2x与圆W:

x?

y?

4分别交于点A、B和C、D，

求证：

四边形ABCD为正方形；22

x2

?

y2?

1的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．（3）求证：

椭圆W:

2

14/33

x2y2

14、（杨浦区20XX届高三上学期期末）如图，曲线?

由两个椭圆T1：

2?

2?

1?

a?

b?

0?

和ab

y2x2

椭圆T2：

2?

2?

1?

b?

c?

0?

组成，当a,b,c成等比数列时，称曲线?

为“猫眼曲线”.bc

（1）若猫眼曲线?

过点M0,，且a,b,c的公比为?

2，求猫眼曲线?

的方程；2

（2）对于题

（1）中的求猫眼曲线?

，任作斜率为k?

k?

0?

且不过原点的直线与该曲线相交，交

椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：

kOM为与k无关的定值；kON

（3）

l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A,B，N为椭圆T1上的任意一点（点

N与点A,B不重合），求?

ABN面积的最大值.

15/33

x

16/33

参考答案：

填空题参考答案：

2y1

、2、83

、4、x?

?

15、?

132

6、y2=12x7、18、2a9、

11、y2?

4x

410

、?

3

选择题参考答案：

1、A2、D3、A

解答题参考答案

x2

?

y2?

1,于是1、解：

（1）设M（x,y）,则2

11MC?

x2?

（y?

）2=2?

2y2?

（y?

）222

?

?

y2?

y?

9--------------------------------------------------------2分4

?

15?

（y?

）2?

22

因?

1?

y?

1,

所以，当y?

?

1时，MC.即MC?

----------------------------4分?

max222

（2）由题意知m?

0，可设直线AB的方程为y?

?

1x?

b.------------------------------5分m

?

x2

?

y2?

1,?

?

2由?

消去y，得

?

y?

?

1x?

b,?

m?

2?

m2

22b2x?

x?

b?

1?

0.--------------------------------------------------------7分22mm

1x2

?

y2?

1有两个不同的交点，因为直线y?

?

x?

b与椭圆m2

17/33

所以,?

?

?

2b?

2?

即b?

1?

224?

0，m2①----------------------------8分22m

2mbm2b,2）--------------------------------------------------------9分将AB中点M（2m?

2m?

2

1m2?

2代入直线方程y?

mx?

解得b?

?

22m2

由①②得m?

?

②

或m?

--------------------------------------------------------10分33

（3

）令t?

31?

（?

?

（0,，即t2?

（0,），2m22

?

2t4?

2t2?

则AB?

t2?

1?

32

1t?

22--------------------------------------------11分

1

-----------------------------------------------12分且O到直线AB

的距离为d?

t2?

设?

AOB的面积为S（t），所以

S（t）?

1112--------------------------14分AB?

d?

?

2（t2?

）2?

2?

2222

2当且仅当t?

1时，等号成立.2

故?

AOB.---------------------------------------------------16分

?

41分

所以点Px,y对应的曲线方程C是椭圆2分2、（1

2a?

4,?

a?

2．3分c?

14分

?

a?

2,c?

1,b?

5分x2y2

?

?

16分43

18/33

?

x?

y?

m?

0?

22

（2）、联立方程组?

x2y2消去y，得7x?

8mx?

4m?

12?

07分

?

1?

?

?

43

2

m2?

28m42?

12?

33?

6m48?

?

?

6408分

?

?

?

m2?

79分

设M（x1,y1）,N（x2,y2）

得x4m2?

12

1x2?

7

方法一

可计算yy3m2?

12

12?

7

由?

MON为钝角，则?

?

?

?

OM?

?

?

?

?

ON?

?

0，x1x2?

y1y2?

0

4m2?

127?

3m2?

12

7

?

0所以m2

?

24

7

?

m?

方法二

或者xxx2

1x2?

y1y2?

1x2?

?

x1?

m?

?

x2?

m?

?

21x2?

m?

x1?

x2?

?

m?

2?

24m?

12

?

7

?

m8m?

m

2

?

7m2?

24

7

7

?

0所以m2

?

24

7

?

?

7?

m?

7

?

2b?

2,3、解：

（1

）由题意，得?

?

c?

b,?

?

b2?

c2?

a2,19/33

10分

11分

12分13分

14分11分

12分

13分

14分（2分）

……

?

a?

2,x2?

?

y2?

1.……（4分）解得?

b?

1,故椭圆C的方程为4?

?

c?

（2）设M（x0,y0）,则由条件，知x0?

0,y0?

0,且N（?

x0,?

y0）,H（x0,0）.?

?

?

?

?

?

?

?

?

从而HM?

（0,y0）,HN?

（?

x0,?

y0）.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

12于是由HM?

HN?

（0,y）?

（?

x,?

y）?

?

y?

?

及y?

0,得y?

0000002x02?

y02?

1,求得x0?

再由点M在椭圆C

上，得4

所以M）,N（）,H0）;……（6分）进而求得直线NH的方程:

x?

4y?

0.

?

x?

4y?

?

0,求得J……（8分）

由?

?

x2?

y2?

1,?

?

4

进而NJ?

线段NJ的中点坐标为1532?

（y2?

.……（10分）

50因此以线段NJ

为直径的圆的方程为：

（xll（3）当直线1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线1的斜率为0

时，可以求得S?

PQR?

……（12分）

当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y?

kx?

1（k?

0）,则点O到直线l

1的距离为d?

从而由几何意义，得PQ?

?

由于l2?

l1,故直线l2的方程为y?

?

1x?

1,可求得它与椭圆C的交点R的坐标为k

?

8kk2?

4?

于是,?

2AR?

?

?

2?

;k?

4k?

4?

?

故S?

PQR1?

PQ?

AR?

……（15分）

232u32令

u?

?

则S?

PQR?

2?

?

u?

13u?

13u

20/33

当且仅当u?

即k?

时，上式取等号.l

故当k?

时，?

S?

PQR?

?

此时直线1的方程为：

max

y?

x?

1.（也可写成

?

2y?

2?

0.）……（18分）

4、[解]

（1）因为ACBD为正方形，所以直线l1和l2的方程为y?

x和y?

?

x．（1分）

?

y?

x,?

点A、B的坐标（x1,y1）、（x2,y2）为方程组?

x2y2的实数解，?

?

1?

2b2?

a

a2b2

22将y?

x代入椭圆方程，解得x1?

x2?

2．a?

b2

4a2b2

2根据对称性，可得正方形ACBD的面积S?

4x1?

2．（4分）a?

b2

（2）由题设，不妨设直线l1的方程为y?

kx（k?

0），于是直线l2的方程为y?

?

kx．

22x0y0设P（x0,y0），于是有2?

2?

1，又d1?

d2?

，（6分）ab

222?

（kx0?

y0）2（kx0?

y0）22k2x0?

2y0x022?

d?

d?

?

?

，将代入上式，y?

b1?

?

02?

k2?

1k2?

1k2?

1?

a?

2122

2?

x02kx?

2b?

1?

2?

a2?

得d12?

d2k2?

12202?

2b2?

22?

k?

2?

x0?

2b2a?

?

，（8分）k2?

1

b2b2对于任意x0?

[?

a,a]，上式为定值，必有k?

2?

0，即k?

?

，（9分）aa

222abbb2?

2因此，直线l1和l2的斜率分别为和?

，此时d12?

d2．（10分）a?

b2aa

（3）设AC与圆x2?

y2?

1相切的切点坐标为（x0,y0），于是切线AC的方程为x0x?

y0y?

1．?

?

?

?

?

x0x?

y0y?

1?

点A、C的坐标（x1,y1）、（x2,y2）为方程组?

x2y2的实数解．

?

2?

2?

1b?

a

①当x0?

0或y0?

0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1,1），于是有11?

2?

1．（11分）2ab

x2y21②当x0?

0且y0?

0时，将y?

（1?

x0x）代入2?

2?

1，aby0

2a2（1?

b2y0）整理得（by?

ax）x?

2x0ax?

a（1?

by）?

0，于是x1x2?

22，（13分）x022*********

2b2（1?

a2x0）同理可得y1y2?

22．（15分）22by0?

ax0?

?

?

?

?

?

?

?

ACBDAO?

CO因为为菱形，所以，得AO?

CO?

0，即x1x2?

y1y2?

0，（16分）22a2（1?

b2y0）b2（1?

a2x0）2222?

?

0，整理得a2?

b2?

a2b2（x0?

y0），由x0?

y0?

1，于是22222222by0?

ax0by0?

ax0

21/33

得a2?

b2?

a2b2，即

1111b．（18分）综上，，满足的关系式为a?

?

1?

2?

1．222abab

（x?

1）2?

y21?

，……………………………（2分）5、

（1）设P（x,y），由题意，|x?

4|2

化简得3x2?

4y2?

12，………………（3分）

x2y2

?

?

1．………………………………（4分）所以，动点P的轨迹C的方程为43

?

x2?

122?

（2）设N（x,y），则|MN|?

（x?

m）?

y?

（x?

m）?

3?

1?

?

x?

2mx?

m?

3?

?

4?

4?

2222

1（x?

4m）2?

3（1?

m2），?

2?

x?

2．………………………………（2分）4

1①当0?

4m?

2，即0?

m?

时，当x?

4m时，|MN|2取最小值3（1?

m2）?

1，2?

解得m?

2264，m?

，此时x?

?

2，故舍去．…………………（4分）333

1?

m?

2时，当x?

2时，|MN|2取最小值m2?

4m?

4?

1，2

解得m?

1，或m?

3（舍）．…………………………………………………（6分）综上，m?

1．②当4m?

2，即

（3）解法一：

设A（x1,y1），B（x2,y2），则由kOA?

kOB?

?

3yy3，得12?

?

，（1分）4x1x24

|AB|?

（x1?

x2）2?

（y1?

y2）2，

2?

x12?

?

x2?

2?

?

?

因为点A、B在椭圆C上，所以y?

3?

，，1?

y?

31?

2?

?

?

?

4?

4?

?

?

21

22222所以，9x1x2?

16y12y2?

9（4?

x12）（4?

x2），化简得x12?

x2?

4．…………（2分）

y123①当x1?

x2时，则四边形ABA，1B1为矩形，y2?

?

y1，则2?

x14

?

?

x12?

32x12?

322?

?

x?

31?

y?

?

由y?

3?

，得，解得，，x?

21?

111?

?

?

?

4424?

?

?

?

21

S?

|AB|?

|A1B|?

4|x1||y1|?

4．……………………………………（3分）

?

②当x1?

x2时，直线AB的方向向量为d?

（x2?

x1,y2?

y1），直线AB的方程为

22/33

（y2?

y1）x?

（x2?

x1）y?

x2y1?

x1y2?

0，原点O到直线AB的距离为d?

|x1y2?

x2y1|

（x2?

x1）?

（y2?

y1）22

所以，△AOB的面积S?

AOB?

11?

|AB|?

d?

|x1y2?

x2y1|，22根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S?

4S?

AOB?

2|x1y2?

x2y1|，……（4分）

2222所以，S2?

4（x1y2?

x2y1）2?

4（x1y2?

2x1x2y1y2?

x2y1）

2?

2?

?

322x2x12?

?

2?

22?

4?

3x1?

?

1?

4?

?

?

2x1x2?

3x2?

?

1?

4?

?

?

?

12（x1?

x2）?

48，所以S?

43．?

?

?

?

?

?

所以，四边形ABA1B1的面积为定值43．……………………………………（6分）

解法二：

设A（x1,y1），B（x2,y2），则A1（?

x1,?

y1），B1（?

x2,?

y2），由kOA?

kOB?

?

3yy3，得12?

?

，…………………………………………（1分）4x1x24

2

12?

x12?

?

x2?

2?

?

?

因为点A、B在椭圆C上，所以y?

3?

，，1?

y?

31?

2?

?

?

?

4?

4?

?

?

所以，9x1x2?

16y1y2?

9（4?

x1）（4?

x2），化简得x1?

x2?

4．…………（2分）直线OA的方程为y1x?

x1y?

0，点B到直线OA的距离d?

22222222|x1y2?

x2y1|

x?

y2

121，

△ABA1的面积S?

ABA1?

1?

|AA1|?

d?

|x1y2?

x2y1|，……………………（3分）2

根据椭圆的对称性，四边形ABA?

2|x1y2?

x2y1|，……（4分）1B1的面积S?

2S?

ABA1所以，S?

4（x1y2?

x2y1）?

4（x1y2?

2x1x2y1y2?

x2y1）

2?

2?

?

322x2x12?

?

2?

22?

?

?

?

4?

3x1?

1?

?

xx?

3x1?