高中数学必修2B直线与圆的位置关系.docx
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高中数学必修2B直线与圆的位置关系
2019-2020年高中数学必修2(B)直线与圆的位置关系
一.课标要求:
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标;
2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离;
3.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;
4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
5.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。
二.命题走向
本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中等,一般以选择题的形式出现,有时在解析几何中也会出现大题,多考察其几何图形的性质或方程知识。
预测xx年对本讲的考察是:
(1)一个选择题或一个填空题,解答题多与其它知识联合考察;
(2)热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系,注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向;
(3)本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。
三.要点精讲
1.直线l1与直线l2的的平行与垂直
(1)若l1,l2均存在斜率且不重合:
①l1//l2k1=k2;②l1l2k1k2=-1。
(2)若
若A1、A2、B1、B2都不为零。
①l1//l2;
②l1l2A1A2+B1B2=0;
③l1与l2相交;
④l1与l2重合;
注意:
若A2或B2中含有字母,应注意讨论字母=0与0的情况。
两条直线的交点:
两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
2.距离
(1)两点间距离:
若,则
特别地:
轴,则、轴,则。
(2)平行线间距离:
若
,则:
。
注意点:
x,y对应项系数应相等。
(3)点到直线的距离:
,则P到l的距离为:
3.直线与圆的位置关系有三种
(1)若,;
(2);
(3)。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
求解,通过解的个数来判断:
(1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点),直线与圆相交;
(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点),直线与圆相切;
(3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点),直线与圆相离;
即:
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系:
相切d=rΔ=0;
相交d
相离d>rΔ<0。
4.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,。
;
;
;
;
;
外离外切
相交内切内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
四.典例解析
题型1:
直线间的位置关系
例1.
(1)(xx北京11)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线,则,的值等于。
(2)(xx上海文11)已知两条直线
若,则____。
解析:
(1)答案:
;
(2)2。
点评:
(1)三点共线问题借助斜率来解决,只需保证;
(2)对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。
例2.
(1)(xx福建文,1)已知两条直线和互相垂直,则等于()
A.2 B.1 C.0 D.
(2)(xx安徽理,7)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.C.D.
解析:
(1)答案为D;
(2)与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A。
点评:
直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系,同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。
题型2:
距离问题
例3.(xx京皖春文,8)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是()
A.x-y=0B.x+y=0
C.|x|-y=0D.|x|-|y|=0
解析:
设到坐标轴距离相等的点为(x,y)
∴|x|=|y|∴|x|-|y|=0。
答案:
D
点评:
本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑,通过不等式解等知识探索解题途径
例4.(xx全国文,21)已知点P到两个定点M(-1,0)、N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程。
解析:
设点P的坐标为(x,y),由题设有,
即
。
整理得x2+y2-6x+1=0①
因为点N到PM的距离为1,|MN|=2,
所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为±,
直线PM的方程为y=±(x+1)②
将②式代入①式整理得x2-4x+1=0。
解得x=2+,x=2-。
代入②式得点P的坐标为(2+,1+)或(2-,-1+);(2+,-1-)或(2-,1-)。
直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1。
点评:
该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想。
该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高,有较好的区分度。
题型3:
直线与圆的位置关系
例5.
(1)(xx安徽文,7)直线与圆没有公共点,则的取值范围是()
A. B. C.D.
(2)(xx江苏理,2)圆的切线方程中有一个是()
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
解析:
(1)解析:
由圆的圆心到直线大于,且,选A。
点评:
该题考察了直线与圆位置关系的判定。
(2)直线ax+by=0
,则,由排除法,
选C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
点评:
本题主要考查圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。
直线与圆相切可以有两种方式转化
(1)几何条件:
圆心到直线的距离等于半径
(2)代数条件:
直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
例6.(xx江西理,16)已知圆M:
(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:
y=kx,下面四个命题:
(A)对任意实数k与θ,直线l和圆M相切;
(B)对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
(C)对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切;
(D)对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与和圆M相切。
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)
解析:
圆心坐标为(-cosθ,sinθ)
d=
故选(B)(D)
点评:
该题复合了三角参数的形式,考察了分类讨论的思想。
题型4:
直线与圆综合问题
例7.(xx全国,9)直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为()
A.B.C.D.
解析:
如图所示:
由
消y得:
x2-3x+2=0,∴x1=2,x2=1。
∴A(2,0),B(1,)
∴|AB|==2
又|OB|=|OA|=2,
∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=,故选C。
点评:
本题考查直线与圆相交的基本知识,及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想,同时也体现了数形结合思想的简捷性。
如果注意到直线AB的倾斜角为120°,则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义。
例8.(xx全国2,16)过点(1,
)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=。
解析:
过点的直线将圆分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线的斜率
解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部,圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以
。
点评:
本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等。
题型5:
对称问题
例9.(89年高考题)一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射到⊙C:
x2+y2-4x-4y+7=0上。
(Ⅰ)求反射线通过圆心C时,光线l的方程;
(Ⅱ)求在x轴上,反射点M的范围.
解法一:
已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。
设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题设知对称圆的圆心C′(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d==1。
整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-。
故所求直线方程是y-3=-(x+3),或y-3=-(x+3),即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。
解法二:
已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,设交线L所在的直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是(-,0),因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L′所在直线的方程为y=-k(x+),即y+kx+3(1+k)=0。
这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为1,即d==1。
以下同解法一。
点评:
圆复合直线的对称问题,解题思路兼顾到直线对称性问题,重点关注对称圆的几何要素,特别是圆心坐标和圆的半径。
例10.已知函数f(x)=x2-1(x≥1)的图像为C1,曲线C2与C1关于直线y=x对称。
(1)求曲线C2的方程y=g(x);
(2)设函数y=g(x)的定义域为M,x1,x2∈M,且x1≠x2,求证|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|;
(3)设A、B为曲线C2上任意不同两点,证明直线AB与直线y=x必相交。
解析:
(1)曲线C1和C2关于直线y=x对称,则g(x)为f(x)的反函数。
∵y=x2-1,x2=y+1,又x≥1,∴x=,则曲线C2的方程为g(x)=(x≥0)。
(2)设x1,x2∈M,且x1≠x2,则x1-x2≠0。
又x1≥0,x2≥0,
∴|g(x1)-g(x2)|=|-|=≤<|x1-x2|。
(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)为曲线C2上任意不同两点,x1,x2∈M,且x1≠x2,
由
(2)知,|kAB|=||=<1
∴直线AB的斜率|kAB|≠1,又直线y=x的斜率为1,∴直线AB与直线y=x必相交。
点评:
曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理,最终转化为点的坐标之间的对应关系。
题型6:
轨迹问题
例11.(xx山东理,22)已知动圆过定点,且与直线相切,其中。
(I)求动圆圆心的轨迹的方程;
(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且为定值时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标。
解析:
(I)如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:
即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为;
(II)如图,设,由题意得(否则)且所以直线的斜率存在,设其方程为,显然,将与联立消去,得由韦达定理知
①
(1)当时,即时,所以,所以由①知:
所以。
因此直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点。
(2)当时,由,
得==,
将①式代入上式整理化简可得:
,所以,
此时,直线的方程可表示为即
,所以直线恒过定点。
所以由
(1)
(2)知,当时,直线恒过定点,当时直线恒过定点。
点评:
该题是圆与圆锥曲线交汇题目,考察了轨迹问题,属于难度较大的综合题目。
例12.(xx江苏,19)如图,圆与圆的半径都是1,.过动点分别作圆、圆的切线(分别为切点),使得.试建立适当的坐标系,并求动点的轨迹方程。
解析:
以的中点为原点,所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,。
由已知,得。
因为两圆半径均为1,所以。
设,则
,
即(或)。
点评:
本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力。
题型7:
课标创新题
例13.已知实数x、y满足,求的最大值与最小值。
解析:
表示过点A(0,-1)和圆上的动点(x,y)的直线的斜率。
如下图,当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值。
设切线方程为,即,则,解得。
因此,
点评:
直线知识是解析几何的基础知识,灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点,对启迪思维大有裨益。
下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。
例14.设双曲线的两支分别为,正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。
若在上,Q、R在上,求顶点Q、R的坐标。
分析:
正三角形PQR中,有,则以为圆心,为半径的圆与双曲线交于R、Q两点。
根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。
解析:
设以P为圆心,为半径的圆的方程为:
,
由得:
。
(其中,可令进行换元解之)
设Q、R两点的坐标分别为,则。
即
,
同理可得:
,且因为△PQR是正三角形,则
,
即
,得。
代入方程,即。
由方程组,得:
或,
所以,所求Q、R的坐标分别为
点评:
圆是最简单的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。
对一些数学问题,若能作一个辅助圆,可以沟通题设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到铺路搭桥的作用。
五.思维总结
1.关于直线对称问题:
(1)关于l:
Ax+By+C=0对称问题:
不论点,直线与曲线关于l对称问题总可以转化为点关于l对称问题,因为对称是由平分与垂直两部分组成,如求P(x0,y0)关于l:
Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1).有=-
(1)与A·+B·+C=0。
(2)解出x1与y1;若求C1:
曲线f(x,y)=0(包括直线)关于l:
Ax+By+C1=0对称的曲线C2,由上面的
(1)、
(2)中求出x0=g1(x1,y1)与y0=g2(x1,y1),然后代入C1:
f[g1(x1,y1),g2(x2,y2)]=0,就得到关于l对称的曲线C2方程:
f[g1(x,y),g2(x,y)]=0。
(3)若l:
Ax+By+C=0中的x,y项系数|A|=1,|B|=1.就可以用直接代入解之,尤其是选择填空题。
如曲线C1:
y2=4x-2关于l:
x-y-4=0对称的曲线l2的方程为:
(x-4)2=4(y+4)-2.即y用x-4代,x用y+4代,这样就比较简单了。
(4)解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。
点与圆位置关系:
P(x0,y0)和圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2。
①点P在圆C外有(x0-a)2+(y0-b)2>r2;
②点P在圆上:
(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
③点P在圆内:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2。
3.直线与圆的位置关系:
l:
f1(x,y)=0.圆C:
f2(x,y)=0消y得F(x2)=0。
(1)直线与圆相交:
F(x,y)=0中>0;或圆心到直线距离d<r。
直线与圆相交的相关问题:
①弦长|AB|=·|x1-x2|=·,或|AB|=2;②弦中点坐标(,);③弦中点轨迹方程。
(2)直线与圆相切:
F(x)=0中=0,或d=r.其相关问题是切线方程.如P(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,过P的切线方程为x0x+y0y=r2,其二是圆外点P(x0,y0)向圆到两条切线的切线长为
或;其三是P(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点引两条切线,有两个切点A,B,过A,B的直线方程为x0x+y0y=r2。
(3)直线与圆相离:
F(x)=0中<0;或d<r;主要是圆上的点到直线距离d的最大值与最小值,设Q为圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2上任一点,|PQ|max=|PC|+r;|PQ|min=|PQ|-r,是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值.
4.圆与圆的位置关系:
依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径r1,r2的和差关系判定.
(1)设⊙O1圆心O1,半径r1,⊙O2圆心O2,半径r2则:
①当r1+r2=|O1O2|时⊙O1与⊙O2外切;②当|r1-r2|=|O1O2|时,两圆相切;③当|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2时两圆相交;④当|r1-r2|>|O1O2|时两圆内含;⑤当r1+r2<|O1O2|时两圆外离。
(2)设⊙O1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙O2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0。
①两圆相交A、B两点,其公共弦所在直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0;
②经过两圆的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不包括⊙O2方程)。
2019-2020年高中数学必修2(B)直观图画法
教学目标
(1)掌握斜二测画法的作图规则,会用斜二测画法画出简单几何体的直观图;
(2)培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力.
教学重点
用斜二测画法画出简单几何体的直观图.
教学难点
斜二测画法的作图规则,用斜二测画法画出简单几何体的直观图.
教学过程
一、问题情境
1.复习:
(1)什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影?
(2)三视图采用何种投影?
三视图指哪三种视图?
画三视图要注意什么?
说明:
三视图在工程制图中被广泛采用,但其直观性较差,因此,在绘制物体的直观图时,一般采用斜投影或中心投影。
二、学生活动
下图是采用斜投影和中心投影画出的正方体的直观图,观察它们的特点,你认为哪一个图作图比较方便?
三、建构数学
讨论、归纳:
中心投影(透视)中水平线仍保持水平,铅垂线仍保持竖直,但斜的平行线会相交,交点称为消点。
中心投影(透视)作图方法比较复杂,
且不易度量,因此,在立体几何中,通常
采用斜投影来画空间图形的直观图。
例1:
(教材第14页例1)画水平放置的正三角形的直观图。
仿照教材讲解,边作图边写出作法。
例1:
(教材第15页例2)画棱长为的正方体的直观图。
仿照教材讲解,边作图边写出作法。
归纳:
用斜二测画法画简单几何体的直观图的规则:
(1)在空间图形中取互相垂直的轴和轴,两轴交于点,再取轴,使
,且;
(2)画直观图时把它们画成对应的轴、轴和轴,它们相交于点,并使
(或),,轴和轴所确定的平面表示水平平面;
(3)已知图形中平行于轴、轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段;
(4)已知图形中平行于轴和轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于轴的线段,长度为原来的一半。
四、数学运用
练习1:
画底面棱长为,高为的正六棱柱的直观图。
练习2:
画底面半径为,高为的圆柱的直观图。
练习3:
(教材第16页练习1)
下列图形中,采用中心投影(透视)画法的是。
五、回顾小结:
1.本节课学习了立体几何中直观图的画法——斜二测画法;
2.用斜二测画法直观图的规则是什么?
- 配套讲稿:
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- 高中数学 必修 直线 位置 关系