第05单元 垂直直角类.docx
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第05单元垂直直角类
第05单元垂直(直角)类
联想融通:
试试看,与垂直(直角)相关的知识与题型能想起多少?
与垂直(直角)相关的知识极多,如:
三线合一,角平分线性质及其逆,三角的比中大数等于两小数之和的三角形是Rt△,勾股定理、勾股数与特殊三角形(3:
:
4:
5,5:
12:
13,1:
1:
,1:
:
2,1:
2:
,1:
3:
,1:
1:
等)、见特殊角与三角函数构造直角三角形,直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形,正八边形可拼成一个直角,HL判全等、等腰三角形两腰上高相等,垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、射影定理及其逆,面积公式可建立方程,轴对称、绕直角顶点旋转三角形时连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90度与自身重合,垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组直角边分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦……还有很多,随便写出30条.
本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类、勾股定理”五个方面进行研究.
一、见过直角顶点的直线[8]
解法归一:
见过直菊顶点的直线l,从直角两边上的点分别向直l作垂线,必得全等或相似;然后再利用全等或相似进行转换.
例5–1–1已知△ABC是直角三角形,AC=BC,直线MN经过直角顶点C,分别过AB作直线MN的垂线AD、BE分别交MN于D、E.
⑴如阁5–1–1①,当垂线段AD、BE在直线MN的同侧时,试探究线段AD、BE长度之间的数量关系,并给予证明.
(2)如图5–1–1②,当垂线段AD、BE在直线MN的异侧时.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?
并给予证明.
交流分享:
本例的两图就是“过直角顶点直线类,”的两个基本图形:
直线MN在直角外、直线MN分直角,题不难,但很有代表性.
本題在
(1)怎么证的全等,在
(2)照旧;在
(1)怎么找的关系,在
(2)照旧,即“照着做”.
体验与感悟5–1
1.如图5–1–2,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,作DD1⊥l于点D1,作EE1⊥l于点E1.线段DD1、EE1、AB的数量关系是.
2.三个正方形A、B、C如图5–1–3放置,已知正方形A、C的边长分别为a、b,正方形B的面积为2,那么a2+b2=.
3.如图5–1–4,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sina=.
4.如图5–1–5①,在△ABC中,AN丄BC于点N,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE服和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线NA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)如图图5–1–5②,在梯形ABCD中,AD∥BC,分别以两种AB、CD为直角边向梯形ABCD外作等腰三角形△ABE和等腰Rt△DCF,线段AD的垂直平分线交线段AD与点M,交BC于点N,若EP⊥MN于Q、
(1)中结论还成立吗?
请简述理由.
5.如图5–1–6,直线l1∥l2∥l3,l1∥与l2之间的距离是1,l2∥l3之间的距离是2,试画出以A为直角顶点的等腰直角△ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并写出所画等腰直角△ABC的面积.
提醒:
直角顶点在一条直线上的题目怎么做?
二、直角边相交的“双直角”类
说明:
我说的“双直角”特指如下两种情况;相对“双直角”(如图1);同侧“双直角”(如图2).
其特点是:
A连公共斜边,作斜边上的中线,得5个等腰三角形;B四点共圆,据同弧上圆周角相等得到很多等角.
(一)见“双直角”连共共斜边[8]
解法归一:
见“双直角”,找(或连)公共斜边,构造全等三角形或等腰三角形(见例3–2–1)、体验感悟3–1之3、4题.
例5–2–1如图5–2–1,边长等于1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.则图中阴影部分的面积为()
A.
B.
C.1-
D.1-
例5–2–2如图5–2–2,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′C′D′(此时,点B′在AC上,点A′在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,求证:
直线CE是线段AA′的中垂线.
交流分享:
例5–2–1连接AO、例5–2–2证CE平分∠A′CA
体验与感悟5–2–1
1.如图5–2–3,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是线段AC、BD的中点.
求证:
MN⊥BD.
2.
(1)将2个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图5–2–4①摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点D落在AB上,直线DE交直线AC于点F.求证:
AF+EF=DE.
(2)若将图5–2–4①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图5–2–4②中画出变换后的图形,并直接写出
(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图5–2–4①中的△DBE绕点初步按顺时针方向旋转角β,且60︒<β<180︒,其他条件不变,如图5–2–4③,你认为
(1)中的结论还成立吗?
若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
(二)见“双直角”用四点共圆[9]
例5–2–3如图5–2–5,BF、CD是△ABC的两条高,E是BC的中点,∠A=50°,求∠DEF.
交流分享:
EB=ED=EC=EF,B、D、F、C四点在同一圆上,∠DEF=2∠ABF.
例5–2–4如图5–2–6,已知AC、BD相交于O,BA=BO、CD=CO,P、M、N分别是BC、OA、OD的中点,∠ABO=2α.
求证:
△PMN∽△BAO.
交流分享:
连接BM、CN后,方法同例5–2–3.
体验与感悟5–2–2
1.如图5–2–7,在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则在:
①EF=FD;②AD︰AB=AE︰AC;③△DEF是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°是,BE=
DE.这五个结论中一定正确的个数是()
A.2B.3C.4D.5
2.如图5–2–8,从边长为2的正方形中心O作两条相互垂直的射线,分别于正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是.
3.如图5–2–9,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,∠A=∠C=90°,AD=BC=3,AB=CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥PD交直线BE与点Q,当点P与A,B两点不重合时,求DP︰PQ的值.
提醒:
回顾一下“双直角”吧!
三、见垂直用面积法建立方程[8]
解法归一:
有两个以上垂直的题目,可以考虑可否用面积法建立方程解答.
例5–3–1
(1)如图5–3–1,在□ABCD中,AE⊥BC与E,AF⊥CD与F,若AE=4,AF=6,□ABCD的周长为40,则□ABCD的面积等于.
2如图5–3–2,△ABC是等边三角形,点D是BC上任意一点,DE⊥AB与点E,DF⊥AC与点F,若BC=2,则DE+DF=.
(3)如图5–3–3,在△ABC中∠ACB=90°,以AC为直径的半圆O与斜边AB交于点D,若AC=5,BC=5,BC=4,则CD=.
交流分享:
(1)BC︰AE=CD︰AF;
(2)连AD,BC边上高为h,则可由S△ABD+S△ACB=S△ABC求得DE+DF的值.(3)AB︰CD=AC︰BC.
例5–3–2,
(1)已知在四边形ABCD中AC=8,BD=6,AC⊥BD,设图5–3–4①、图5–3–4②中的四边形ABCD的面积分别为S1S2.则S1=,S2=.
(2)请你就“对角线相互垂直的四边形”的面积与它的两对角线的关系提出猜想,并举一个你学过的特殊四边形进行佐证.
(3)如图5–3–4③,a、b、c是过△ABC三顶点的中线,直线b交AC于点D,且a∥b∥c,设BD=l,a、c两直线间距离为h,请用h,l表示△ABC的面积,并说明理由.
提醒:
回顾一下例5–3–2,能发现什么?
1.如图,矩形ABCD中AB=3,BC=4,点E在对角线BD上,BE=BC,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R.
(1)如图5–3–5①,求当点P不与点E、点C重合时PR+PQ的值.
(2)如图5–3–4②,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其他条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想.
2.在锐角△ABC中,AB=AC,CD⊥BA于D,把一个含30°的直角三角尺按如图5–3–6所示的位置摆放:
该三角尺的直角顶点为E、一条直角边与AC边在一条直线上、另一条直角边交底边CB的延长线与点F,作FG⊥射线AB于点G.请你猜想并写出EF、FG、CD之间满足的数量关系,然后证明你的猜想.
3.(Ⅰ)探究新知:
如图5–3–7①,过△ABC的三个顶点的三条直线l1∥l2∥l3,l1与l3之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),l2在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.求证:
S△ABC=
ah.
(Ⅱ)解决问题:
如图5–3–7②,已知二次函数y=-
x2+
x+4的图像与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,连接AC.
x
l1
l2
l3
h
E
a
C
B
A
(1)写出直线AC的解析式;
(2)点P为抛物线上的第一象限内一个动点,过P做y轴的平行线,交AC于M、交x轴于N,设P点的横坐标为m,则
①线段MN、PN的长可用含m代数式分别表示为MN=、PN=.
②线段PA、PC,若所得△PAC的面积为S,求出S与m的关系,并m取何值时S有最大值?
四、两直角顶点重合放置必有等角[8]
解法归一:
其实两个任意等角顶点重合放置时必须有等角,直角的情况只是其特别而已、借助这对等角再找全等三角形或相似三角形.(更多例子请看本书第9单元旋转探究)
例5–4–1,OA⊥OC、OB⊥OD,
(1)∠AOB=∠;
(2)∠AOD+∠BOC=∠;
(3)若∠AOD=30°,则∠BOC=.
注:
本题为“两直角顶点叠放”的最基本图形.
例5–4–2,如图5–4–2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6
,求另一个直角边BC的长.
交流分享:
两直角相对,从一直角顶点向另一直角两边分别作垂线,造新直角.
体验与感悟5—4
1.如图5—4—3边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,则两个正方形重叠部分的面积等于.
2.如图5—4—4,正方形ABCD和正方形DEFG的顶点C、D、E在双曲线y=
上,A、B、F在坐标轴上,则点E的坐标为.
3.在同一平面内将等腰直角三角形ACB(∠ACB=90°)的顶点A发在直线MN上,过点C、点B分别作CE⊥MN与E、BF⊥MN于点F.
(1)如图5—4—5①,求证:
AF+BF=2CE;
(2)请你猜想图5—4—5②中线段AF、BF、CE之间的数量关系,再给出证明.
I
H
交流分享:
见有以直角顶点为端点的射线或线段时,再作一条射线或线段造一新直角。
4.如图5—4—6,将一块腰长为
的等腰直角三角板ABC放在面直角坐标系第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(-1,0),点B在抛物线y=ax2+ax-2上.
(1)点A、B的坐标分别为A,B.
(2)抛物线的关系式为.
(3)将三角形ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,达到△AB′C′的位置.请判断点B′、C′是否在
(2)中的抛物线上,并说明理由.
交流分享:
绕一个角的顶点旋转90°,恰好出现两个有公共顶点的直角.
提醒:
请回顾一下上面题目的特点与方法吧.
五、勾股定理[8]
联想融通:
对直角很熟悉吧,试试看你能想上几种判定直角的方法,要多于5种哟!
①证得两线交角为90°、②同平面内一条直线垂直于平行线中一条也垂直于另一条、③用等腰三角形三线合一、④邻补角的平分线互相垂直、⑤三角形两角和为90°、⑥平行线中的同旁内角平分线互相垂直、⑦一个三角形与另一个三角形全等或相似、⑧用轴对称性质、⑨勾股定理、⑩切线性质、证得四边形为矩形或正方形````````只要你从做过的题中去找,还有很多,但必是源自垂直定义、勾股定理两类之一(切线来自点到直线的距离,也源自垂直定义)。
说明:
勾股定理既是判定直角最基本的方法之一,更与相似、锐角三角函数一起,并称“几何中求线段长的三大基本方程模型”.
勾股定理的用法有很多,本处只对利用勾股定理拼图的探究题进行研究.
解法归一:
算出面积和得正方形面积、进而得正方形边长;再依边长造Rt△.
例5—5—1边长分别为a,b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图5—5—1所示的方法摆放.
(1)请你作一个正方形,要求:
①正方形ABCD和EFGH中各有一个顶点式新正方形的顶点;②新正方形的面积等于a2+b2;③保留痕迹,不写作法;
(2)请你说出作图的依据来.
(3)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接成为一个正方形?
请简要说明你的理由.
交流分享:
在等积饼图题中,借助勾股定理找新图边长是非常重要的方法.
体验与感悟5—5
1.在边长为1的正方形网格中有5个正方形如图5—5—2摆放,请你通过适当的剪拼把它拼成一个新正方形.
2.在图5—5—3①至5—5—3⑤中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例:
当2b>a时,如图5—5—3①,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG合CG,裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.
思考发现:
小明在操作后发现:
该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置,易知EH与AD在同一直线上.连结CH,由剪拼方法可得DH=BG,故△CHD≌△CGB,从而又可将△CGH绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置.这样,对于剪拼得到的四边形FGCH(如图5—5—3①),过点F作FM⊥AF于点M(图略).利用SAS公里可判断△HFM≌△CHD.易得FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°.进而根据正方形的判断方法,可以判断出四边形FGCH是正方形.
实践探索:
(1)正方形FGCH的面积是;(用含a,b的式子表示)
(2)类比图5—5—3①的剪拼方法,请你就图5—5—3②至图5—5—3④的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展:
小明通过探究后发现:
当b≤a时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.当b>a时,如图5—5—3⑤的图形能否剪拼成一个正方形?
若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
六、第05单元提高题[8]
1.如图5—6—1,在直线l上一次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是3、4、5,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=.
2.如图5—6—2,在平面直角坐标系中放置了5个正方形(用阴影表示),点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是()
A.3+3/18B.3+1/18C.3+3/6D.3+1/6
3.如图5—6—3,一次函数y=-2/3x+2的图像分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.则直线BC的解析式为.
4.如图5—6—4,l1∥l2∥l3∥l4,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上.作AF⊥l3于F交l2于点H,作CE⊥l2于点G.如果四条平行线不等距,试用h1,h2,h3表示正方形ABCD的面积S.
5.如图5—6—5①,D、E、F分别为△ABC三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c.
(1)则线段BC的长为;
(2)求证:
DG平分∠EDF;
(3)连接CG,如图5—6—5②,若△BDG与△DFG相似,求证:
BG⊥CG.
交流分享:
A第
(2)问用第
(1)问结论,第(3)问用第
(2)问结论,别忘用结论!
B这是一道用“直径所对圆周角是直角”得初中的题目,因学生做此类题较少,所以感觉难度大些.
6.如图5—6—6①,点A为(1,0),点D是x轴正半轴上一个动点(OD>1),分别以OA、BD为边在第一象限内作正方形OABC、正方形DBFE,M为正方形DBFE的中心.
定义:
只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.
(1)试找出图5—6—6①中的一个损矩形.
(2)试说明
(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上.
(3)如图5—6—6②,作直线MA交y轴于点N,随着点D位置的变化点N的位置是否会发生变化?
若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由.
(4)在如图5—6—6③中,过点M作MG⊥y轴于点G,连结DN,若四边形DMGN为损矩形,求D点坐标.
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