三角函数正余弦函数的图像及性质总结复习汇总docx.docx
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课题三角函数的图像及性质
1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切)
2.利用单位圆中的三角函数线作出
ysinx,xR的图象,明确图象的形状;
教学目标
3.根据关系cosxsin(x
),作出ycosx,x
R的图象;
2
重点、难点
4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题;
1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
2、作余弦函数的图象。
教学内容
一、正弦函数和余弦函数的图象
:
y=sinx
y
3
7
-5
-2
1
-7
2
o
2
2
x
-4
-3
-2
-3
-
-1
2
53
4
2
2
2
2
y=cosx
y
3
7
-3
-5
-
-2
1
3
2
o
2
2
-4
-7
-2
-3
-1
2
5
4x
2
2
2
2
正弦函数y
sinx和余弦函数y
cosx图象的作图方法:
五点法:
先取横坐标分别为0,,,3,2
2
2
的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
二、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质:
(1)定义域:
都是R。
(2)值域:
1、都是1,1,
2、y
sinx,当x
2k
k
Z时,y取最大值1;当x
3
kZ时,y取最小值-1;
2k
2
2
3、y
cosx,当x
2k
kZ
时,y取最大值1,当x2k
kZ
时,y取最小值-1。
例:
(1)若函数y
a
bsin(3x
)的最大值为3,最小值为
1,则a
__,b_
622
(答:
a
1,b1或b
1);
2
⑵函数y=-2sinx+10取最小值时,自变量x的集合是。
(3)周期性:
①ysinx、y
cosx的最小正周期都是2
;
②f(x)
Asin(
x
)和f(x)
Acos(
x
)的最小正周期都是
2
。
T
|
|
例:
(1)若f(x)
sin
x,则f
(1)f
(2)
f(3)
L
f(2003)=___(答:
0);
3
⑵.下列函数中,最小正周期为
的是(
)
A.y
cos4x
B.y
sin2x
C.y
sinx
D.y
cosx
2
4
(4)奇偶性与对称性:
1、正弦函数y
sinx(xR)是奇函数,对称中心是k,0
k
Z
,对称轴是直线xk
k
Z;
2
、余弦函数
y
cosx(x
R)
是偶函数,对称中心是
k
0
k
Z
,对称轴是直线x
kk
Z
2
2
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
x轴的直线,对称中心为图象与
x轴的交
点)。
例:
(1)函数y
sin
5
2x
的奇偶性是______(答:
偶函数);
2
(2)已知函数
f(x)
ax
3
x
1(a,b
为常数),且
f(5)
(答:
-);
bsin
7,则f(5)______
5
(5)单调性:
y
sinx在2k
2k
k
Z上单调递增,在2k
2k
3
单调递减;
kZ
2
2
2
2
y
cosx在2k
2k
kZ
上单调递减,在2k
2k2
kZ上单调递增。
特别提醒,
别忘了kZ!
⑴函数y=sin2x的单调减区间是()
2k
.3
2k(kz)
k
k
3
(kz)
2
2
4
4
A.
B.
C.
+2k
3
2k
(k
z)
D.
k
k
(kz)
4
4
(5)研究函数y
Asin(
x
)性质的方法:
类比于研究y
sinx的性质,只需将yAsin(x)
中的x
看成y
sinx中的x,但在求y
Asin(
x
)的单调区间时,要特别注意A和
的符号,
通过诱导公式先将
化正。
如
(1)函数y
sin(2x
)的递减区间是______(答:
[k
5
](kZ));
3
k
12
12
(2)ylog1
cos(x
4
)的递减区间是_______(答:
[6k
3
6k
3](kZ));
2
3
4
4
(3)函数yAsin(x
)图象的画法:
①“五点法”――设X
x,令X=0,
,3,2求出相应的x值,计算得出五点的坐标,
2
2
描点后得出图象;
②图象变换法:
这是作函数简图常用方法。
⑴分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合:
(1)sinx
1;
(2)cosx
1,(0
x
5).
2
2
2
⑵.用五点法作函数y2cos(x),x[0,2]的简图.
3
6.形如yAsin(x)的函数:
(1)几个物理量:
A―振幅;f
1
―频率(周期的倒数);x―相位;―初相;
T
(2)函数yAsin(x)表达式的确定:
A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确
定,
例1、已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的一段图象(如图)所示.
①求函数的解析式;
②求这个函数的单调区间.
2.函数y
Asin(
x
)图象的画法:
①“五点法”――设X
x
,令X=0,,
3,2求出相应的x值,计算得出五点的坐标,
2
2
描点后得出图象;
②图象变换法:
这是作函数简图常用方法。
3.函数y
Asin(
x
)
k的图象与ysinx图象间的关系:
①函数y
sinx的图象纵坐标不变,横坐标向左(
>0)或向右(
<0)平移|
|个单位得
ysinx
的图象;
②函数y
sin
x
图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
1
,得到函数y
sin
x
的图象;
③函数y
sin
x
图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的
A倍,得到函数y
Asin(
x)的
图象;
④函数y
Asin(
x
)图象的横坐标不变,纵坐标向上(k
0)或向下(k
0
),得到
yAsin
x
k的图象。
要特别注意,若由y
sinx
得到y
sin
x
的图象,则向左或
向右平移应平移|
|个单位,
例:
(1)函数y
2sin(2x
)1的图象经过怎样的变换才能得到
y
sinx的图象
4
(2)要得到函数ycos(x
4
)的图象,只需把函数y
sinx的图象向___平移____个单位
2
2
课堂练习:
1、已知函数
y=f(x),将
f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变
横坐标扩大到原来的
2倍,然后把所得的
图象沿
x轴向左平移
个单位,这样得到的曲线与
y=3sinx
的图象相同
那么
y=f(x)的解析式为
4
()
A.f(x)=3sin(x
)
B.f(x)=3sin(2x+
)
2
4
4
C.f(x)=3sin(x
)
D.f(x)=3sin(2x-
)
24
4
2.(2009
山东卷理
)将函数
y
sin2x
的图象向左平移
个单位
再向上平移
1个单位,所得图象的函数解析式是
4
(
).
A.y
cos2x
B.y
2cos
2
x
C.y
1sin(2x
)
D.y
2sin2
x
4
(3)若函数
fx
cosx
sinx
x
0,2
的图象与直线
y
k有且仅有四个不同的交点,则k的取
值范围是
(答:
[1,
2))
(3)设函数f(x)Asin(x
)(A
0,0,
)的图象关于直线x
2
对称,它的周期是
,
2
2
3
则
A、f(x)的图象过点(0,1)
B、f(x)在区间[5
2]上是减函数
2
12
3
、
5
D、
f(x)
的最大值是A
C
fx的图象的一个对称中心
是
(
0)
()
12
(4)对于函数fx
2sin2x
给出下列结论:
①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线
3
x成轴对称;③图象可由函数y
2sin2x的图像向左平移
个单位得到;④图像向左平移
个
12
3
12
单位,即得到函数y
2cos2x的图像。
其中正确结论是_______
四、正切函数ytanx的图象和性质:
y
y=tanx
3
-
-
-
2
2
o3
22
x
(1)定义域:
{x|xk,kZ}。
遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗
2
(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;
(3)周期性:
是周期函数且周期是,它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。
绝对值或平方对三角函数周期性的影响:
一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:
弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不
定。
如y
sin2x,y
sinx的周期都是
但y
sinxcosx的周期为
,而
1|,y
2
y|2sin(3x
)
|2sin(3x)2|,y
|tanx|的周期不变;
6
2
6
(4)奇偶性与对称性:
是奇函数,对称中心是
k,0
k
Z,特别提醒:
正(余)切型函数的对称
2
中心有两类:
一类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(5)单调性:
正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。
但要注意在整个定
22
义域上不具有单调性。
如下图:
三角函数图象几何性质
三角函数图象几何性质
y=Atan(ωx+φ)
)
yAsin(x
)
yAtan(x
y
y=Asin(ωx+φ)
y
O
x
O
x
x3
x4
x=x1x=x2
邻中心轴相距
T
邻中心|x3-x4|=T/2
4
邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称中心:
无穷对称轴:
由y=0确定
由y=A或-A确定
x3x4
邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心:
由y=0或y无意义确定
x=x1x=x2
邻渐近线|x1-x2|=T
无对称轴
任意一条y轴的垂线与正切
函数图象都相交,且相邻两
交点的距离为一个周期!
★课后作业:
课后作业:
一、选择题:
1、函数y
3sin(2x
)的单调递减区间是
(
)
6
A.k
k
5
(kZ)
B.k
5,k
11
(kZ)
12
12
12
12
C.k
k
(kZ)
D.k
k
2
(kZ)
6
3
3
6
2、已知函数f(x)
sinx
g(x)
cos(
x),则
(
)
2
A.f(x)与g(x)都是奇函数
B.f(x)与g(x)都是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
3、若函数y=2sin(8x+θ)+1的图象关于直线x
对称,则θ的值为(
)
6
A.0
B.
.π∈
D.kπ+
(k∈Z)
Ck(kZ)
2
6
4、函数y
sinx的最小正周期是(
)
2
A.
B.
C.
2
D.4
2
5、函数y
cos(
2x)的单调递减区间是(
)
3
6、已知函数f(x)
sin(
x
)
1,则下列命题正确的是(
)
2
A.f(x)是周期为1的奇函数
B.f(x)是周期为2的偶函数
C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
7、函数y
cos(2x
9
)是(
)
2
A.奇函数非偶函数
B.偶函数非奇函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
二、填空题:
、已知函数
y
1
sin
x
(A
0)
的最小正周期为
3,则A=
.
7
2
A
2
的最大值是______.
8、函数f(x)=11-8cosx-2sinx
9、函数函数y
lg(1
sinx)的定义域是
.
2
10、若x
是方程2cos(x
)
1的解,其中
(0,2
),则=
3
11、已知函数f(x)
ax3
bsinx
1(a、b为常数),且f(5)=7,则f(
5)=____.
12、给出下列命题:
①函数y
sin(5
2x)是偶函数;
2
5
②方程x
是函数y
sin(2x
)的图象的一条对称轴方程;
8
4
③若α、β是第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ.
其中正确命题的序号是
.(填序号)
三.解答题:
13.已知,求证:
.
14.若,
求的值.
15、设函数f(x)
sin(x)(
0,
),给出三个论断:
1它的图象关于x
对称;2它的
2
2
○
○
3
8
最小正周期为;
3
它在区间
[,
上的最大值为
2
以其中的两个论断作为条件
另一个作为结
]
.
○
4
8
2
论,试写出你认为正确的一个命题并给予证明.
16、已知函数f(x)sin(x)(
0,0
)是R上的偶函数,其图象关于点
M(3
0)对称,
4
且在区间[0,
]上是单调函数.求
和
的
2
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