第3章 12 导数在实际问题中的应用 活页作业12 专项训练同步练习北师大版选修22.docx
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第3章 12 导数在实际问题中的应用 活页作业12 专项训练同步练习北师大版选修22.docx
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第3章12导数在实际问题中的应用活页作业12专项训练同步练习北师大版选修22
活页作业(十二) 函数的极值
1.函数f(x)的定义域为R,导函数y=f′(x)的图像如下图所示,则函数f(x)( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
解析:
设f′(x)的图像与x轴的交点坐标从左往右依次为(x1,0),(x2,0),(x3,0),(x4,0),则
x
(-∞,x1)
(x1,x2)
(x2,x3)
(x3,x4)
(x4,+∞)
f′(x)
+
-
+
-
+
f(x)
故f(x)有两个极大值点,两个极小值点.
答案:
C
2.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则有( )
A.a=-2,b=4 B.a=-3,b=-24
C.a=1,b=3D.a=2,b=-4
解析:
f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有-2和4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-
=-2+4,
=-2×4,解得a=-3,b=-24.
答案:
B
3.已知函数y=x-ln(1+x2),则y的极值情况是( )
A.有极小值B.有极大值
C.既有极大值又有极小值D.无极值
解析:
∵y=x-ln(1+x2),
∴y′=1-
=
≥0.故函数无极值.
答案:
D
4.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )
A.a>-3B.a<-3
C.a>-
D.a<-
解析:
令y′=aeax+3=0,得eax=-
.
设x0为大于0的极值点,∴eax0=-
.
∴a<0,ax0<0.
∴0 <1.∴a<-3. 答案: B 5.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间为( ) A.(2,3)B.(3,+∞) C.(2,+∞)D.(-∞,3) 解析: ∵y=2x3+ax2+36x-24, ∴y′=6x2+2ax+36. ∵函数在x=2处有极值, ∴当x=2时,y′=0, ∴6×22+2a×2+36=0. ∴a=-15.∴y=2x3-15x2+36x-24, y′=6x2-30x+36. 令y′=0,得6x2-30x+36=0, ∴x1=2,x2=3. ∴当y′>0时,x<2或x>3. ∴函数的递增区间为(-∞,2)和(3,+∞). 答案: B 6.函数f(x)=x3-3x2,给出下列说法: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的增区间是(-∞,0]和[2,+∞),减区间是[0,2]; ④f(0)=0是极大值,f (2)=-4是极小值. 其中正确的序号是________. 解析: 由已知得f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 令f′(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x),f(x)变化状态如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 由上表可以清晰地看出,f(x)在(-∞,0]和[2,+∞)上是增加的,在[0,2]上是减少的,且f(x)的极值情况是: f(x)极大值=f(0)=0,f(x)极小值=f (2)=-4,可知③④是正确的. 答案: ③④ 7.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于________. 解析: y′=-3x2+12x.由y′=0,得x=0或x=4.容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13.解得m=-19. 答案: -19 8.若y=kx3-x2+kx-4在R上无极值,则实数k的取值范围是________. 解: 求导得y′=3kx2-2x+k. ∵函数在R上无极值,即y′≥0或y′≤0恒成立. ∴Δ≤0. 即(-2)2-4k·3k≤0,解得k≥ 或k≤- . 答案: ∪ 9.求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)= . 解: (1)函数f(x)=x3-3x2-9x+5的定义域为R,且f′(x)=3x2-6x-9.令f′(x)=0,则3x2-6x-9=0. 解得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 增加 极大值 减少 极小值 增加 ∴x=-1是函数的极大值点,极大值为f(-1)=10;x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-22. (2)函数f(x)= 的定义域为(0,+∞), 且f′(x)= ,令f′(x)=0,得x=e. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,+∞) f′(x) + 0 - f(x) 增加 极大值 减少 ∴x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)= ,没有极小值点. 10.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3. (1)求a,b的值; (2)求函数y=f(x)的极小值. 解: (1)∵当x=1时,函数有极大值3, f′(x)=3ax2+2bx, ∴ ∴ 解得a=-6,b=9. (2)f′(x)=-18x2+18x=-18x(x-1). 当f′(x)=0时,x=0或x=1; 当f′(x)>0时,0 当f′(x)<0时,x<0或x>1. ∴函数f(x)=-6x3+9x2的极小值为f(0)=0. 11.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=xf′(x)的图像的一部分如下图所示,则正确的是( ) A.f(x)的极大值为f( ),极小值为f(- ) B.f(x)的极大值为f(- ),极小值为f( ) C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3) D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3) 解析: 由题图可知, 当x∈(-∞,-3)时,xf′(x)>0,即f′(x)<0; 当x∈(-3,0)时,xf′(x)<0,即f′(x)>0; 当x∈(0,3)时,xf′(x)>0,即f′(x)>0; 当x∈(3,+∞)时,xf′(x)<0,即f′(x)<0. 故函数f(x)在x=-3处取得极小值,在x=3处取得极大值. 答案: D 12.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为________. 解析: ∵y′=3x2+6ax+3b, ∴ 解得 ∴y′=3x2-6x.令3x2-6x=0,得x=0或x=2. ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f (2)=4. 答案: 4 13.函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是________. 解析: 令f′(x)=3x2-3a=0,得x=± . 则f(x),f′(x)随x的变化情况如下表: x (-∞,- ) - (- , ) ( ,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 ∴ 解得 ∴f(x)的递减区间是(-1,1). 答案: (-1,1) 14.如下图是y=f(x)导数的图像,对于下列四种说法: ①f(x)在[-2,-1]上是增加的; ②x=-1是f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增加的,在[2,4]上是减少的; ④3是f(x)的极小值点. 其中正确的是________. 解析: 根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断. 答案: ②③ 15.设函数f(x)=x3-3x+1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围. 解: (1)∵f′(x)=3x2-3, 令f′(x)=0,则3x2-3=0. 解得x1=-1,x2=1. ∴当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
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