平方差完全平方公式培优.docx
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平方差完全平方公式培优
平方差完全平方公式
•选择题(共1小题)
1.(1999?
烟台)
F列代数式I,比逹,普
,其中整式有(
A.1个B.2个C.3个
D.4个
二.填空题(共3小题)
2.
项式.
(2011?
湛江)多项式2x2-3x+5是次
3.(2010?
毕节地区)写出含有字母x,y的四次单项式.(答案不唯一,只要写出一个)
4.(2004?
南平)把多项式2x2-3x+x3按x的降幕排列是__
5.
(1999?
内江)配方:
x2+4x+=(x+)2
配方:
x2-x+
=(x-1)2
2
三.解答题(共26小题)
5.计算:
(1)(x-y)(x+y)(x2+y2)
(2)(a-2b+c)(a+2b-c)
6.计算:
1232-124X122.
7.计算:
2004
2tfi)42-2005X2003
8.(x-2y+z)(-x+2y+z).
9.运用乘法公式计算.
(1)(x+y)2-(x-y)2;
(2)(x+y-2)(x-y+2);
(3)x;
(4).
10.化简:
(m+n-2)(m+n+2).
11.(x-2y-m)(x-2y+m)
12.计算
(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b);
(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2/+16y4).
13.计算:
20082-20072+20062-20052+…+22-12.
14.利用乘法公式计算:
◎(a-3b+2c)(a+3b-2c)
②472-94X27+272.
15.已知:
x2-y2=20,x+y=4,求x-y的值.
16.观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1…
(1)根据上面各式的规律得:
(x-1)(xm-1+xm-2+xm-3+…+x+1)=;(其中n为正整数);
(2)根据这一规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.
17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:
题目:
化简(2+1)(22+1)(24+1).
解:
(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1.
18.
门讨)⑴肖〔吟)(吟)(1+盘)
问题:
化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)-(364+1).
19.(2012?
黄冈)已知实数x满足x丄=3,则x2丄的值为
20.(2007?
天水)若a2-2a+仁0.求代数式/+~丄^的值.
21.(2009?
佛山)阅读材料:
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:
(x-1)2+3、(x-2)2+2x、(*x-2)2疔x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即"余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分)
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
22.(2004?
太原)已知实数a、b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.
2+,2
23.(2001?
宁夏)设a-b=-2,求一的值.
24.已知(x+y)2=49,(x-y)2=1,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)xy.
25.已知x+丄=4,求x的值.
26.已知:
x+y=3,xy=2,求x2+y2的值.
27.已知a+b=3,ab=2,求a2+b2,(a-b)2的值.
28.若x+y=2,且(x+2)(y+2)=5,求x2+xy+y2的值.
29-宀11x+1=0,求x2+;的值•
30.
(1)
求下列各式的值:
平方差完全平方公式
参考答案与试题解析
一.选择题(共
1小题)
1.(1999?
烟台)
下列代数式
2
x2+x-2,齢2
1
?
F
32_n
卩十卩,其中整式有
32
V
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
考点:
整式.
分析:
解决本题关键
是搞清整式的概念,紧扣概念作出判断.
解答:
解:
整式有X2+x
-2竺共2
2八
个.故选B.
点评:
主要考查了整
式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积,只有乘法,没有加减法.多项式是若干个单项式的和,有加减法.
二.填空题(共3小题)
2.(2011?
湛江)多项式2x2-3x+5是二次三项式.
考点:
多项式.
专题:
计算题.
分析:
根据单项式的
系数和次数的定义,多项式的定义求解.
解答:
解:
由题意可知,多项式2x2
-3x+5是二次
三项式.
故答案为:
二,
点评:
本题主要考查多项式的定义,解答此次题的关键是熟知以下概念:
多项式中的每个单项式叫做多项式的项;多项式中不含字母的项叫常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
3.(2010?
毕节地区)写出含有字母x,y的四次单项式科•(答案不唯一,只要写出一个)
考点:
单项式.
专题:
开放型.
分析:
单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和•••x3y,x2y2,xy3等都是四次单项式.
解答:
解:
根据四次单项式的定义,x2y2,x3y,xy3等都符合题意
(答案不唯
—A
点评:
).
考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.
4.(2004?
南平)把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x
考点:
多项式.
分析:
按照x的次数从大到小排列即可.
解答:
解:
按x的降幕
排列是x3+2x2—
3x.
点评:
主要考查降幂排列的定义,就是按照x的次数从大到小的顺序排列,操作时注意带着每一项前面的符号.
三.解答题(共26小题)
5.计算:
(1)(x—y)(x+y)(x2+y2)
(2)(a—2b+c)(a+2b-c)
考点:
平方差公式;完全平方公式.
分析:
(1)(x—y)与
(x+y)结合,可运用平方差公式,其结果再与(x2+y2)相结合,再次利用平方差公式计算;
(2)先运用平方差公式,再应用完全平方公式.
解答:
解:
(1)(x—y)
(x+y)(x2+y2),=(x2—y2)
(x2+y2),
=x4—y4;
(2)(a—2b+c)(a+2b—c),
=a2—(2b—c)2,=a2—4b2+4bc—c2.
点评:
本题主要考查了平方差公式与完全平方公式,熟记公式是解题的关键.
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.
6•计算:
1232-124X122.
考点:
平方差公式.
分析:
先把124X122写成(123+1)
X(123-1),利用平方差公式计算,去掉括号后再合并即可.
解答:
解:
1232-124
X122,
=1232-
(123+1)(123
-1),
=1232-(1232-12),
=1.
点评:
本题考查平方差公式的实际运用,构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.
7•计算:
2004
20042-2005X2003
考点:
平方差公式.
分析:
观察可得:
2005=2004+1,
2003=2004-1,将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.
解答:
解:
20041
20042-2005X2003
2004
20042-(2004+13X(2004-1)
2004
20042-20042+1
=2004.
点评:
本题考查平方差公式的实际运用,注意要构造成公式的结构形式,利用公式达到简化运算的目的.
8.(x-2y+z)
(-x+2y+z).
考点:
平方差公式.
专题:
计算题.
分析:
把原式化为[Z+
(x-2y)][z-
(x-2y)],再运用平方差公式计算.
解答:
解:
(x-2y+z)(-x+2y+z),=[Z+(x-2y)][z-(x-2y)],=£-(x-2y)2,=£-(x2-4xy+4y),=z2-Y+4xy-4y2.
点评:
本题考查了平方差公式,整体思想的利用是利用公式的关键,注意运用公式计算会减少运算量.
9•运用乘法公式计算.
(1)(x+y)2-(x-y)2;
(2)(x+y-2)(x-y+2);
(3)x;
(4).
考点:
平方差公式.
专题:
计算题.
分析:
(1)(x+y)2-
(x-y)2可以
利用平方差公式进行计算;
(2)(x+y-2)
(x-y+2)转化成[x+(y-2)][x-(y-2)]的形式,利用平方差公式以及完全平方公式进行计算;
(3)x可以转化成(80-)
(80+)的形式,利用平方差公式计算;
(4)可以转化为(20-)2进行简便计算.
解答:
解:
(1)(x+y)
2-(x-y)2=
(x+y+x-y)
(x+y-x+y),
=4xy;
(2)(x+y-2)
(x-y+2),
=[x+(y-2)][x-(y-2)],=x2-y2+4y-4;
(3)x,=(80-)(80+),
=;
(4)=(20-)
2=400-2X20
X+,
点评:
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用,利用完全平方公式以及平方差公式
可以使计算更加简便.
10.化简:
(m+n-2)(m+n+2).
考点:
平方差公式.
分析:
把(m+n)看作整体,m+n是相同的项,互为相反项是-2与2,然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.
解答:
解:
(m+n-2)
(m+n+2),
=(m+n)2-22,
22
=m+n+2mn-4.
点评:
本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式(a+b)
(a-b)=a2-b2计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.
11.(x-2y-m)(x—2y+m)
考点:
平方差公式.
专题:
计算题.
分析:
把x-2y当成一个整体,利用两数的和乘以这两数的差,等于它们的平方差计算即可.
解答:
解:
(x-2y-m)
(x-2y+m),
=(x-2y)2-m2,
=x2-4xy+4y2-m2.
点评:
本题主要考查了平方差公式,
整体思想的利
用比较关键.
12.计算
(1)(a—b+c—d)(c—a-d-b);
(2)(x+2y)(x—2y)(x4—8x2/+l6y4)•
考点:
平方差公式.
专题:
计算题.
分析:
根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题.
解答:
解:
(1)原式=([c
—b—d)+a][(c
—b—d)—a]=(c—b—d)2
—a2=c2+b2+d2+2bd
—2bc—2cd—a2,
(2)Tx4—
8x2y2+16y4=(x2
—4y2)2
•••原式=(x2—
4y2)(x2—4y2)2=(x2—4y2)3
=(x2)3—3(x2)2(4y2)+3x2?
(4y2)2—(4y2)
3
=x6—12x4y2+48x2y4—
64y6.
点评:
本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用,难度适中.
13.计算:
20082—20072+20062—20052+…+22—12.
考点:
平方差公式.
分析:
分组使用平方差公式,再利用自然数求和公式解题.
解答:
解:
原式=
(20082—
20072)+(20062
-20052)+…+
(22-12),
=(2008+2007)
(2008-2007)+(2006+2005)
点评:
(2006-2005)+(2+1)(2-1),=2008+2007+2006+2005+…+2+1,=2017036.本题考查了平方差公式的运用,注意分组后两数的差都为
1,所有两数的和组成自然数求和.
14.利用乘法公式计算:
◎(a-3b+2c)(a+3b-2c)
②472-94X27+272.
考点:
平方差公式;完全平方公式.
分析:
①可用平方差公式计算:
找出符号相同的项和不同的项,结合再按公式解答,
②把94写成2
X47后,可用完全平方公式计算.
解答:
解:
①原式=[a-(3b-2c)][a+(3b-2c)]=a2-(3b-2c)2=9b2+12bc-4c2;
②原式=472-2
X47X27+272=(47-27)
2=400.
点评:
本题考查了平方差公式,完全平方公式,熟记
公式是解题的关键.
1把(3b-2c)看作一个整体是运用平方差公式的关键;
2把94写成2
X47是利用完全平方公式的关键.
15.已知:
x2-y2=20,x+y=4,求x-y的值._5
考点:
平方差公式.
分析:
本题是平方差公式的应用.
解答:
解:
a2-b2=
(a+b)(a-b),x2-y2=(x+y)(x-y)=20把x+y=4代入求得x-y=5.
点评:
运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x-y的值,为5.
16.观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1…
(1)根据上面各式的规律得:
(x-1)(xm-1+xm-2+xm-3+…+x+1)=xm-1;(其中n为正整数);
(2)根据这一规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.
考点:
平方差公式.
分析:
(1)认真观察各式,等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空;
(2)先根据上面的式子可得:
1+x+x2+x3+…
+x°=(xn+1-1)+(x-1),从
而得出
1+2+22+…
+268+269=(?
69+1
-1)r2-1),再进行计算即可.
解答:
解:
(1)(x-1)
(xm-1+xm-
2+xm-3+…
+x2+x+1)=xm-
1;
(2)根据上面的式子可得:
23
1+x+x+x+…
+宀(xn+1-1)十(X-1),
•••1+2+22+…
+268+269=(269+1
-1)-(2-1)
=270-1.
点评:
本题考查了平方差公式,认真观察各式,根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.
17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:
题目化简(2+1)(22+1)(24+1).
解:
(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1.问题:
化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)・・・(364+1).
考点:
平方差公式.
分析:
根据题意,整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简,然后再和后面的因式进行运算.
解答:
解:
原式J(3
-1)(3+1)
(32+1)(34+1)
(38+1)
(364+1),(4
分)
丄(32-1)
(32+1)(34+1)
(38+1)
(364+1),
丄(34-1)
1
(34+1)(38+1)
(364+1),
丄(38-1)
1
(38+1)
(364+1),
二(364-1)
(364+1),(8
分)
=1(3128-
=(3
点评:
1).(10分)本题主要考查了平方差公式,关键在于把
(3+1)化简为
(3-1)(3+1)
考点:
专题:
分析:
平方差公式.
计算题.
由平方差公式,
(1+2)(1-丄)
2
=1—
2
寺(1-
解答:
丄
22
--,依此类
推,从而得出结果.
解:
原式=(1-丄
22
(1+
)(1
=1
的形式,
考点:
完全平方公式.
专题:
计算题.
分析:
将x+
—=3两边
平方,
然后移项
即可得出答案.
解答:
解:
由题意得,
1o
x+—=3,
两边平方得:
«+2+:
=9,
19.(2012?
黄冈)已知实数x满足
二=3,则x2+°的值为7
故x2+°=7.
X
故答案为:
7.
点评:
此题考查了完
全平方公式的
知识,掌握完全
平方公式的展开式的形式是解答此题的关键,属于基础题.
20.(2007?
天水)若a2-2a+仁0.求代数式/+~岂的值•
考点:
完全平方公式.
分析:
根据完全平方公式先求出a的值,再代入求出代数式的值.
解答:
解:
由a2-
2a+1=0得(a-
1)2=0,
•••a=1;
把a=1代入
a4+—^=1+1=2
故答案为:
2.
点评:
本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平
方公式先求出a的值,是解决本题的关键.
21.(2009?
佛山)阅读材料:
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:
(x-1)2+3、(x-2)2+2x、(丄x-2)2芒x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、24
一次项、二次项--见横线上的部分)
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
考点:
完全平方公式.
专题:
阅读型.
分析:
(1)
(2)本题
考查对完全平
方公式的灵活应用能力,由题中所给的已知材料可得x2-
4x+2和
a2+ab+b2的配
方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式;
(3)通过配方
后,求得a,b,c的值,再代入代数式求值.
解答:
解:
(1)X2-4x+2
的三种配方分别为:
x2-4x+2=(x-
2)2-2,
X2-4x+2=
(x+.':
)2
(2,f+4)x,
x2-4x+2=CZx
-:
':
)2-x2;
(2)a2+ab+b2=
(a+b)2-ab,
22
a+ab+b=
(Fr
(3)a2+b2+c2
-ab-3b-
2c+4,
=(a2-ab+丄b2)
(4
+(上b2-3b+3)
+(c2-2c+1),
+(c2-2c+1),
=(a-亍b)2〒(b
-2)2+(c-1)
2=0,
从而有a-
=b=0,b-2=0,
c-1=0,
即a=1,b=2,c=1,
a+b+c=4.
点评:
本题考查了根
据完全平方公
式:
a2±2ab+b2=
(a±b)2进行配方的能力.
22.(2004?
太原)已知实数a、b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.
考点:
完全平方公式.
分析:
先由已知条件展开完全平方式求出ab的值,再将a2+b2+ab转化为完全平方式(a+b)2和ab的形式,即可求值.
解答:
解:
•••(a+b)
2=1,(a-b)
2=25,
.a2+b2+2ab=1,a2+b2-2ab=25.
.4ab=-24,
ab=-6,.a2+b2+ab=
(a+b)2-ab=1-(-6)=7.
点评:
本题考查了完全平方公式,利用完全平方公式展开后建立方程组,再整体代入求解.
23.(2001?
宁夏)设a-b=-2,求*严-命的值.
考点:
完全平方公式.
分析:
对所求式子通分,然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式,把a-b=-2代入计算即可.
解答:
解:
原式
/+b2-2ab
=2
G-b):
1
2
•/a-b_-2,
•••原式
_(-2〉2_
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- 平方 完全 公式