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9.6两个平面垂直的判定和性质

（一）

高二数学田茂成

教案目标

（一）知识教案点

1．两个平面垂直的定义、画法．

2．两个平面垂直的判定定理．

（二）能力训练点

1．应用演绎的数学方法理解并掌握两个平面垂直的定义．

2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．

3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．

（三）德育渗透点

1．理解并掌握两个平面垂直定义的过程是培养学生从一般到特殊的思维方法的过程．

2．让学生认识到掌握两个平面垂直的判定定理是人类生产实践的需要，并且应用于实践，进一步培养学生理论与实践相结合的观点．

教案重点、难点

1．教案重点：

掌握两个平面垂直的判定．

2．教案难点：

掌握两个平面垂直的判定及应用．

教与学的过程

（一）复习平面角的有关知识

师：

什么是二面角的平面角？

生：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

师：

一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？

生：

三种．一是利用定义；二是利用三垂线（逆）定理；三是利用棱的垂面．

师：

下面我们来做道练习（幻灯显示）．

已知：

二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：

CD与平面β所成的角．

生证明：

作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．

过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，

∴∠CDO=30°．

即DC与β成30°角．

师点评：

本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．

（二）两个平面垂直的定义、画法

师：

两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？

生：

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

师：

回答得很好．这个定义与平面几何里的两条直线互相垂直的定义相类似，也是用它们所成的角是直角来定义．知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？

生：

如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．

练习：

（P.45中练习1）

画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．

如图1-129．

（三）两个平面垂直的判定

师：

判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．

两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

求证：

α⊥β．

师提示：

要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？

根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．

让学生独自写出证明过程．

证明：

设a∩β=CD，则B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

师：

两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：

建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直（图见课本P.43中图1-49），实际上，就是依据这个原理．

另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习．

（五）总结

本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．

五、作业

P．46中习题六．6、7、8、10

（1）

9.6两个平面垂直的判定和性质

（二）

教案目标

1.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明.并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；

2.通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力.

教案重点和难点

性质定理的引入及证明.

教案用具

两个互相垂直的平面，一根直的细木棍.

教案设计过程

师:

上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理.如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.判定定理是用来判定两个平面垂直的方法.请问判定定理是如何叙述的呢?

生:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

师:

好.应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线.下面我们一起来解决上节课留的思考题.

（板书）如图，四边形BCDE是正方形，AB⊥面BCDE，则图中所示7个平面中，有几对平面互相垂直?

生:

共7组.

AB⊥面BCDE，

所以面ABE⊥面BCDE，

面ABC⊥面BCDE，

面ABD⊥面BCDE，

且AB⊥BC，AB⊥CE，AB⊥CD.

又正方形BCDE，

所以BC⊥BE，

所以BC⊥面ABE.

因为面ABC⊥面ABE，

因为DE∥BC，

所以DE⊥面ABE，

故面ADE⊥面ABE.

又CD⊥BC，

因为CD⊥面ABC，

所以面ACD⊥面ABC.

又CE⊥BD，

所以CE⊥面ABD，

故面ACE⊥面ABD.

师:

通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解.下面我们一起来研究面面垂直有哪些性质.

生:

两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角.

师:

很好.这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质.上节课我们由线面垂直，推出面面垂直，也就是面面垂直的判定定理.那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢?

（取出教具，并拿细木棍在其中一个面上移动）

生:

当棍与棱垂直时，棍与另一平面垂直.

师:

很好.如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗?

生:

不垂直.

师:

好.也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直.那么是不是与棱垂直，就一定与面垂直呢?

保持棍与棱相交垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直

生:

不是，棍必须在平面内.

师:

意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直.好，请你整理一下刚才的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢?

注意面面垂直的大前提.

生:

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

师:

很好，下面我们一起来完成命题的证明.先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，用符号语言叙述已知，求证.

生:

已知如图，α⊥β，α∩β=AB，CD

α，CD⊥AB.

求证:

CD⊥β.

师:

这个命题的结论是线面垂直.考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪个方法最适合.

生:

由已知CD⊥AB，AB在β内，想证CD⊥β，只需在β内再找一条直线与CD垂直.

师:

很好.但β内没有这样的直线.应该怎样作出这条直线呢?

生:

因为α⊥β，根据定义作出这个二面角的平面角，就是90°.

在平面β内，过D作DE⊥AB，

因为CD⊥AB，

所以∠CDE是α-AB-β的平面角，

又α⊥β，

所以∠CDE=90°

即CD⊥DE.

又AB

β，DE

β，

故CD⊥β.

师:

好.利用两个平面垂直的定义，作出直线CD⊥AB，最终证明了AB⊥β.它就是面面垂直的性质定理.也可称为线面垂直的判定定理.

（板书）剖析:

（1）面面垂直线面垂直

（2）为判定或作出线面垂直提供依据.

师:

这个定理由面面垂直出发，借助于线线垂直，结论是线面垂直.给我们提供了解决线面垂直的一种新的思路——寻找面面垂直.这一点也是这一定理最突出的作用.

师:

下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论，看看结论是否有价值.（与学生一起分析得出）

命题1α⊥β，α∩β=AB，CD

α，CD⊥β，则CD⊥AB.

命题2α⊥β，α∩β=AB，CD⊥AB，CD⊥β，则CD

α.

师:

命题1，由AB

β，CD⊥β，可得CD⊥AB，与α⊥β的大前提无关，不做研究.命题2，条件重复，去掉CD⊥AB.这个结论正确吗?

（取出教具，保持棍与面垂直，将棍移出平面，引导学生说出棍上必须有一个点在面α上，才可以保证棍在面内）

师:

好，修改一下命题.（擦去AB⊥CD，添加C∈α，或D∈α）

师:

现在的命题正确吗?

要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策?

生:

利用反证法.

假设CD

α，过点C作CE⊥AB于E.

因为α⊥β，

所以CE⊥β.

又CD与CE确定平面γ，

令γ∩β=a，

则CD⊥a,CE⊥a.

所以在平面γ内，有两条直线CD，CE，同时垂直直线a，

这与平面几何定理矛盾!

所以CD

α.

师:

很好.这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内.用语言叙述就是:

（板书在命题1的位置）

如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.

师:

请同学们打开书p.41.书上给出了面面垂直的两个性质定理.我们看一下定理的证明.看书的同时，指出书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定理做保证.定理内容是:

经过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直.

师:

上面我们研究了面面垂直的两个性质定理.定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法.从应用上看，定理1更广泛一些.

例垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面.

已知:

α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，

求证:

α⊥γ.

师:

本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.

证法一:

设α∩γ=b,β∩γ=c,在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N.

因为α⊥γ，β⊥γ，

所以PM⊥α，PN⊥β.

因为α∩β=a，

所以PM⊥a，PN⊥a,

所以α⊥γ.

证法二:

任取P∈a,过点P作b⊥γ.

因为α⊥γ.

所以b

α，

因为β⊥γ，

因此b

β，

故α∩β=b.

由已知α∩β=a，

所以a与b重合，

所以α⊥γ.

证法三:

设α⊥γ于b,β⊥γ于C.

在α内作b′⊥b,

所以b′⊥γ.

同理在β内作C′⊥C,有C′⊥γ，

所以b′∥c′,又b′

β，c′

β,

所以b′∥β.

又b′

α，α∩β=a，

所以b′∥a，

故a⊥γ.

师:

这道题的三种证法，从三个不同角度入手，解决了线面垂直的问题，证法一利用线线垂直得面面垂直的判定定理.证法二通过面面垂直的性质利用同一法.证法三则利用线线平行解决线面垂直问题.

师:

好，我们用两节课的时间完成了面面垂直的判定和性质定理的推导和证明.到此，有关垂直的内容可以做一小结.

我们知道，立体几何中，主要依靠线面关系的不断转化解决问题.由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直，再到线线垂直.以线面垂直为核心，结合线与面之间垂直和平行的关系，可以得到有关垂直的结构图.（与同学一起小结）

线线垂直线面垂直面面垂直

三垂线定理线线平行面面平行

师:

结合已知，灵活的应用这些定理，就可以寻找到解题思路，从而顺利的解决有关垂直的位置关系的问题.

9.6两个平面垂直的判定和性质（三）

教案目标

（一）教案知识点

1．两个平面互相垂直的判定．

2．两个平面互相垂直的性质．

（二）能力训练要求

1．通过本节教案，提高学生空间想象能力．

2．通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．

3．进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．

教案重点

　　两个平面垂直的判定、性质．

教案难点

　　两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．　正确作出符合题意的空间图形．

教案过程

 Ⅰ．复习回顾

1．二面角、二面角的平面角．

2．求作二面角的平面角的途径及依据．

 Ⅱ．讲授新课

2．两个平面垂直的判定

　　［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．

　　教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．

　　两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角．

　　请同学给两个平面互相垂直下一定义：

　　［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：

　　如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．

　　［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．

　　师生共同动手，图的画是否直观，直接影响问题解决．

　　平面和垂直，记作⊥．

　　［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面．即⊥，请同学给出面面垂直的判定定理．

　　［生］两个平面垂直的判定定理：

　　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

　　［师］请两位同学给出分析，证明．

　　［生］已知：

AB⊥，AB∩＝B，AB

．

　　求证：

⊥．

　　分析：

要证⊥需证和构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．

　　证明：

设∩＝CD，则由AB

知，AB、CD共面．

∵AB⊥，CD

，

∴AB⊥CD，垂足为点B．

　　在平面内过点B作直线BE⊥CD．

　　则∠ABE是二面角-CD-的平面角．

　　又AB⊥BE，即二面角-CD-是直二面角．

∴⊥．

　　［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？

　　［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．

　　［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：

　　线面垂直

面面垂直

3．两个平面垂直的性质

　　［师］在所给正方体中，下式是否正确：

①平面ADD1A1⊥平面ABCD；

②D1A⊥AB；

③D1A⊥面ABCD．

　　［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB

面ABCD．

∴　平面ABCD⊥平面ADD1A1．

②∵AB⊥面ADD1A1，D1A

面ADD1A1

∴AB⊥D1A

③∵AA1⊥面ABCD，

∴AD1与平面ABCD不垂直．

　　［师］平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，

A是平面ADD1A1内一点．

　　过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？

　　判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．

　　两个平面垂直的性质定理：

　　如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面．

　　［师］从转化的角度可表述为：

面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．

　　请同学予以证明．

　　［生］证明过程如下：

　　已知：

⊥、∩＝a，AB

，AB⊥a于B．

　　求证：

AB⊥．

　　证明：

在平面内作BE⊥a垂足为B，

　　则∠ABE就是二面角-a-的平面角．

　　由⊥可知，AB⊥BE．

　　又AB⊥a，BE与a是内两条相交直线，

∴AB⊥．

　　［师］证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？

主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．例2也可做为性质定理用．

　　［例2］求证：

如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

　　已知：

⊥，P∈，P∈a，a⊥．

　　求证：

a

．

（§9．6．3A）

　　［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证a

先作出直线b

然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注．

　　［生］证明：

设∩＝c，过点P在平面内作直线b⊥c，

∴b⊥，而a⊥，P∈a．

　　因为经过一点只能有一条直线与平面垂直．

　　所以直线a应与直线b重合．

　　那么a

．

　　［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点：

一是作出符合题意的直线b，不易想到；二是证明直线b和直线a重合，相对容易些．点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上．其结论可作性质定理用．

　　下面请同学阅读例题3结合投影，试从不同角度证明．

　　［例3］如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？

试说明理由．

（§9．6．3B）

　　［生］可从多角度解决该题．

　　解法一：

∵VC⊥面ABC，AC

面ABC，BC

面ABC，

∴VC⊥AC，VC⊥BC．

　　则∠ACB就是面VBC-VC-面VAC的平面角．

　　因AB是⊙O的直径，故∠ACB＝90°．

∴　面VBC⊥面VAC．

　　又D、E分别是VA、VC的中点，

　　则DE∥AC．

　　而AC⊥VC即DE⊥VC．

　　那么DE⊥面VBC．

　　［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：

二面角是直二面角

面面垂直

线面垂直．］

　　解法二：

因VC⊥面ABC，AC

面ABC，

∴VC⊥AC．

　　又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC．

　　由此AC⊥面VBC．

　　而D、E是VA、VC中点，DE∥AC，

　　故DE⊥面VBC．

　　［此法比解法一简单明了，走的弯路较少．

　　转化关系：

线垂直面

线垂直面内线

　　线垂直面

与此线平行的线也垂直平面．］

　　解法三：

可找VB中点F，证∠DEF＝90°，进而证明ED⊥面VBC．

（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）

 Ⅲ．课堂练习

1．画互相垂直的两个平面，两两垂直的三个平面．

　　［画图略．原则：

直立平面的竖边画成和水平平面横边垂直．此题可改为：

在一个正方体中找出互相垂直的平面．两两垂直的三个平面，观察表示平面的边与边间关系．］

2．检查工件相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，这是为什么？

　　［此题说明数学源于实际生活，反过来为实际生活服务．解答该题所用的知识就是面面垂直的判定定理，满足一面经过另一面的一条垂线．

　　如果尺边和这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，那么工件的相邻两面互相垂直．］

 Ⅳ．课时小结

（1）证明两个平面垂直，关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直．

（2）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直．

（3）判定定理、性质定理有时要和其他定理结合起来用．（例3．练习3）

 　　板书设计

§9．6．3　两个平面垂直的判定和性质（三）

2．两个平面垂直的判定

　　判定定理

3．两个平面垂直的性质

　　性质定理，例2

　　例3

　　练习

　　小结　　　

　　作业

教案反思：