高中数学课后提升训练四12排列与组合1212新人教A版.docx
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高中数学课后提升训练四12排列与组合1212新人教A版
2019-2020年高中数学课后提升训练四1.2排列与组合1.2.1.2新人教A版
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(xx·太原高二检测)89×90×91×…×100可表示为 ( )
A.B.
C.D.
【解析】选C.由排列数公式得89=100-m+1,所以m=12,n=100.即其表示为.
2.与·不等的是 ( )
A.B.81
C.10D.
【解析】选B.由·=3628800,81=3265920,=3628800,10=3628800,
=3628800.
3.计算2+3!
的值为 ( )
A.100 B.123
C.126 D.128
【解析】选C.原式=2×5×4×3+3×2×1=126.
4.若=2,则m的值为 ( )
A.5B.3C.6D.7
【解析】选A.由=2得
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)
=2×m×(m-1)(m-2),
故(m-3)(m-4)=2,
即m2-7m+10=0,
解得m=5或m=2(舍).
5.乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为 ( )
A.B.C.D.
【解析】选D.(m+20)-m+1=21,共有21项相乘,
所以乘积为.
6.给出下列四个关系式:
①n!
=;②=n;
③=;④=.
其中正确的个数为 ( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】选C.由=可知:
=,故④不正确.
7.不等式+n≤10的解为 ( )
A.n=3 B.n=4
C.n=3或n=4D.n=3或n=4或n=5
【解析】选C.原不等式化为(n-1)(n-2)+n≤10,
即n2-2n-8≤0,
解得-2≤n≤4,
又n-1≥2,且n∈N*,
所以3≤n≤4,
所以n=3或n=4.
8.若S=++++…+,则S的个位数字是 ( )
A.8B.5C.3D.0
【解析】选C.由排列数公式知,,,…中均含有2和5的因子,故个位数均为0,所以S的个位数字应是+++的个位数字,而+++=1+2×1+3×2×1+4×3×2×1=33,故个位数字为3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.不等式-n<7的解集为________.
【解析】由-n<7,得
(n-1)(n-2)-n<7,
整理,得n2-4n-5<0,
解得-1 又n-1≥2且n∈N*, 即n≥3且n∈N*, 所以n=3或n=4. 答案: {3,4} 10.已知=12,则m=________. 【解析】由=12, 整理得=12·, 解得m=7或m=14, 又⇒m≤9, 所以m=7. 答案: 7 三、解答题 11.(10分)解不等式<6. 【解析】原不等式可化为,<6×, 即1<6×, 化简得m2-15m+50<0,即(m-5)(m-10)<0, 解得5 即m≤6,且m∈N*, 所以m=6. 【误区警示】忽视限定条件导致错解 (1)本题易忽视公式中条件“m≤n”,易得到“5 (2)在解答排列数的方程或不等式时,要注意排列数,m,n∈N*且m≤n这些限定条件,要注意含排列数的方程和不等式未知数的取值范围. 【能力挑战题】 求证: +2+3+…+n=(n+1)! -1. 【证明】因为n=n·n! =(n+1)! -n! 所以+2+3+…+n=2! -1! +3! -2! +4! -3! +…+(n+1)! -n! =(n+1)! -1. 2019-2020年高中数学课时作业101.6垂直关系北师大版 |基础巩固|(25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l,m的位置关系是( ) A.平行 B.异面 C.相交D.垂直 解析: 因为直线l垂直于直线AB和AC,所以l垂直于平面ABC,同理,直线m垂直于平面ABC,根据线面垂直的性质定理得l∥m. 答案: A 2.已知平面α⊥平面β,α∩β=n,直线lα,直线mβ,则下列说法正确的个数是( ) ①若l⊥n,l⊥m,则l⊥β;②若l∥n,则l∥β;③若m⊥n,l⊥m,则m⊥α. A.0B.1 C.2D.3 解析: 由线面平行的判定定理知②正确;由面面垂直的性质定理知①③正确. 答案: D 3.已知平面α⊥β,直线lα,直线mβ,若l⊥m,则l与β的位置关系是( ) A.l⊥βB.l∥β C.lβD.以上都有可能 解析: 若l垂直于两平面的交线,则l⊥β;若l平行两平面的交线,m垂直两平面的交线,则l∥β;若l就是两平面的交线,m垂直两平面的交线,则lβ.故这三种情况都有可能. 答案: D 4.PO⊥平面ABC,O为垂足,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=5,PA=PB=PC=10,则PO的长等于( ) A.5B.5 C.5 D.20 解析: ∵PA=PB=PC, ∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心. 又△ABC为直角三角形, ∴O为斜边BA的中点. 在△ABC中,BC=5,∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴PO= =5 . 答案: C 5. 如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( ) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 解析: 连接AC1,∵BA⊥AC,BC1⊥AC,BA∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1.∵AC平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1,且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上. 答案: A 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是________. 解析: 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,又因为PC⊥BD,所以BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以AC⊥BD. 答案: 菱形 7.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD= a,则它的五个面中,互相垂直的平面有________对. 解析: 由勾股定理逆定理得PA⊥AD,PA⊥AB,∴PA⊥面ABCD,PA⊥CD,PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论.平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PCD. 答案: 5 8.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则 =________. 解析: 在三棱锥P-ABC中, 因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC. 因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB, 因为EF⊥BC,BC∩AB=B, 所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF, 因为F是AC的中点,E是PC上的点, 所以E是PC的中点,所以 =1. 答案: 1 三、解答题(每小题10分,共20分) 9. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. 证明: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 证明: (1)在四棱锥P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,且PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA. ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC. 由 (1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C, ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A, ∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE. 10. 如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证: BG⊥平面PAD; (2)求证: AD⊥PB. 证明: (1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°, 所以△ABD是正三角形, 因为G是AD的中点, 所以BG⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD. 所以BG⊥平面PAD. (2)连接PG. 因为△PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PG⊥AD. 由 (1)知BG⊥AD, 而PG∩BG=G, PG⊂平面PBG, BG⊂平面PBG, 所以AD⊥平面PBG. 又因为PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB. |能力提升|(20分钟,40分) 11.(xx·贵阳市监测考试)如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是( ) A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 解析: A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;C中,因为平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出AP⊥BC,故选B. 答案: B 12. 如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________(填序号). ①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置,都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD. 解析: 分别取CE,DE的中点Q,P,连接MP,PQ,NQ,可证MNQP是矩形,所以①②正确;因为MN∥PQ,AB∥CE,若MN∥AB,则PQ∥CE,又PQ与CE相交,所以③错误;当平面ADE⊥平面ABCD时,有EC⊥AD,④正确.故填①②④. 答案: ①②④ 13. 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中: (1)求二面角D′-AB-D的大小; (2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小. 解析: (1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°. 所以二面角D′-AB-D的大小为45°. (2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB. 从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°. 所以二面角M-AB-D的大小为45°. 14.(xx·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证: DC⊥平面PAC. (2)求证: 平面PAB⊥平面PAC. (3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF? 说明理由. 解析: (1)证明: 因为PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PC⊥DC. 又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以DC⊥平面PAC. (2)证明: 因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC. 又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC. (3)取PB中点F.连接CE,EF,CF. 因为E为AB中点,所以PA∥EF. 又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF. 因此,当F为PB中点时, PA∥平面CEF.
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