圆中的证明与计算.docx
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圆中的证明与计算
圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形
知识点圆中的重要知识点
【知识梳理】
1、圆中的重要概念
2、圆中的重要定理
3、易与圆结合的其他知识
【例题精讲一】垂径定理
例1.1、如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,点G在直径DF的延长线上,∠D=∠G=30°。
(1)求证:
弧CF=弧BC;
(2)若CD=6,分别求BE、GF的长。
2、如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD。
(1)求证:
AD=AN;
(2)若AB=
,ON=1,求⊙O的半径。
3、如图,AB是⊙O的直径,C、P是弧AB上两点,AB=13,AC=5。
(1)如图
(1),若点P是弧AB的中点,求PA的长;
(2)如图
(2),若点P是弧BC的中点,求PA的长。
【课堂练习】
1、如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,E为AB延长线上一点,CE交⊙O于F,连接BF。
(1)求证:
BF平分∠DFE;
(2)若EF=DF,BE=5,CH=3,求⊙O半径。
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连接EF。
(1)求证:
∠BAD=∠F;
(2)若EF=
,AC=4,求⊙O的半径。
【例题精讲二】圆周角定理
例2.1、如图,CD为⊙O的直径,AB、AC为弦,且∠ADC=∠DAB+∠ACD,AB交CD于E。
(1)求证:
AB=AC;
(2)若DE=2,CE=10,求AC的长。
2、在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在
上取一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H。
(1)求证:
AC⊥BH;
(2)若∠ABC=45°,AC=10,BD=8,求CE的长。
3、如图,⊙O为△ABD的外接圆,E为△ABD的内心,DE的延长线交⊙O于C。
(1)如图1,求证:
CE=AC;
(2)如图2,若AB为⊙O的直径,AB=10,AD=8①求S△ADE;②求
的值。
【课堂练习】
1、如图,四边形ACBD内接于⊙O,∠ACB=90°。
(1)求
的值;
(2)已知M是弧BC的中点,AM与CD交于点N,若AC=6,⊙O的半径为5,求MN的长;
(3)若AD=
,直接写出AC+BC的最大值:
。
2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,⊙O为△ABC的外接圆,以点C为圆心,BC长为半径作弧交CA的延长线于点D,交⊙O于点E,连接BE、DE。
(1)求∠DEB的度数;
(2)若直线DE交⊙O于F,判断点F在半圆AB上的位置,并证明你的结论。
【例题精讲三】圆与三角形
例1.1、如图,在△ABC中,AB=AC=10,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E,连OD交BE于点M,且MD=2,则AM=__________。
2、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,I为△ABC的内心,且OI⊥AI。
若AB=10,则BI的长为__________。
3、如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,则AD=_________。
【课堂练习】
1、如图,P为⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=
,则弦BC的最大值为。
2、如图,在⊙O中,点C是直径AB的延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连接BD。
若CM平分
∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,若DM=1,则MN=。
3、已知等腰△ABC,AB=AC=13,BC=10,点I和O分别为△ABC的内心和外心,则OI=。
【例题精讲四】圆与四边形
例2.1、如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,AD、AB、BC分别与与⊙O相切于E、F、G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为。
2、如图,将半径为1的半圆形纸片按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是。
3、如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB上的一点,将△BCE沿CE折叠至△FCE,若CF、CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切,则折痕CE的长为。
【课堂练习】
1、如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,以点B为圆心,BA为半径画弧交BC于点E,以点O为圆心的⊙O与弧AE,边AD、DC都相切。
把扇形BAE剪下作为一个圆锥的侧面,该圆锥的底面圆恰好是纸片⊙O,则剩下纸片的面积为。
2、如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是线段CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最大值与最小值的差是。
3、如图,两同心圆半径分别为
、3,点A、B分别为同心圆上的动点,以AB为边作正方形ABCD,则OD长的最大值为。
1、如图,如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是_________。
2、如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线⊙A于M、N两点。
若点M的坐标是(-4,-2),则弦MN的长为_________。
3、如图,已知边长为2的圆内接正方形ABCD中,P为边CD的中点,直线AP交圆于E点,则弦DE的长为。
4、在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD。
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,求出∠DCA的度数。
5、已知⊙O为△ABC的外接圆,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D。
(1)如图1,求证:
BD=ED;
(2)如图2,AO为⊙O的直径,连接OB,若BC=6,BF:
OB=3:
5,求OE的长。
6、如图,点M为弧AB的中点。
(1)如图1,若AB为⊙O的直径,AB=10,AC=6,求MC的长;
(2)如图2,若∠ACB=120°,求
的值。
(图1)(图2
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