新第1讲 动点产生的相似三角形问题.docx
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新第1讲动点产生的相似三角形问题
精锐教育学科教师辅导讲义
学员姓名:
学员年级:
九年级辅导科目:
数学课时数:
3
课题
【压轴题第1讲】动点产生的相似三角形问题
教学目标
1.掌握相似基本图形中的相似三角形和各种比例式;
2.通过观察了解因动点产生的相似三角形问题的特点,熟悉对应的解题方法,掌握“动中
取静,以静窥动”的解题策略;
3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力;
4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件,从未知到已知的一个转变;
5.掌握动点产生的相似三角形的分类讨论情况,并能根据题目中的条件进行求解。
授课日期及时段
2013年1月27日
教学内容
限时训练:
(18分钟)
【2011宝山二模及附加】
一、填空题:
1.下列根式中,与为同类二次根式的是()
.;.;.;..
2.关于二次函数的图像,下列判断正确的是()
.图像开口向上;.图像的对称轴为直线;
.图像有最低点;.图像的顶点坐标为.
3.关于等边三角形,下列说法不正确的是()
.等边三角形是轴对称图形;.等边三角形是中心对称图形;
.等边三角形是旋转对称图形;.等边三角形都相似.
4.把一块周长为20cm,面积为20cm2的纸片裁成四块形状、大小完全相同的小三角形纸片(如图),则每块小三
角形的周长和面积分别是()
.10cm,5cm2;.10cm,10cm2;.5cm,5cm2;.5cm,10cm2
5.已知、是两个单位向量,向量,那么下列结论中正确的是()
.=;.=—;.=;.=—.
6.图2反应了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中,汽车离开甲地的距离S(千米)与所用时间t(分)之间的函
数关系.已知汽车在途中停车加油一次,根据图像,下列描述中,不正确的是()
.汽车在途中加油用了10分钟;.汽车在加油前后,速度没有变化;
.汽车加油后的速度为每小时90千米;.甲乙两地相距60千米.
二、填空题:
(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.计算:
.
8.计算:
.
9.在实数范围内分解因式:
.
10.方程的解为:
.
11.已知,且,则.
12.已知的图像经过第一、三、四象限,则k的取值范围是.
13.把抛物线的图像向左平移一个单位,所得抛物线的表达式为.
14.已知关于的方程,如果从1、2、3、4、5、6六个数字中任取一个数作为方程的常数项,
那么所得方程有实数根的概率为.
15.如图,已知梯形中,∥,,则.
第15题图第16题图第17题图
16.如图,小芳与路灯相距3米,他发现自己在地面上的影子()长2米,如果小芳的身高为1.6米,那么
路灯离地面的高度()是米.
17.如图,已知是⊙的直径,⊙与⊙的直径分别是、,⊙与⊙、⊙、⊙均相
切,则⊙与⊙的半径之比为.
18.已知是平面直角坐标系内一点,先把点向上平移3个单位得到点,再把点绕点顺时针方向旋转
90°得到点,若点关于轴的对称点为(1,2),那么点的坐标是.
附加:
19.如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点
A重合,折痕为EF,点D的对应点为G,连接DG,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.6C.D.
20.有一个等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片
的顶角为__________。
第19题图第21题图第22题
21.如图,在正方形ABCD中,AB=4,0为对角线BD的中点,分别以OB,OD为直径作⊙O1,⊙02,则图中阴
影部分的面积=_____________。
22.如图是二次函数(a≠0)在平面直角坐标系中的图象,根据图形判断:
①c>0;②a+b+c<0;③2a-b<0;④中正确的是(填写序号)_____________
23.已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是()。
A.3B.5C.15D.25
24.两个反比例子函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,……,P2010在反比例函数
y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,……,x2010,纵坐标分别是1,3,5,……,共2010个连续奇
数,过点P1,P2,P3,……,P2010分别作y轴的平行线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),
Q3(x3,y3),……,Q2010(x2010,y2010),则y2010=_______________。
25.先化简,再求值,其中x满足。
动点产生的相似三角形问题
1.相似基本图形:
2.相似三角形的基本图形产生的结论结论:
(1)A字型:
①正A字型②斜A字型③其它A字型
(2)X型:
①正X字型②斜X字型
(3)直角三角形:
①
②
③
(4)直线型(一线三角):
(5)其他基本型:
和
3.相似三角形方法的选择:
(1)已知有一角相等时,可选择方法两角相等和方法两边对应成比例且夹角相等;
(2)已知有二边对应成比例时,可选择方法三边对应成比例和方法两边对应成比例且夹角相等;
(3)若有平行条件时,可考虑方法基本图形“A字型和X型”;
(4)有直角三角形时,可考虑方法直角三角形判定方法;
(5)不管选择用哪一个方法,先找角度,再根据题目选择。
4.相似三角形的作用:
综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题:
(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等;
(2)可用来计算周长、边长、角度等;
(3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。
5、压轴题中方法:
①几何法:
观察两三角形是否为特殊三角形,找出两三角形相等的角,先分类,再画图,后计算;
②代数法:
先罗列三边,再分类列方程,后解方程,检验。
例1、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90o,BD⊥DC,BC=10cm,CD=6cm.在线段、上有动点、,点以每秒的速度,在线段上从点B向点C匀速运动;同时点以每秒的速度,在线段上从点C向点D匀速运动。
当点到达点C时,点同时停止运动。
点、在运动过程中,如与相似,求线段的长。
(★★★)
练习1、如图,已知等边△ABC的边长为6,点D是边BC上的一个动点,折叠△ABC,使得点A恰好与边BC上的点D重合,折痕为EF(点E、F分别在边AB、AC上)。
当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时,求BE的长.
例2、如图,已知梯形,∥,,.为射线上一动点,过
点作∥交射线于点.联结,联结,若△与△相似,试求的长.(★★★)
例3、如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=,AB=3,CD=6,BE⊥BC交直线AD于点E。
问:
是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似?
若能,请求出此时AD的长;若不能,请说明理由。
(★★★★)
练习2、如图,AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动,其中点P从点A出发沿AC边一直移到点C为止,点Q从点B出发沿BA边一直移动
到点A为止。
(★★★★)
(1)写出AP的长和AQ的长关于时间t的函数;
(2)经过多少时间后,△APQ与△ABC相似?
例4、在平面直角坐标系中,将抛物线沿轴向上平移1个单位,再沿轴向右平移两个单位,平移后抛物线的顶点坐标记作A,直线与平移后的抛物线相交于B,与直线OA相交于C。
点P在平移后抛物线的对称轴上,如果△ABP与△ABC相似,求所有满足条件的P点坐标。
(★★★★)
总结:
1.由动点产生的相似三角形的解题方法和策略:
1.寻找题目中特殊的条件和不变的量,并找出由条件引发的一些相等角、相等线段等特殊条件;(挖掘题目中的隐藏条件)
2.注意分类讨论,先找是否有相等角,再决定分类讨论情况:
3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好,如果不能求出,注意转化相似(是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件)
4.注意三个易忘定理:
线段的中垂线定理、角平分线定理、直角三角形的性质。
巩固练习:
1、已知:
中,,,,四边形的边在边上,,顶点、分别在边、上,于,,如图1,设,。
(10分)
(1)求关于的函数关系式,并写出函数定义域;(4分)
(2)能与相似吗?
若能,请求出的值;若不能,请说明理由。
(6分)(★★★)
2、已知,,(如图1),是射线上的动点(点与点不重合),是线段的中点。
联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长。
(★★★★)(10分)
附加练习:
1、如图,在△中,,是斜边上的中线,,,点是延长线上的一动点,过点作,交延长线于点,设,。
(★★★★)
(1)求关于的函数关系式及定义域;
(2)过点作交于,当和相似时,求的值。
2、已知如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=3,BC=9,,
直线MN是梯形的对称轴,点P是线段MN上一个动点(不与M、N重合),射线BP交线段CD于点E,过点C作CF∥AB交射线BP于点F。
(★★★★★)
(1).设PN,CE,试建立和之间的函数关系式,并求出定义域;
(2).联结PD,在点P运动过程中,如果和相似,求出PN的长。
3、如图,已知梯形中,//,,,,.点在边上运动(点不与点、点重合),一束光线从点出发,沿的方向射出,经反射后,反射光线交射线于点。
联结,若以点、、为顶点的三角形与相似,试求的长度。
(★★★★★)
4、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,sin∠EMP=.
(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;(4分)
(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;(4分)
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长。
(6分)(★★★★★)
图1图2备用图
答案:
一、1.A;2.D;3..B;4.A;5.C;6..B..
二、7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;15.;16.4;17.;18..
19题解析:
20题解析:
21题解析:
22题解析
23题:
C
24题解析:
25题解析:
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