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全等三角形
公开课教案
学校:
枞阳县花园初级中学
教师:
周树桃
学科:
数学
班级:
804班
课题:
《等腰三角形》
时间:
2013年12月5号
《等腰三角形》教学设计
一.教材分析
本节是在探索了两个三角形全等的条件及轴对称性质的基础上进行的,进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形,主要探索等腰三角形“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”的性质。
本节内容既是前面知识的深化和应用,又是今后学习等边三角形的预备知识,还是证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的重要依据,具有承上启下的重要作用。
二.教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索、猜测过程,能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.
(二)思维训练要求
1.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神.
3.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
(三)情感与价值观要求
1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心
三.教学重点
等腰三角形性质的发现、证明及应用
四.教学难点
等腰三角形三线合一的发现、证明及应用。
五.教具准备
多媒体演示、直尺、黑板擦、粉笔、三角尺
六.教学过程
Ⅰ、复习引入
1.让学生在练习本上画一个等腰三角形,标出字母,问什么样的三角形是等腰三角形?
定义:
两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
定义的理解:
由“两边相等”得到“等腰三角形”
在ABC中∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
由等腰三角形”得到“两边相等”
如图
(2)∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC.
等腰三角形中,相等的两条边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
2.日常生活中,哪些物体具有等腰三角形的形象?
Ⅱ、新课
1.如图
(2),请指出等腰△ABC的腰、顶角、底角。
相等的两边AB、AC都叫做腰,另外一边BC叫做底边,两腰的夹角∠BAC,叫做顶角,腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。
2.合作交流,引出新知
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片,每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样,画出它的顶角平分线AD所在直线把纸片对折,如图
(2)所示,你能发现什么现象吗?
请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流,可能得到的结论:
由对折发现:
对折所得的两个三角形关于顶角的角平分线重合
(1)等腰三角形是轴对称图形;
(2)∠B=∠C →两个底角相等;
(3)BD=CD,AD为底边上的中线;
(4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线;
⑸∠BAD=∠CDA →AD为顶角∠BAC的平分线。
由上面的实验讨论,我们发现等腰三角形除了两腰相等这个性质外,还有如下性质:
性质1:
等腰三角形的两个底角相等,简记“等边对等角”。
提出问题:
这个性质的条件和结论分别是什么?
如何用数学符号表达条件和结论?
口述证明过程?
性质数学语言表达:
在△ABC中∵AC=AB∴∠ACB=∠ABC
已知,在△ABC中AC=AB(等腰三角形的定义等价转化),
求证:
∠ACB=∠ABC。
教师引导学生证明:
要证明∠ACB=∠ABC应用,可以转化成证明两个三角形全等,证明两个三角形全等的方法有AAS,ASA,SSS,SAS,HL,到底用哪一个呢?
本性质证明只给了一个三角形,所以要用到辅助线使这个等腰三角形转化成两个三角形同时两个三角形要满足全等,该如何添加辅助线这是第一个问题.
通过对等腰三角形的折叠,我们发现折叠所得两个三角形重合,于是我们只需要作AD⊥BC(HL)或者作BC的中线AD(SSS)再或者作∠BAC的中线AD(SAS)。
下面我们用(HL)定理给予证明:
如图,在△ABC中AB=AC,过A点作AD⊥BC于D。
∵AD⊥BC
∴△ABD和△ACB都是直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ACB中
AB=AC(已知)
AD=DA(公共边)
∴Rt△ABD≌Rt△ACB(HL)
∴∠ACB=∠ABC(全等三角形对应角相等)
Ⅲ、拓展探究,发展提高
提出问题:
利用等腰三角形的轴对称性,能发现等腰三角形中许多相等的线段或角,除了书中提到的,你还能发现等腰三角形中哪些线段相等?
引导过程:
由定理1的证明可得
BD=DC,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°
因此我们能得到以下性质定理:
定理2:
等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。
由此可知等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高“三线合一”。
由此知,在△ABC中,AB=AC时,
(1)∵AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,BD=CD;
(2)∵AD是中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
(3)∵AD是角平分线,
∴ AD⊥BC,BD=CD
“三线合一”性质在实际应用中,只要推出其中一个结论成立,其它两个结论一下成立,所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
根据定理1可得:
推论 等边三角形三个内角相等,每一个内角都等于60°
等边△ABC中,∵AB=BC∴∠A=∠B∵AB=AC∴∠B=∠C
∴∠A=∠B=∠C∴∠A=∠B=∠C=60°
Ⅳ﹑当堂测试
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两为_______.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______.
结论:
在等腰三角形中,
①顶角+2×底角=180°②顶角=180°-2×底角
③底角=(180°-顶角)÷2
④0°<顶角<180°
⑤0°<底角<90°
Ⅴ、例题
1.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.求:
△ABC各角的度数.
①、图中有哪几个等腰三角形?
△ABC△ABD△BDC
②、有哪些相等的角?
∠ABC=∠ACB=∠BDC∠A=∠ABD
③、这两组相等的角之间还有什么关系?
∠BDC=2∠A=X°
∠ABC+∠ACB+∠A=180°
X+2X+2X=180.(三角形内角和等于180°)
解方程得X=36°.
例2:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
点D,E是底边上两点,且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数。
解:
∵AB=AC,(已知)
∴∠B=∠C。
(等边对等角)
∴∠B=∠C=1/2×(180°-120°)=30°.
又∵BD=AD.(已知)
∴BAD=B=30°。
(等边对等角)
同理,∠CAE=C=30°,
∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120°-30°-30°=60°
Ⅵ、小结:
谈谈在这节课里,你有什么收获?
1、等腰三角形的性质:
等边对等角;
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(三线合一);
3、“三线合一”性质在实际应用中,只要推出其中一个结论成立,其它两个结论一下成立,所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
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