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角函数高考题
高考题三角函数10道
1、[2014?
湖北卷]某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-3cosπ12t-sinπ12t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
解:
(1)因为f(t)=10-232cosπ12t+12sinπ12t=10-2sinπ12t+π3,
又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sinπ12t+π3≤1.
当t=2时,sinπ12t+π3=1;
当t=14时,sinπ12t+π3=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sinπ12t+π3,
故有10-2sinπ12t+π3>11,
即sinπ12t+π3<-12.
又0≤t<24,因此7π6<π12t+π3<11π6,
即10 故在10时至18时实验室需要降温. 2[2014? 江西卷]已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-π2,π2. (1)当a=2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若fπ2=0,f(π)=1,求a,θ的值. 解: (1)f(x)=sinx+π4+2cosx+π2= 22(sinx+cosx)-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x. 因为x∈[0,π],所以π4-x∈-3π4,π4, 故f(x)在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1. (2)由fπ2=0,f(π)=1,得cosθ(1-2asinθ)=0,2asin2θ-sinθ-a=1. 又θ∈-π2,π2,知cosθ≠0, 所以1-2asinθ=0,(2asinθ-1)sinθ-a=1, 解得a=-1,θ=-π6. _____________________________________________________________________________ 3、[2014? 四川卷]已知函数f(x)=sin3x+π4. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,fα3=45cosα+π4cos2α,求cosα-sinα的值. 解: (1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z, 由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z. 所以,函数f(x)的单调递增区间为-π4+2kπ3,π12+2kπ3,k∈Z. (2)由已知,得sinα+π4=45cosα+π4(cos2α-sin2α), 所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=45cosαcosπ4-sinαsinπ4(cos2α-sin2α), 即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα). 当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2kπ,k∈Z, 此时,cosα-sinα=-2. 当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=54. 由α是第二象限角,得cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-52. 综上所述,cosα-sinα=-2或-52. 4、[2014? 辽宁卷]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA→? BC→=2,cosB=13,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 解: (1)由BA→? BC→=2得c? a? cosB=2, 又cosB=13,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB, 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. 解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2. 因为a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,sinB=1-cos2B=1-132=223. 由正弦定理,得sinC=cbsinB=23? 223=429. 因为a=b>c,所以C为锐角, 因此cosC=1-sin2C=1-4292=79. 所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=13×79+223×429=2327. 5、[2014? 全国卷]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B. 解: 由题设和正弦定理得 3sinAcosC=2sinCcosA, 故3tanAcosC=2sinC. 因为tanA=13,所以cosC=2sinC, 所以tanC=12. 所以tanB=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) =tanA+tanCtanAtanC-1 =-1, 所以B=135°. _______________________________________________________________________________ 6、[2014? 辽宁卷]已知函数f(x)=(cosx-x)(π+2x)-83(sinx+1),g(x)=3(x-π)cosx-4(1+sinx)ln3-2xπ.证明: (1)存在唯一x0∈0,π2,使f(x0)=0; (2)存在唯一x1∈π2,π,使g(x1)=0,且对 (1)中的x0,有x0+x1<π. 证明: (1)当x∈0,π2时,f′(x)=-(1+sinx)? (π+2x)-2x-23cosx<0,函数f(x)在0,π2上为减函数.又f(0)=π-83>0,fπ2=-π2-163<0,所以存在唯一x0∈0,π2,使f(x0)=0. (2)记函数h(x)=3(x-π)cosx1+sinx-4ln3-2πx,x∈π2,π. 令t=π-x,则当x∈π2,π时,t∈0,π2. 记u(t)=h(π-t)=3tcost1+sint-4ln1+2πt,则u′(t)=3f(t)(π+2t)(1+sint). 由 (1)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)>0, 当t∈x0,π2时,u′(t)<0. 故在(0,x0)上u(t)是增函数,又u(0)=0,从而可知当t∈(0,x0]时,u(t)>0,所以u(t)在(0,x0]上无零点. 在x0,π2上u(t)为减函数,由u(x0)>0,uπ2=-4ln2<0,知存在唯一t1∈x0,π2,使u(t1)=0, 故存在唯一的t1∈0,π2,使u(t1)=0. 因此存在唯一的x1=π-t1∈π2,π,使h(x1)=h(π-t1)=u(t1)=0. 因为当x∈π2,π时,1+sinx>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈π2,π,使g(x1)=0. 因为x1=π-t1,t1>x0,所以x0+x1<π. 7、[浙江卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB. (1)求角C的大小; (2)若sinA=45,求△ABC的面积. 解: (1)由题意得1+cos2A2-1+cos2B2=32sin2A-32sin2B,即32sin2A-12cos2A=32sin2B-12cos2B,sin2A-π6=sin2B-π6. 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-π6+2B-π6=π, 即A+B=2π3,所以C=π3. (2)由c=3,sinA=45,asinA=csinC,得a=85. 由a 所以,△ABC的面积为S=12acsinB=83+1825. 8、[2014? 重庆卷]已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x=π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)若fα2=34π6<α<2π3,求cosα+3π2的值. 解: (1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以? (x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2. 又因为f(x)的图像关于直线x=π3对称, 所以2×π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,…. 因为-π2≤φ<π2, 所以φ=-π6. (2)由 (1)得? α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sinα-π6=14. 由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cosα-π6=1-sin2α-π6=1-142=154. 因此cosα+3π2 =sinα =sin(α-π6)+π6 =sinα-π6cosπ6+cosα-π6sinπ6 =14×32+154×12 =3+158. C5两角和与差的正弦、余弦、正切 9、(08安徽17)已知函数 (Ⅰ)求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程;(Ⅱ)求函数 在区间 上的值域 解: (1) ∴周期 由,得 ∴函数图象的对称轴方程为。 (2)∵ ∴ 因为在区间上单调递增,在区间上单调递减, 所以当时,取得最大值1; 又, ∴当时,取得最小值 函数f(x)在上的值域为。 10、2013年天津理科卷(第15题)(本小题满分13分) 已知函数. (Ⅰ)求的最小正周期; (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. 【正确答案】(满分13分) 解: (Ⅰ) . 所以,的最小正周期. (Ⅱ)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数. 又,,, 故函数在区间上的最大值为,最小值为. 【命题立意】 本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力. (08北京15)(共13分)已知函数 ( )的最小正周期为 .(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)求函数 在区间 上的取值范围.
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