高中数学数列知识点总结精华版.docx
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高中数学数列知识点总结精华版
小小亲清辅导班
一、数列
1.数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规
律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.
⑵在数列中同一个数可以重复出现.
⑶项an与项数n是两个根本不同的概念.
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列
2.通项公式:
如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式,即anf(n).
3.递推公式:
如果已知数列an的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项
an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即anf(an1)或anf(an1,an2),
那么这个式子叫做数列an的递推公式.如数列an中,a11,an2an1,其中
an2an1是数列an的递推公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
①Sna1a2
an
;②an
S1
(n1)
Sn
.
Sn1(n2)
5.数列的表示方法:
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类:
有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;
有界数列,无界数列.
①递增数列:
对于任何n
N,
均有an
1
②递减数列:
对于任何n
N,
均有an
1
③摆动数列:
例如:
1,1,
1,1,
1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,
,.
⑤有界数列:
存在正数M
使an
M,n
an.
an.
N.
⑥无界数列:
对于任何正数M,总有项an使得anM
.
1、已知an
n
(n
N*),则在数列{an}的最大项为
__(答:
1);
n2
156
an
25
2、数列{an}的通项为an
,其中a,b均为正数,则an与an1的大小关系为___(答:
bn
1
anan1);
3、已知数列{an}中,an
n2
n,且{an}是递增数列,求实数
的取值范围(答:
3);
4、一给定函数y
f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1
(0,1),由关系式an1
f(an)
得到的数列{an}满足an
1
an(nN*),则该函数的图象是
()(答:
A)
小小亲清辅导班
二、等差数列
1、等差数列的定义:
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
即
anan1d(nN*,且n
2).(或an1
an
d(n
N*)).
2、
(1)等差数列的判断方法:
①定义法:
an1
an
d(常数)
an
为等差数列。
②中项法:
2an
1
an
an
2
an
为等差数列。
③通项公式法:
anan
b(a,b为常数)
an
为等差数列。
④前n项和公式法:
sn
An2
Bn(A,B为常数)
an
为等差数列。
如设{a
}是等差数列,求证:
以bn=a1
a2
an
n
N*为通项公式的数列
{b}为
n
n
n
等差数列。
(2)等差数列的通项:
an
a1
(n
1)d或an
am
(n
m)d。
公式变形为:
ananb.
其中a=d,b=
a1-d.
如1、等差数列{an}中,a10
30,a20
50,则通项an
(答:
2n
10);
2、首项为-24的等差数列,从第
10项起开始为正数,则公差的取值范围是
______
(答:
8
d3)
3
(3)等差数列的前n和:
Sn
n(a1
an),Sn
na1
n(n1)
d。
公式变形为:
2
2
d
snAn2Bn,其中A=2
,B=a1
d.注意:
已知n,d,
a1,an,sn中的三者可以求
2
另两者,即所谓的“知三求二”。
如数列{an}中,an
an1
1(n
2,nN*),an
3,前n项和Sn
15,则
2
2
2
a1=_,n=_(答:
a1
3,n
10);
(2)已知数列
{an}的前n项和Sn12nn2,
求数列{|an|}的前n项和Tn(答:
Tn
12nn2(n6,n
N*)
).
n
212n
72(n
6,nN*)
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(4)等差中项:
若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A
ab。
2
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:
a1、d、n、an及
Sn,其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意
3个,便可求出其余2个,
即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为
,
a2d,ad,a,ad,a2d,
(公差为d);偶数个数成等差,可设为,,
a3d,ad,a
d,a
3d,,(公差为2d)
3.等差数列的性质
:
(1)当公差d
0时,等差数列的通项公式an
a1
(n1)d
dn
a1d是关于n的一
次函数,且斜率为公差
d;前n和Snna1n(n
1)
d
dn2
(a1
d)n是关于n的二次
2
2
2
函数且常数项为
0.等差数列{a
n
}中,Sn是n的一次函数,且点(n,Sn)均在直线y=dx
n
n
2
d
+(a1-)上
2
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差
d0,则为常数列。
(3)对称性:
若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和.当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有
aman2ap.
如1、等差数列{an}中,Sn18,an
an1an
2
3,S31
,则n=____(答:
27);
2、在等差数列an中,a10
0,a11
0,且a11
|a10|,Sn是其前n项和,则A、
S1,S2
S10都小于0,S11,S12
都大于0
B、S1
S2
S19都小于0,S20,S21
都大于
0C、S1,S2
S5都小于0,S6,S7
都大于0
D、S1,S2
S20都小于
0,S21,S22
都大于
0(答:
B)
(4)
项数成等差,则相应的项也成等差数列
.即ak,akm,ak
2m,...(k,m
N*)成等差.若
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{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kan
pbn}(k、p是非零常数)、{ap
nq}(p,q
N*)、
Sn,S2nSn,S3n
S2n(公差为n2d).,,也成等差数列,而
{aan}成等比数列;若{an}是
等比数列,且an
0,则{lgan}是等差数列.
如
等差数列的前
n项和为25,前2n项和为100,则它的前
3n和为
。
(答:
225)
(5)在等差数列
{an}中,当项数为偶数
2n时,
sn
n(an
an1);s偶
s奇
nd;
s偶an1
s奇
.
an
项数为奇数
2n
1时,s2n1
(2n
1)an;s偶
s奇
a1
;s
偶
n1。
s奇
n
如1、在等差数列中,S11=22,则a6=______(答:
2);
2、项数为奇数的等差数列
{an}中,奇数项和为
80,偶数项和为
75,求此数列的
中间项与项数(答:
5;31).
(6)单调性:
设
d为等差数列
an
的公差,则
d>0
an
是递增数列;d<0
an是递减数列;d=0
an是常数数列
(7)
若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An
、Bn,且
An
f(n),则
Bn
an
(2n
1)an
A2n
1
f(2n
1).
bn
(2n
1)bn
B2n
1
如设{an}与{bn}是两个等差数列,它们的前n项和分别为Sn和Tn,若
Sn
3n
1
,
那
么
Tn
4n
3
an
__________
_
bn
(答:
6n2)
8n7
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(8)设a
,a
m
,a
n
为等差数列中的三项,且a
与a
m
,a
m
与a
n
的项距差之比
l
m=
l
l
m
n
(≠-1),则a
m
=al
an
.
1
(9)在等差数列{a
n}中,Sn=a,Sm=b(n>m),则Sm
n=n
m(a-b).
n
m
8、已知an
成等差数列,求
sn的最值问题:
①若a1
0,d<0且满足an
0,
则sn最大;
an
1
0
②若1
0,d>0且满足an
0,
则sn最小.
a
an1
0
“首正”的递减等差数列中,前
n项和的最大值是所有非负项之和;
“首负”的递增等
差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组
an
0
an
0
an
或
an
10
10
确定出前多少项为非负(或非正)
;法二:
因等差数列前
n项是关于n的二次函数,故可转
化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
nN*
。
上述两种方法是运用了哪种数学
思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
如1、等差数列{an}中,a1
25,S9S17
,问此数列前多少项和最大?
并求此最大值。
(答:
前13项和最大,最大值为
169);
2、若{an}是等差数列,首项
a1
0,a2003
a2004
0,
a2003a2004
0,则使前n项和Sn
0成立的最大正整数
n是
(答:
4006)
(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项,其项
数不一定相同,即研究anbm.
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三、等比数列
1、等比数列的有关概念:
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
数,那么这个数列叫做等比数列,
这个常数叫等比数列的公比。
即
an
q(n
*
n
2)
(或
an1
N
an
1
*)
an
q(nN
、等比数列的判断方法:
定义法an1
q(q
为常数
,其中q
0,a
0
或an
1
an
2
an
)
n
an
an
1
(n
2)。
如
1
、
一
个
等
比
数
列
{an
}
共有
2n
1项,奇数项之积为
100,偶数项之积为120,则an1为____(答:
5);
6
2、数列{an}中,Sn=4an
1+1(n
2)且a1=1,若bn
an1
2an
,求证:
数列{bn}
是等比数列。
3、等比数列的通项:
an
a1qn1或an
amqnm。
如设等比数列{an}
中,a1
an
66,a2an
1128,前n项和Sn=126,求n和公比
q.
(答:
n
6,q
1或2)
2
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4、等比数列的前n和:
当q1时,Snna1;当q1时,Sn
a1(1
qn)
a1
anq。
1
q
1
q
如等比数列中,q=2,S99=77,求a3
a6
a99(答:
44)
提醒:
等比数列前n项和公式有两种形式,
为此在求等比数列前
n项和时,首先要判断
公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比
q是否为1时,要对
q分q
1和q1两种情形讨论求解。
5、等比中项:
如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=
ab.
提醒:
不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个
ab。
如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为
A,等比中项为
B,则A与B的大小关系为
______(答:
A>B)
提醒:
(1)等比数列的通项公式及
前n项和公式中,涉及到5个元素:
a1、q、n、an
及Sn,其中a1、q称作为基本元素。
只要已知这
5个元素中的任意
3个,便可求出其余
2
个,即知
3求2;
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为
,
a
a,a,aq,aq2,(公比为q);但偶数个数成等比时,不能设为,
a
a,aq,aq3,,,
q2
q
q3
q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为
q2。
如有四个数,其中前三
个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是
16,第二个数与第三
个数的和为12,求此四个数。
(答:
15,,9,3,1或0,4,8,16)
6、等比数列的性质:
(1)对称性:
若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当m
npq时,则有am.an
ap.aq,特别地,当mn
2p时,则有am.an
ap
2
.
如1、在
等比数列{an}中,a3a8
124,a4a7
512,公比q是整数,则a10=___(答:
512);
2、各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a69,则log3a1log3a2log3a10
(答:
10)。
(2)若{a
n
}是公比为q的等比数列,则{|a
n
|}、{a
2
}、{ka
n
}、{
1}也是等比数
n
an
小小亲清辅导班
列,其公比分别为
|q|}、{q
2}、{q}
、{
1}。
若{
}{
}
成等比数列,则{anbn}、{
an
}
q
an、bn
bn
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