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线性代数B复习题docx
线性代数B复习资料(2012)
(一)单项选择题
1.
设A,B为n阶方阵,且(AB)2=E,则下列各式中可能不成立的是(A)
2.
若由AB=AC必能推出B二C(A,B,C均为n阶矩阵)则A必须满足(C)
(A)B为单位矩阵(B)B为零方阵(C)B~x=A(D)不一定
4.设A为nXn阶矩阵,如果r(A) (A)A的任意一个行(列)向量都是其余行(列)向量的线性组合 (B)A的各行向量中至少有一个为零向量 (C)A的行(列)向量组中必有一个行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D)A的行(列)向量组中必有两个行(列)向量对应元素成比例 5.设向量组a? .…,住线性无关的充分必要条件是(D) (A) ^1, …,ocs均不为零向量 (B) …,%任意两个向量的对应分量不成比例 (C) 。 2, …,中有一个部分向量组线性无关 (D) a乙 …,匕中任意一个向量都不能由其余S・1个向量线性表示 6.向量组的秩就是向量组的(C) (A)极大无关组中的向量 (B)线性无关组中的向量 (C)极大无关组中的向量的个数 (D)线性无关组中的向量的个数 7.下列说法不正确的是(A) (A)如果r个向量©a2…,色线性无关,则加入k个向量0|02.…,0人后, 仍然线性无关 (B)如果r个向量0^2.…,色•线性无关,则在每个向量中增加k个分量后所得向量 组仍然线性无关 (C)如果「个向量0a2…,.线性相关,则加入k个向量后,仍然线性相关 (D)如果I•个向塑0。 2,…,线性相关,则在每个向量小去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关 8.设n阶方阵A的秩Kn,则在A的n个行向量中(A) (A)必有I•个行向量线性无关 (B)任意I•个行向量均可构成极大无关组 (C)任意r个行向量均线性无关 (D)任一行向量均可由其他I•个行向量线性表示 9.设方阵A的行列式|A|=0,则人中(C) (A)必有一行(列)元素为零 (B)必有两行(列)成比例 (C)必有一行向量是其余行(列)向量的线性组合 (D)任一行向量是其余行(列)向量的线性组合 10.设A是mXn矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A) (A)A的列向量线性无关 (B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关 (D)A的行向量线性相关 11.n元线性方程组AX=b,r(A,b) (A)无穷多组解(B)有唯一解(C)无解(D)不确定 12.设A,B均为n阶非零矩阵,且AB=O,则A和B的秩(D) (A)必有一个等于零(B)—个等于n,—,个小于n (C)都等于n(D)都小于n 13.设向量组少,a? ”3线性无关,则下列向量组中,线性相关的是(A) (B)Q]+6, (C)©+2a2,2a2+3巾,3巾+ax (D)ax+a2+a3,2a}-a2+226r3,+5cr2- 14.向量组ax,a^^as线性无关的充分条件是(C) (A)Q|,Q2,…,&均不为零向量 (B)。 ],。 ? %中任意两个向量的分量均不成比例 (0^,02,…,乞小任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)e,a2,…,屮有一部分向量线性无关 15.当向量组。 [,巾,…,。 加线性相关时,使等式4-k2(x2Hk評m=0成立的常数 心,他,…,紇为(C) (A)任意一组常数 (B)任意一组不全为零的常数 (C)某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16.下列命题正确的是(D) (A)若向量组线性相关,则其任意一部分向量也线性相关 (B)线性相关的向量组屮必有零向量 (C)向量组中部分向量线性无关,则整个向量组必线性无关 (D)向量组中部分向量线性相关,则整个向量组必线性相关 17.设向量组的秩为r,则(D) (A)必定r (B)向量组中任意小于「个向量部分组无关 (C)向量组中任意1•个向量线性无关 (D)向量组任意「+1个向量线性相关 18.若…,0*为n维向量组,且秩贝9(B) (A)任意r个向量线性无关 (B)任意]*+1个向量线性相关 (C)该向量组存在唯一极大无关组 (D)该向量组在s>「时,由若干个极大无关组 19.设厂(4口)=77—1,0,02是AX二°的两个不同的解,则AX二°的通解是(C). (A)ka、(B)ka2(C)k{a}一a2)(D)k(a}+ 20.设A为n阶方阵,且r(A)=r (A)必有r个行向量线性无关 (B)任意i•个行向量线性无关 (C)任意「个行向量构成极大无关组 (D)任意一个行向量都能被其他「个行向量线性表示 21.A是mXn矩阵,r(A)=r则A中必(B) (A)没有等于零的「1阶子式至少有一个r阶子式不为零 (B)有不等于零的r阶子式所有r+l阶子式全为零 (C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+l阶子式 (D)任何「阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22.能表成向量0=(0,0,0,1),色=(°,1,1,1)^3=(1,1,1,1)的线性组合 的向量是(B) (A)(0,0,1,1)(B)(2,1,1,0)(C)(2,3,1,0-1)(D)(0,0,0,0,0) 23.已知Q|二(1,2,3),oc2=(3,—1,2),=(2,3,x)则x=(D)时 (A)1 (B)2 (C)4(D)5 a^a2,a3线性相关。 24.向量组0=(1, -1,2, 4)s =(0,3, 1,2),巾=(30,7,14) 也=(1,-1,2, 0)的秩为 (C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 25•矩阵人在(D)吋可能改变其秩 (A)转置(B)初等变换 (C)乘一个可逆方阵(D)乘一个不可逆方阵 26.设A为n阶方阵,且|A|=0,则(C) (A)A中任一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (B)A必有两行(列)对应元素乘比例 (C)A中必存在一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D)A屮至少有一行(列)向量为零向量 27.向量组0妙2,…,%线性相关的充要条件是(C) (A)QiS,…,a$中有一零向量 (B)0,。 2,…,务中任意两个向量的分量成比例 (C)…,中有一向量是其余向量的线性组合 (D)e“2,・・・,a,中任意一个向量均是其余向量的线性组合 28.若向量0可由向量组0|妙2,…,%线性表出侧(C) (A)存在一组不全为零的数匕心,…,〈,使等式卩=如七k2a2+…+ksas成立 (B)存在一组全为零的数&,使等式0=如+k2a2+…+ksas成立 (C)向量0,0,。 2,*线性相关 (D)对0的线性表示不唯一 29.设A是mXn矩阵,AX=O是非齐次线性方程组AX=b所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是(D) (A)若AX=O仅有零解,则AX=b有唯一解 (B)若AX=O有非零解,则AX二b有无穷多个解 (C)若AX二b有无穷多个解,则AX=O仅有零解 (D) 30. (0] =1都是线性方程组AX=0的解, 只要系数矩阵A为(A) 若AX=b有无穷多个解,则AX=O有非零解 "20一1) (一102) ‘01-P (B) (C) c、c(D) 4-2-2 011丿 012丿 011, 31.设矩阵A”呦的秩为r(A)=m (A)A的任意m个列向量必线性无关 (B)A的任意个m阶子式不等于零 (C)A通过初等变换,必可化为(Im,0)的形式 (D)若矩阵B满足B4=0,则B=0・ 32.非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则(A) (A)r=m时,方程组AX=b有解 (B)r=ii吋,方程组AX二b有唯一解 (C)m=n时,方程组AX=b有唯一解 (D)r 33.设一个n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=n-3,且N,%,%为此方程组的三个线 性无关的解,贝U(B)不是此方程组的基础解系 (A)%%,% (B)〃|-〃2,〃2- +〃2,〃1+〃2+〃3 (D)〃厂〃2,〃】—〃3,〃3+〃2 34.已知是齐次线性方程组AX二0的基础解系,那么基础解系还可以是(B) (A)+k2a2 (B)+。 2,。 2+。 3,°3+0 (C)—a、—OLy, (D)G],G]-a2+03,&3-a2. 35.向量组 2,…,Q,线性无关,且可由向量组肉,02,…,0$线性表示,则(D) …,色)必( )口,02,・・・,几) (A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D)小于等于 36.设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k(l,2,n )T,那么矩阵A的秩为(B) (A)r(A)=l (B)r(A)=n-l (C)r(A)=n (D)以上都不是 11、 37.设矩阵A二 1 21 的秩为2,则九二( D) 2 3Q+3 / A.2 B」 C.0 D.-1 38.一个向量组中的极大线性无关组(C) (A)个数唯一 (B)个数不唯一 (C)所含向量个数唯一 (D)所含向量个数不唯一 39.设n维向量组0 ©2,••,/(I)中每一个向量都可由向量组0|,02,・「0$(11)线性表出, 且有r>s,贝%D) (A)(II)线性无关(B)(II)线性相关(C)(I)线性无关(D)(I)线性相关 40.设0,色,…,勺是n个m维向量,且n>m,则此向量组a^a2,-.an必定(A) (A)线性相关(B)线性无关(C)含有零向量(D)有两个向量相等 41.矩阵A适合条件(D)时,它的秩为r (A)A中任何r+1列线性相关(B)A中任何r列线性相关 (C)A中有「列线性无 关 (D)A中线性无关的列向量最多有「个 <1 0 0、 42.己知矩阵A二 0 2 0 ,则R(A)二(C) <0 4 0丿 (A)0 (B )1 (C)2(D)3 43.若mXn阶矩阵A中的n个列线性无关则A的秩(C) (A)大于m(B)大于n(C)等于n(D)等于m 44.若矩阵A中有一个i•阶子式DH0,且A中有一个含D的r+1阶子式等于零,则一定有 R(A)(A) (A)(B) 45.要断言矩阵A的秩为r,只须条件(D)满足即可 (A)A中有r阶子式不等于零 (B)A中任何r+1阶子式等于零 (C)A中不等于零的子式的阶数小于等于r (D)A中不等于零的子式的最高阶数等于r 46.设mXn阶矩阵A,B的秩分别为r,,r2,则分块矩阵(A,B)的秩适合关系式(A) (A)厂5斤+q(B)r>\(C)r=r}+(D)r=r}r2 47.R(A)=n是n元线性方程组AX二b有唯一解(C) (A)充分必要条件(B)充分条件(C)必要条件(D)无关的条件 (1一1) 48.矩阵A二的特征值为0,2,则3A的特征值为(B) 1一11丿 (A) 2,2; (1 -1、 (B)0,6; (C)0,0; (D)2,6; 49. A= 则一 ■2A+A2的特征值为(B ) 1-1 (A) 2,2; (B)-2,-2; (C)0,0; (D)-4,-4; 50.B=P"AP,a°是A,B的一个特征值,Q是A的关于入的特征向量,则B的关于入的特征向量是(C) (A)a(B)Pa(C)P~xa(D)P'a 51.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是(B) (A)矩阵A有n个特征值 (B)矩阵A有n个线性无关的特征向量 (C)矩阵A的行列式|4卜0 (D) 矩阵A的特征多项式没有重根 53. 已知一2是A二 2 <-2 -2 -2 -2 b> 的特征值,其中bHO的任意常数,则x二(D) (A)2 (B)4 "7 (C)-2 (D)-4 54.已知矩阵A二 7 -4 -V -1有特征值人=入=3,几3=12,则x=(D) A满足关系式A2-2A+E=O,则A的待征值是(C) (A)2 (B) 55-设A为三阶矩阵, (A)6 (C)-2 (0)4 已知A+E=0,A+2E (B)-4 (C)-2 0,|A+3E|=0,贝ij|A+4E|=(A) (D)4 56.A为】1阶矩阵,HA2=1,则(C) (A)A的行列式为1(B)A的特征值都是1 (C)A的秩为n(D)A一定是对称矩阵 57.设A为三阶矩阵,有特征值为1,・1,2,则下列矩阵屮可逆矩阵是(D) (A)E-A(B)E+A(C)2E-A(D)2E+A 58.已知A为n阶可逆阵,则与A必有相同特征值的矩阵是(C) (A)A~l(B)A2(C)Ar(D)" 59.已知A为三阶矩阵,r(A)=l,则Z=0(B) (A)必是A的二重特征根(B)至少是A的二重特征根 3.A= 140,则(A—2/尸=( -1 0、 0) 2 / (C)至多是A的二重特征根(D)—重,二重,三重特征根都可能 (二)计算题与填空题 1.A3-5A+6/=0,则川=( ) (--(A2-5/)) 2.设A是3x4矩阵,R(A)=2,B= <02-1、 112 -1-1一1丿 \/ ,则R(BA}= _210' _20 4.已知矩阵力= 102 与3= 0y0 相似,则兀 01x 00-1 答案: x=2,y=3 5.0=(1-t3)t,a2=(0t-5)r,6r3=(-10/)',当t0,2时,向量组 0|,^2,。 3线性无关. (-8) 6.设0=(1k5)r,6T]=(1-32)r,a2=(2-1l)r,=()时0可被向量 组a},a2线性表出。 '5 7.设A=-1 1 60、 00,则A的特征值为 2i丿 q 0 0、 <1 1 -P <1 0 0、 0 1 1 3 1 2 0 1 1 0 \ 0 1丿 / 1 1 / (0 \ 0 1 / 9. 答案: “110、 349 012 \/ 10.设0=(12一2)厂,0=(1 l)\a2=(11-l)r,a3=(1-11)7*•则0是否 为向量组少,。 2,。 3的线性组合? (是) 11.Q=(O123)101=(2231)丁,02二(一1212)r, 03=(21-1-2)r.则&是否为久02,必的线性组合? (不是) 12.确定a,b为何值时,使下列非齐次线性方程组有解,并求其所有解. x}-3x2-5x3+2x4=-1+兀2一必3+4兀-1 xx+7兀2+1°兀3+7兀4=b <1、 ‘7、 -3 1 +q 2 +c2 0 0 「2丿 其中为任意非零常数; 2丄 2 0 O 答: 当a=-Vb=4时,解为 当a^-\.b=4时,解为 <1、 (八 2 1 1 —— +k 2 0 0 -2 <0; \/ 其中R为任意常数; 方程组不存在唯一解. 求矩阵X. (\ 答: X.- 14.求下列矩阵的特征值与特征向量. 0 -2、 (3 -1-2、 (1) 0 1 0 (2) 2 0-2 1-20 1) / <2 -1-b 答案: (1)琉=1,心=_1,入=3, 对应于人=1的全部特征向量是吐0,1,0)7',/H0;对应于入二-1的全部特征向量是k2(1,0,if,忍工0;对应于7^=3的全部特征向量是&(-l,0,ir,k3HO. (2)人=0,入=入=1, 对应于人=0的全部特征向量是/1,/为非零常数; J丿 对应于^=^=1的全部特征向量为 心,他是不同时为零的常数; 15.设A2-2A-3E=0,求n(n>2)阶方阵A的特征值・。 答案: &=一1,入=3 .三阶矩阵A的特征值为石=1,&=2,石=3,则制=();屮,”,川+人2的特征值 为()• (6;1,—,—;6,3,2;2,4—,9—.) 2323 (abc=1) 17・向量组少,02,。 3线性无关,abc满足什么关系时,向量组 aa}-a2,ba2-a^cay一0必线性相关. 18.设矩阵A=1 0)(]、 1有一个特征向量为-2,求£及A的三个特征值. 答案: k=3,A的三个特征值为1,3,4. 19.已知向量组 0=(2,1,2,1^02一5,7人购=(12-3,8)丁,禺=(1,一1,°,6)丁,°5=(3,0,4,7丁的秩为3,求d及该向量组的一个极大无关组,并用该极大无关组表示其余向量。 答案.口=2,。 [,。 2,。 4为一个极大无关组,冬=匕+冬+04[, 冬=a】+0a.2+a[f 20.设B2=B,A=Z+B.M明: A可逆. 21.设向量组购=(1人一1),。 2=(R+1,2,1),巾=(1,一1北), (1)k为何值时,线性相关? 线性无关? (2)£为何值时,0],。 2,^3线性相关? 线性无关? (3)当Q|,线性相关时,将巾表示为Q],。 2的线性组合. 答案: (1)k=-2时线性相关,k^-2时线性无关; (2)k=-1-2或2时线性相关;k—1且k丰一2且£工2时线性无关; (3)当k=-\时,。 3=0+°・。 2;当k=2时, 53 二——ax+—孙 4|4一 (2-1 3、 <1> ~2~ (3、 (心 0 +k2 1 +忍2 -1 丿 ) 2,使得方程组AX=b总有解的方是( -1丿 答案: A=1,-2
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