初等数论王进明答案.docx
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初等数论王进明答案
初等数论王进明答案
【篇一:
王进明__初等数论_习题解答】
s=txt>1.已知两整数相除,得商12,余数26,又知被除数、除数、商及余数之和为454.求被除数.
解:
a?
12b?
26,a?
b?
12?
26?
454,12b?
26?
b?
12?
26?
454,
(12?
1)b?
454?
12?
26?
26?
390,b=30,被除数a=12b+26=360+26=386.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍”问题。
2.证明:
(1)当n∈z且n?
9q?
r(0?
r?
9)时,r只可能是0,1,8;
证:
把n按被9除的余数分类,即:
若n=3k,k∈z,则n?
27k,r=0;
若n=3k+1,k∈z,则n?
(3k)?
3(3k)?
3(3k)?
1?
9k(3k?
3k?
1)?
1,r=1;
若n=3k-1,k∈z,则n?
(3k)?
3(3k)?
3(3k)?
1?
9(3k?
3k?
k?
1)?
8,r=8.332323322333
n3n2n?
?
的值是整数。
(2)当n∈z时,326
n3n2n2n3?
3n2?
n32?
?
=证因为,只需证明分子2n?
3n?
n是6的倍数。
3266
2n3?
3n2?
n?
n(2n2?
3n?
1)?
(n?
1)n(2n?
1)
?
(n?
1)n(n?
2?
n?
1)=n(n?
1)(n?
2)?
(n?
1)n(n?
1).
由k!
必整除k个连续整数知:
6|n(n?
1)(n?
2),6|(n?
1)n(n?
1).
或证:
2!
|(n?
1)n,(n?
1)n必为偶数.故只需证3|(n?
1)n(2n?
1).
若3|n,显然3|(n?
1)n(2n?
1);若n为3k+1,k∈z,则n-1是3的倍数,得知
(n?
1)n(2n?
1)为3的倍数;若n为3k-1,k∈z,则2n-1=2(3k-1)-1=6k-3,2n-1是3的倍数.
综上所述,(n?
1)n(2n?
1)必是6的倍数,故命题得证。
(3)若n为非负整数,则133|(11n+2+122n+1).
(4)当m,n,l∈n+时,(m?
n?
l)!
的值总是整数m!
n!
l!
(n?
l?
1)(n?
l)(n?
l?
1)(l?
1)?
l!
证明:
(m?
n?
l)!
=(m?
n?
l)(m?
n?
l?
1)
由k!
必整除k个连续整数知:
m!
|(m?
n?
l)(m?
n?
l?
1)
n!
|(n?
l)(n?
l?
1)(n?
l?
1),(l?
1),从而由和的整除性即证得命题。
(5)当a,b∈z且a≠-b,n是双数时,?
a?
b?
|(an?
bn);
(6)当a,b∈z且a≠-b,n是单数时,?
a?
b?
|(an?
bn).
解:
利用例5结论:
若a≠b,则?
a?
b?
|(an?
bn).令b=-b*,即得。
或解:
a=(a+b)-b,(5)当n为双数时,由二项式展开
nan?
bn?
?
a?
b?
b?
b?
?
?
?
?
n
?
?
a?
b?
?
n?
a?
b?
nn?
1b?
?
?
?
1?
n?
1n?
a?
b?
bn?
1,证得。
(6)当n为单数时类似可得。
3.已知a1,a2,a3,a4,a5,b∈z,且?
a
i?
152i?
b2,说明这六个数不能都是奇数.
解:
若这六个数都是奇数,设ai?
2ki?
1,ki?
z,i?
1,2,3,4,5,则
?
a?
?
(2k?
1)2
ii
i?
1i?
1552?
4?
ki(ki?
1)?
5,因为2|ki(ki?
1),所以8|4?
ki(ki?
1),i?
1i?
155
?
a
i?
152i?
8q?
5,q?
z,而b2?
(2k?
1)2?
4k(k?
1)?
1,b2?
8q*?
1,k,q*?
z,
即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。
4.能否在下式的各□内填入加号或减号,使下式成立;能的话给出一种填法,否则,说明理由。
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能,因为等式左边有单数个单数,它们的和差只能是奇数,而等式右边10为偶数。
或解:
无论各□内填入加号或减号,1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数,而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。
5.已知:
a,b,c均为奇数.证明ax?
bx?
c?
0无有理根。
证:
若有有理根,记为2ppp,p,q互质,代入方程有a()2?
b?
?
c?
0qqq即ap?
bpq?
cq?
0,这是不可能的,因为p,q互质,二者不可能同时为偶数。
若p为偶数,则ap?
bpq为偶数,但cq是奇数,它们的和不可能为0;
若q为偶数,则bpq?
cq为偶数,但ap是奇数,它们的和也不可能为0。
222222
6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个,换成其他两数之和加1,继续这样操作下去,最后得到三个数为35,47,83.问原来所写的三个数能否是2,4,6?
解:
不能.因为原来所写的三个数若是2,4,6,每次操作后剩下的三个数是两偶一奇.
7.将1-—99这99个自然数依次写成一排,得一多位数a=1234567891011…979899,求a除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?
8.四位数7x2y能同时被2,3,5整除,求这样的四位数.
解:
同时被2,5整除,个位为0,再考虑被3整除,有4个:
7020,7320,7620,7920.
9.从5,6,7,8,9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数,它能同时被3,5,7整除,那么这些四位数中最大的一个是多少?
被5整除,个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除,故选出的四个不同的数字是5,6,7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,
10.
11.1至1001各数按以下的格式排列成表,像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数,要使9个数的和等于
(1)2001,
(2)2529,(3)1989,能否办到?
如能办到,写出框里的最小数与最大数.如办不到,说明理由.
1
8
15
2229162331017244111825512192661320277142128
9959969979989991000
1001
解:
设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x.
(1)9不能整除2001,∴和等于2001办不到;
(2)9x=2529,x=281,是所在行第一个数,∴和等于2529办不到;(3)9x=1989,x=221,和等于1989能办到,框里的最大数为x+8=229,最小数为x-8=213.
12.证明:
7(或11或13)|anan?
1a3a2a1a0的特征是:
7(或11或13)整除|anan?
1a3?
a2aa|10
附)广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目
6.24|62742?
?
求?
?
.
9.是否存在自然数a和b,使a2-b2=2002成立?
11.证明:
当n∈z时,6|n(n+1)(2n+1).
12.已知:
f?
x?
?
ax2?
bx?
c,f(0),f(-1),f
(1),x均为整数.证明:
f?
x?
?
z.
解答:
3.偶数.因为a,b,c中,有三个奇数,所以a-1,c-3中至少有一个是偶数.
6.只需3|62742,且8|62742,即3|(?
?
?
),且8|,先考虑?
?
0,2,4,6,8,有5组解?
?
?
?
0,?
?
?
2,?
?
?
4,?
?
?
7,?
?
?
9,?
?
?
?
?
?
?
0;?
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?
4;?
?
?
8;?
?
?
2;?
?
?
6.
11.用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1),利用整除的基本性质(13).
12.由f(0),f(-1),f
(1),x均为整数可得c,a+b,a-b均为整数.进而知2a,2b为整数.
分类讨论(k∈z):
x=2k时,由2a,2b为整数f(x)显然为整数;
x=2k+1时,f(2k+1)=4ak(k+1)+2bk+a+b+c,可知f(x)仍然为整数。
习题1-2
1.判断下列各数中哪些是质数?
109,2003,17357
2.求证:
对任意n∈z+,必有
n个连续的自然数都是合数.
3.当n是什么整数时,n4+n2+1是质数?
4.求证:
当n∈z+时,4n3+6n2+4n+1是合数.
5.求a,使a,a+4,a+14都是质数.
6.已知两个质数p和q满足关系式3p+5q=31.求p/(3q+1)的值.
7.已知p3,且p和2p+1都是质数,问4p+1是质数还是合数?
8.由超级计算机运算得到的结果(2859433-1)是一个质数,试问:
(2859433+1)是质数还是合数?
请说明理由.
9.已知:
质数p、q使得表达式(2p+1)/q及(2q-3)/p都是自然数,求p、q的值.
10.试证:
形如4n-1的数中包含有无穷多个质数.
11.
(1)若n是合数,证明:
2n-1也是合数;
(2)有人认为下列各和数:
1+2+4,1+2+4+8,
1+2+4+8+16,…交替为质数与合数,你认为对吗?
12.已知:
质数p≥5,且是质数,证明:
4p+1必是合数.
习题1-2解答
11,109用质数试除到
7,?
45,2003用质数试除到37,可知两者是质数,
2.为作一般性证明,可如下构造n个连续自然数:
(n+1)!
+2,(n+1)!
+3,…,(n+1)!
+n+1显然它们每个都是合数.
4.利用4n3+6n2+4n+1=(2n+1)(2n2+2n+1),n∈z+,n≥1,2n+1和2n2+2n+1皆为大于1的数.
5.a=3.思路:
分类讨论(k∈z):
∵a=3k+1时,a+14是3的倍数,a=3k+2时,a+4是3
的倍数。
∴必有a=3k,即a为3的倍数。
而a是质数,只有a=3时,三个数全是质数。
6.条件为一个不定方程,可知1q≤5,穷举得q=2,p=7;q=5,p=2两组解。
故1或1/8。
7.合数.利用质数p3得p不是3的倍数,p=3k+1,3|2p+1,所以,p=3k+2,3|4p+1.或解:
4p,4p+1,4p+2是三个连续整数,必有一个被3整除,由题设,只有3|4p+1.
8.合数.2859433不可能是3的倍数,连续三个自然数中必有一个是3的倍数.即(2859433+1)。
另一种解法:
由习题1—1第1题
(2)的结论,(2+1)|(2859433+1).
9.设2p?
1?
h,2q?
3?
k,h、k必为奇数,2p?
1?
4p?
2?
4p?
2?
4p?
2,得k?
4,而kqpq2qkp?
3kp
不能为3,故只有k=1,这样2q-3=p,代入h?
4q?
5?
4,同时质数p、q大于3.所以,只
q
能有h=3,因而得q=5,p=7.
10.先证:
一切大于2的质数,不是形如4n+1就是形如4n-1的数;再证任意多个形如4n+1的数,最后用数学归纳法验证.
若形如4n-1的质数只有有限个:
p1,p2,?
pk。
令n=4p1p2?
pk-1,n为形如4n-1的数,由假设n必为合数,且必有一个形如4n-1的质因数p(为什么?
),因此p为p1,p2,?
pk中在某一个,于是,p|1,矛盾。
11.
(1)n是合数,设n=st,2n-1=2st-1=(2s-1)[(2s)t-1+(2s)t-2+…+2s+1].
(2)1+2+22+…+2n-1=2n-1.当n=14,15时,214-1,215-1均为合数,∴不对.
12.书后提示说取模为6分类讨论p,即设p=6q+r(r=0,1,2,3,4,5).
由质数p≥5,若p=6q,6q+2,6q+3或6q+4,p皆为合数,不可能.若p=6q+1,
则2p+1=12q+3也是合数,故在题设条件下,只有p=6q+5,此时4p+1=24q+21,是合数.实际上,这题与第7题完全相同。
质数p3?
质数p≥5,可用前面的方法简单求解。
习题1-3
1.求:
(1)(21n+4,14n+3)(其中n∈z+);
(2)(30,45,84),[30,45,84];(3)(5767,4453).
2.求证:
[an,bn]=[a,b]n(a,b,n∈z+).
3.自然数n=10x+y(x是非负整数,y是n的个位数字),求证:
13n的充要条件是13(x+4y).
4.用割(尾)减法判断下列各数能否被31,41,51整除:
26691,1076537,1361241
5.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”……依此下去,每位同学都说这个数能被他的编号整除.1号做了一一验证,只有编号连续的两位同学说的不对,其余同学都对.问:
(1)说得不对的两位同学的编号是什么数?
(2)如果1号写的数是5位数,这个5位数是多少?
6.
7.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳412米,黄鼠狼每次跳234米,它们每秒钟都只跳一次,比赛途中,从起点开始,每隔1238米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米?
8.大雪后的一天,大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和走的方向完全相同,大亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米.由于两人脚印有重合,所以雪地上只留
【篇二:
王进明初等数论习题解答】
s=txt>p17习题1-11,2
(2)(3),3,7,11,12为作业。
1.已知两整数相除,得商12,余数26,又知被除数、除数、商及余数之和为454.求被除数.
解:
a?
12b?
26,a?
b?
12?
26?
454,12b?
26?
b?
12?
26?
454,
(12?
1)b?
454?
12?
26?
26?
390,b=30,被除数a=12b+26=360.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍”问题:
商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍,被除数减去余数后与除数相加的和是除数的(12+1)倍,即454?
12?
26?
26?
390是除数的13倍.
2.证明:
(1)当n∈z且n?
9q?
r(0?
r?
9)时,r只可能是0,1,8;
33证:
把n按被9除的余数分类,即:
若n=3k,k∈z,则n?
27k,r=0;3
若n=3k+1,k∈z,则n?
(3k)?
3(3k)?
3(3k)?
1?
9k(3k?
3k?
1)?
1,r=1;若n=3k-1,k∈z,则n?
(3k)?
3(3k)?
3(3k)?
1?
9(3k?
3k?
k?
1)?
8,r=8.332323322
n3n2n?
?
的值是整数。
(2)当n∈z时,326
n3n2n2n3?
3n2?
n32?
?
=证因为,只需证明分子2n?
3n?
n是6的倍数。
3266
2n3?
3n2?
n?
n(2n2?
3n?
1)?
(n?
1)n(2n?
1)
?
(n?
1)n(n?
2?
n?
1)=n(n?
1)(n?
2)?
(n?
1)n(n?
1).
由k!
必整除k个连续整数知:
6|n(n?
1)(n?
2),6|(n?
1)n(n?
1).
或证:
2!
|(n?
1)n,(n?
1)n必为偶数.故只需证3|(n?
1)n(2n?
1).
若3|n,显然3|(n?
1)n(2n?
1);若n为3k+1,k∈z,则n-1是3的倍数,得知(n?
1)n(2n?
1)为3的倍数;若n为3k-1,k∈z,则2n-1=2(3k-1)-1=6k-3,2n-1是3的倍数.
综上所述,(n?
1)n(2n?
1)必是6的倍数,故命题得证。
(n?
1)n(2n?
1)222=0+1+2+?
+(n-1)2,整数的平方和必为整数。
6
(n?
1)n(2n?
1)-当n∈z时,-n∈z+,从而同样推得为整数,故命题得证。
6又证:
(3)若n为非负整数,则133|(11n+2+122n+1).
(4)当m,n,l∈n+时,(m?
n?
l)!
的值总是整数m!
n!
l!
证明:
(m?
n?
l)!
=(m?
n?
l)(m?
n?
l?
1)?
(n?
l?
1)(n?
l)(n?
l?
1)?
(l?
1)?
l!
由k!
必整除k个连续整数知:
m!
|(m?
n?
l)(m?
n?
l?
1)?
(n?
l?
1),
n!
|(n?
l)(n?
l?
1)?
(l?
1),从而由和的整除性即证得命题。
(5)当a,b∈z且a≠-b,n是双数时,?
a?
b?
|(a?
b);nn
(6)当a,b∈z且a≠-b,n是单数时,?
a?
b?
|(a?
b).nn
解:
利用例5结论:
若a≠b,则?
a?
b?
|(a?
b).令b=-b*,即得。
nn
或解:
a=(a+b)-b,(5)当n为双数时,由二项式展开
nan?
bn?
?
a?
b?
b?
b?
?
?
?
?
n
?
?
a?
b?
?
n?
a?
b?
nn?
1b?
?
?
?
?
1?
n?
1n?
a?
b?
bn?
1,证得。
(6)当n为单数时类似可得。
3.已知a1,a2,a3,a4,a5,b∈z,且?
a
i?
152i?
b2,说明这六个数不能都是奇数.
解:
若这六个数都是奇数,设ai?
2ki?
1,ki?
z,i?
1,2,3,4,5,则
?
a?
?
(2k?
1)2
ii
i?
1i?
1552?
4?
ki(ki?
1)?
5,因为2|ki(ki?
1),所以8|4?
ki(ki?
1),i?
155i?
1
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a
i?
152i?
8q?
5,q?
z,而b2?
(2k?
1)2?
4k(k?
1)?
1,b2?
8q*?
1,k,q*?
z,
即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。
4.能否在下式的各□内填入加号或减号,使下式成立;能的话给出一种填法,否则,说明理由。
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能,因为等式左边有单数个单数,它们的和差只能是奇数,而等式右边10为偶数。
或解:
无论各□内填入加号或减号,1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数,而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。
5.已知:
a,b,c均为奇数.证明ax?
bx?
c?
0无有理根。
证:
若有有理根,记为2ppp,p,q互质,代入方程有a()2?
b?
?
c?
0qqq
即ap2?
bpq?
cq2?
0,这是不可能的,因为p,q互质,二者不可能同时为偶数。
若p为偶数,则ap2?
bpq为偶数,但cq是奇数,它们的和不可能为0;
若q为偶数,则bpq?
cq2为偶数,但ap是奇数,它们的和也不可能为0。
6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个,换成其他两数之和加1,继续这样操作下去,最后得到三个数为35,47,83.问原来所写的三个数能否是2,4,6?
解:
不能.因为原来所写的三个数若是2,4,6,每次操作后剩下的三个数是两偶一奇.
7.将1-—99这99个自然数依次写成一排,得一多位数a=1234567891011…979899,求a除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?
8.四位数7x2y能同时被2,3,5整除,求这样的四位数.
解:
同时被2,5整除,个位为0,再考虑被3整除,有4个:
7020,7320,7620,7920.
9.从5,6,7,8,9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数,它能同时被3,5,7整除,那么这些四位数中最大的一个是多少?
被5整除,个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除,故选出的四个不同的数字是5,6,7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,
10.
11.1至1001各数按以下的格式排列成表,像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数,要使9个数的和等于
(1)2001,
(2)2529,(3)1989,能否办到?
如能办到,写出框里的最小数与最大数.如办不到,说明理由.22
1
8
15
2229162331017244111825512192661320277142128
?
?
?
?
?
99599699799899910001001
解:
设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x.
(1)9不能整除2001,∴和等于2001办不到;
(2)9x=2529,x=281,是所在行第一个数,∴和等于2529办不到;(3)9x=1989,x=221,和等于1989能办到,框里的最大数为x+8=229,最小数为x-8=213.
12.证明:
7(或11或13)|anan?
1?
a3a2a1a0的特征是:
7(或11或13)整除|anan?
1?
a3?
a2aa|10
或anan?
1?
a3a2a1a0?
anan?
1?
a3?
7?
11?
13?
(anan?
1?
a3?
a2a1a0)
∴
附)广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目
(与上面相同或相似的题目不列,以下各章节同)
6.24|62742,求?
?
.
9.是否存在自然数a和b,使a2-b2=2002成立?
11.证明:
当n∈z时,6|n(n+1)(2n+1).
12.已知:
f?
x?
?
ax?
bx?
c,f(0),f(-1),f
(1),x均为整数.证明:
f?
x?
?
z.2
解答:
3.偶数.因为a,b,c中,有三个奇数,所以a-1,c-3中至少有一个是偶数.
6.只需3|62742?
?
且8|62742?
?
,即3|(?
?
?
),且8|?
?
,先考虑?
?
0,2,4,6,8,有5组解?
?
?
?
0,?
?
?
2,?
?
?
4,?
?
?
7,?
?
?
9,?
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0;?
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4;?
?
?
8;?
?
?
2;?
?
?
6.
11.用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1),利用整除的基本性质(13).
12.由f(0),f(-1),f
(1),x均为整数可得c,a+b,a-b均为整数.进而知2a,2b为整数.
分类讨论(k∈z):
x=2k时,由2a,2b为整数f(x)显然为整数;
x=2k+1时,f(2k+1)=4ak(k+1)+2bk+a+b+c,可知f(x)仍然为整数。
习题1-2
1.用试除法确定下列各数中哪些是质数?
哪些是合数?
1987,2027,2461,17357
?
45,45.022,用质数试除到43,可知两者是质数,
2.当n是什么正整数时,f1(n)?
n?
4,f2(n)?
n?
5n?
9n+8n2+4n+1,f3(n)=n44543-18n2+45,f4(n)=n4+n2+1,f5(n)?
3n?
4n?
1的值是质数?
是合数?
2
解:
f1(n)?
n?
4n?
4?
4n?
(n?
2)?
(2n)?
(n?
2n?
2)(n?
2n?
2)42222222
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