Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】.doc
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Hölder不等式的几种不同形式及其
证明和应用
SeveralHölderinequalitiesandtheir
proofsandapplications
专业:
数学与应用数学
作者:
曾运梅
指导老师:
张映辉
湖南理工学院数学学院
二○一一年五月岳阳
湖南理工学院本科毕业论文
摘要
在初步掌握了Hölder不等式的基础上,我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明.通过证明,进一步掌握好Hölder不等式,并为其在各个领域的应用打下好的基础.
关键词:
Hölder不等式;Young不等式;Hölder不等式的几种形式;证明方法;推广及应用
Abstract
Aftermasteringseveralinequalities,wefurthergivetheirproofs.Bythis,wefurthermastertheHölderinequalityanditsapplications.
Keywords:
Hölderinequality;Younginequality;severalHölderinequalities;themethodofproof;extensionandapplication
II
目录
摘要 I
ABSTRACT II
0引言 1
1预备知识 1
2Hölder不等式的几种不同形式及其证法 5
2.1Hölder不等式的离散形式及其证法 5
2.2Hölder不等式的积分形式及其证法 7
2.3Hölder不等式的概率形式及其证法 9
3Hölder不等式的推广及应用 10
3.1Hölder不等式的推广.................................................10
3.2Hölder不等式的应用.................................................11
参考文献 14
0引言
Hölder不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥
了重要作用,使用的技巧灵活多样,得到的结果极为深刻.然而在数学知识体系中Hölder不等式的证明出现较晚,限制了它的早期传播和使用.
于是,首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明,根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder不等式的几种不同形式的证明;其次,Hölder不等式又经常以另外两种形式出现.一种是离散量的形式,另一种是连续量的形式.本文中通过借助三个引理,在给定条件下,先后证明了离散形式的Hölder不等式及积分形式的Hölder不等式;再次,由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分,这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用,特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出.因此,我也给出了Hölder不等式的概率形式的证明.
Hölder不等式的不同形式的证明及其推广,可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍,有利于传播和使用,并能揭示相关结果的本质,再充分发掘利用此结果,能使许多问题得到新的简单而又直接的解决,体现数学的威力,训练使用这些知识的技巧和能力,能为以后的发展奠定基础.
总之,著名的Hölder不等式在分析学中起着非常重要的作用,它的证法与推广能解决很多实际问题.在已有结论的基础上对Hölder不等式进行证明,推广及应用做了一些初探,探求多种简洁的证明方法、推广形式,通过对其不同形式的证明,探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧,并通过对其在不同程度的推广,加强了对Hölder不等式的应用.
1预备知识
为了方便证明,本文先给出一些必要的引理.
1.1(引理1)
设不全相等且,
则即
1.2(引理2)
1.3(引理3)
设那么对于有(时,等号成立).
证明:
考察函数
我们发现
又由于
当时,
函数在上是减函数.
所以,
因此,当时不等式成立.
当时,
函数在上是增函数.
所以,
因此对一切不等式成立.
由此引理得证.
1.4(引理4)(基础关系式)
设则
(1)
证明:
若中有一个0,则
(1)式显然成立.
设均不为零,将
(1)式两边同时处以,得
令则上式变为
(2)
所以,我们只需证明
(2)式成立就可以了.
令,则
令得
对再求导,得
以代入的表达式中,得
则是的极大值点.
故是函数在上的最大值.
所以,当时成立,从而
(1)式成立.证毕.
设由引理4的不等式可以得到
这个不等式对任何都成立,同时这个不等式是引理1的二元形式.
1.5(引理5)(Young不等式)
设且则以下不等式成立:
当且仅当等号成立.
证法一:
当时,以上不等式显然成立.
当时,令则
其次,对于
上式两端同时乘以有
由可得所以证毕.
证法二:
考察函数显然是凸函数.
因此,
1、当时,
上式不等号是由于凸函数的性质.
2、当时,显然有
由上述1和2,引理5得证.
1.6(引理6)
若在上连续,将等分(分点包括两端点),
有记等分的每个小区间长度为
而则有:
证明:
由得
又由在上连续,在上存在定积分,
而是在上的“积分和”的一种特殊情况.
故有证毕.
1.7(引理7)
设是中给定的可测集,是定义在上的可测函数.
若可积,称是幂可积的函数构成一个类,
记成或简称为,称为空间,即
对于空间的元,称为的范数.
2.Hölder不等式的多种形式及证明方法
2.1Hölder不等式的离散形式及其证明
离散形式:
设以及则
等号成立当且仅当与成比例.
证法一:
(应用引理5)
因此成立.
当且仅当时等号成立.
证法二:
在引理4中,取
则式子变为
将上式两边对求和,便得
令
代入上式,即有
即
所以
证法三:
在引理5中我们取
引理5式变为
将上面两边对求和便得
所以
2.2Hölder不等式的积分形式及其证明
积分形式:
设在上可积,其中且,则有
证法一:
令
则利用引理5得
两边关于在上积分有
从而有
得证.
证法二:
设为上的非负可积函数,
则当或时,上式显然成立.
令
则由Hölder不等式的离散形式可知
(1)
在
(1)两端同时乘以,有
(2)
(2)式右端
于是,
(2)式就转化为
而故将代入上式,得
(3)
即
(4)
对(4)式两端取极限,
当时,并由引理6得
化简上式,即得
证毕.
2.3Hölder不等式的概率形式及证明
概率形式:
设为一个正随机变量,为任意正实数且存在.
则有
证明:
令
则由且在上有最小值
因此有
取期望得
而
所以
即
3Hölder不等式的推广及应用
3.1Hölder不等式的推广
定理设满足且则对任何可测函数
有
证明:
当时显然成立.(即Hölder不等式的积分形式)
假设当时成立,即
(1)
这里满足
下面验证当时结论是否成立.
即验证当时是否成立.
令,
则且
由Hölder不等式得
,
(2)
由假设得到
.
所以
代入
(2)式即得结论,命题得证.
注:
此结论形式上与Hölder不等式积分形式有细微差别,但由于
所以上述命题的结论也可以改成:
从定理可以看出,当时,不等式就是积分形式的Hölder不等式.
因此,不等式
(1)是积分形式的Hölder不等式的推广.
3.2Hölder不等式的应用
1)卷积形式的Young不等式:
设,则
;
2)广义形式的Young不等式:
则有且有
证明:
当时,,就是通常的Young不等式.
当时,,此时成立是显然的.
下面只考虑的情形,由得
,
,
,
利用Hölder不等式得
.
对上式两端取次方,在上积分后,取次方,即得结果.
3)积分形式的闵可夫斯基不等式:
如果,对于,有,并且.
证明:
当时,由绝对值的三角不等式关系,显然成立.
当时,我们应用Hölder不等式积分形式的技巧来证明.
当时,
,
因此,由(2.2)Hölder不等式的积分形式我们有
即
,
即.证毕.
注:
当时,上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数,使得;
这里,应用积分形式的Hölder不等式证明了上述形式的不等式.
致谢本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的,在此对张老师表示衷心的感谢!
参考文献
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安徽教育出版社,1994.
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CambridgeUnivPress,1952.
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[4]WangSonsgui,YangHu.Kantorovich—tpyeinequalitiesandthemeasuresofinefficiencyoftheGLSE[J].ActaMathematicaeApplicataeSinica.1989,5:
372-381.
[5]翟连林.著名不等式[M].北京:
中国物资出版社,1994.
[6]
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