椭圆周长和面积计算公式.docx
- 文档编号:24832484
- 上传时间:2023-06-01
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:84.64KB
椭圆周长和面积计算公式.docx
《椭圆周长和面积计算公式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆周长和面积计算公式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆周长和面积计算公式
椭圆周长、面积公式
椭圆定理(又名:
椭圆猜想)
椭圆定理
(关键词:
椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。
)
一、椭圆第一定义
椭圆第一定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆第一定义的数学表达式:
MF1+MF2=2a>F1F2
(由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂。
M为动点,F1、F2为定点,a为常数。
在椭圆中,用a表示长半轴的长,b表示短半轴的长,且a>b>0;2c表示焦距。
二、椭圆定理
(一)椭圆定理1(椭圆焦距定理
椭圆定理I:
任意同心圆,小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。
该椭圆中心在同心圆圆心,焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图:
椭圆的奥秘图解之一(焦距定理)(略)
(二)椭圆定理H(椭圆第一常数定理)定义1:
0=2/(n2),K1为椭圆第一常数。
定义2:
f=b/a,f为椭圆向心率(a>b>0)。
定义3:
T=K1+f,T为椭圆周率。
椭圆定理椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合,椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
(三)椭圆定理皿(椭圆第三常数定理)
椭圆具有三特性,也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时,椭圆为向外膨胀型,其焦点在以b为半径的圆内;
2、当椭圆b=c时,椭圆为相对稳定型,其焦点在以b为半径的圆上;
3、当椭圆bvc时,椭圆为向内收缩型,其焦点在以b为半径的圆外。
定义:
任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位,用A表示,称为椭圆单位。
根据椭圆第一定义,a2=b2+c2,且a>b>0,则有:
b2+c2=1(椭圆单位)
当b=c时,2b2=1(椭圆单位),b=根号1/2(椭圆单位)。
定义:
K3=根号1/2,K3为椭圆第三常数。
椭圆定理川:
椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。
当椭圆b>c时,椭圆向心率(f)大于椭圆第三常数
(K3),椭圆离心率(e)小于椭圆第三常数(K3),椭圆为向外膨胀型;当椭圆b=c时,椭圆向心率(f)和椭圆离心率(e)都等于椭圆第三常数(K3),椭圆为相对稳定型;当椭圆b 椭圆为向内收缩型三、椭圆周长、面积计算公式和定理 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式: L=2nb+4(a-b) 椭圆周长定理: 椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2nb加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=nab 椭圆面积定理: 椭圆的面积等于圆周率(n)乘该椭圆 长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T, 但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。 常数为体,公式为用。 圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。 椭圆中有常数K1和K2,椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式,一个为体,一个为用。 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义,用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且a>b>0。 椭圆周长公式: L=2nb+4(a-b) 椭圆周长定理: 椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2nb加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 椭圆面积公式: S=nab 椭圆面积定理: 椭圆的面积等于圆周率(n)乘该椭圆 长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 (1)发现椭圆常数 常数在于探索和发现。 椭圆三要素: 焦距的一半(c), 长半轴的长(a)和短半轴的长(b)。 椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。 椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围: 4avL<2冗a (1) 椭圆周长猜想: L=(2na4a)T (2) T是猜想的椭圆周率。 将 (1)等式与 (2)等式合并,得: 4a<(2n-4a)T<2na(3) 根据不等式基本性质,将不等式(3)同除(2n-4a),有: 4a/(2n4a) 简化表达式(4): 2/(n) 定义: K仁2/(n2);K2=n/(-2) 计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数: K1=1.75193839388411……K2= 2.75佃3839388411…… 椭圆第二常数: K2=K1+1 椭圆常数的发现过程描述简单,得来却要复杂得多。 (2)椭圆周长公式推导 长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆,却忽视了椭圆a与b的关系。 定义: 椭圆向心率为f,仁b/a。 根据椭圆第一定义,椭圆向心率f,有0vf<1的范围。 K1+fvK2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。 定义: T=K1+f,将此等式代入等式 (2)则有: L=(2naa)T=2(-2)a(K1+f) =2(-2)a(2/(-2#+b/a)=2nb+4a椭圆周长计算公式: L=2nb+4(&b) (3)椭圆面积公式推导 椭圆面积的取值范围: OvSVna2(5) (由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂。 ^口: 上式中na2为n乘a的二次方。 )椭圆面积猜想: S=na2T(6) T是猜想的椭圆面积率。 将(5)等式与(6)等式合并,得: 0vna2T 根据不等式基本性质,将不等式(7)同除na2则有: 0VTV1。 可得: S=na2T=na2(K+f)(8) 在等式(8)中K=0,仁b/a,代入等式中: S=na2b/a=nab 椭圆面积计算公式: S=nab 关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题 易亚苏 《椭圆定理》一文中有: 定义1: K1=2/(n-2),K1为椭圆第一常数。 定义2: f=b/a,f为椭圆向心率(a>b>0)。 定义3: T=K1+f,为椭圆周率”有聪明的网友提出定义: T=k1+f没有依据”现就此问题作出如下分析说明。 在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中,有“T是猜想的椭圆周率”,并定义: T=K1+f(《椭圆定理》中也有此定义,见上)。 《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式: 2/(n) 定义: K1=2/(n2);K2=n/(-2)。 这样定义理当无可非议。 那么,K1VTVK2,因为k2=k1+1,也可以说T是k1到k1+1之间的数,数学表达式为: k1 对于具体椭圆而言k1 (a>b>0)(参见《椭圆定理》)。 因为0vf<1,所以klvTvk1+1与T=K1+f有同样的代数内含。 所谓同样的代数内含”是思维数学。 由椭圆定义,a>b>0,因为f=b/a,即卩0vfvl。 当b接近0时,椭圆接近双直线,其长度近似于4a;当b接近a时,椭圆接近圆,其周长近似于2na当b在0与a之间变化时,形状为椭圆,其周长为L=2nb+4(a-b)。 以下作简要分析,如果把椭圆的a作为椭圆单位,那么f=B(椭圆单位),B=b/a(椭圆单位),其中0VBV1,也即Ovfvl。 T=k1+f,klvTvk1+1或klvTvk2,即是2/(n)vTvn/(-2*。 注: 椭圆单位的概念很重要,切记并体会其内含! 在《椭圆定理》短文中首次提出了椭圆单位”勺概念,定义: 任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位,用A表示,称为椭圆单位”。 其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来,也是基于椭圆单位”的思考而来。 研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数: K1=1.75193839388411……K2=2.75193839388411……这两个奇特的数里包含了n,n是圆周率,仁b/a是0到1之间的小数,那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了n的特定数,所以定义T为椭圆周率”椭圆周率与圆周率不同,圆周率是固定的值n,椭圆周率是变化的 值T=k1+f,它随椭圆b与a的比值变化而变化。 从某种意义上说圆是椭圆的范围,由于椭圆定义了a>b>0,所 以只能称圆是椭圆的范围”而不能称圆是特殊的椭圆。 但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考,所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形,只能发出圆完美的和谐,椭圆和谐的完美”这样的感叹。 笔者认为任何科学研究的方法都基于: 1、发现特殊现象;2、提出假设或猜想;3、利用假设或猜想做出结论;4、对结论进行检验。 《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。 笔者认为论文不在长短,而在其价值。 当今的椭圆理论是不完整的(比如只有近似的椭圆周长计算公式,缺少标准的椭圆周长计算公式),那么椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。 任何科学的原始依据从哪里来? 从发现来。 对特殊现象的发现加以总结,通过检验就可以成为理论;理论升华就是科学,科学也是理论依据的源泉。 (四) 椭圆周长无疑在4a 椭圆里的B(B=b/a椭圆单位)从0到1的平滑变化,必然导致其 椭圆周长的平滑变化。 椭圆是平滑的闭合曲线,其周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。 所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率,f=b/a, (a>b>0)。 如果引用椭圆单位,则4vL<2冗(椭圆单位)。 在《椭圆定理》短文中有后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”,可惜网上尚未能表示出验算公式表”,相信您用Excel可以很容易作出验算公式表”,并可以对椭圆周长计算公式L=2nb+4(ab)进行序列的直观检验。 椭圆周长计算公式L=2nb+4(<-b)中虽然没有出现椭圆周率T,但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。 常数为体,公式为用。 (五) 当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一,现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值,这也是科学的遗憾之一,所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。 笔者认为一个公式的对与错,既有意义也没有意义,因为科学是发展的,科学是循序渐进的过程。 科学探索的过程是寂寞而愉快的,但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确,如果没有这样的观念,科学也就难于进步。 10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义,然而10的负50次方对现代人而言可以代表0,也可以不代表0。 随着科学技术的提高,10 的负N次方的意义也在发生变化。 宇宙之浩大,用椭圆周长的近似公式去研究宇宙,今天不出问题,明天必定要出大问题。 人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的,科学发展到今天,我们更要具有科学发展观。 任一部分椭圆面积 22耳 橢圜方#呈: 二十二三 AJ.-j 椭圆周长 赭确周长人=4aE(e^-)=4a/sin[/)24z J 其中: 舉为描圆的离心皋,J 22|_⑵辽4」 近似周氏La兀[1方&+町-^] (1)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式: L=2nb+4(*b) 椭圆周长定理: 椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2nb加上四 倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (2)椭圆面积计算公式椭圆面积公式: S=nab 椭圆面积定理: 椭圆的面积等于圆周率(n)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过 椭圆周率T推导演变而来。 常数为体,公式为用。 近似L=V(4abnA2+15(h)A2)(1+MN)(M=4/V1-5、N=((a-b)/a)A9)近似L=nQ(1+3h/(10+V3h))(1+MN)(Q=a+b、H=((a-b)/(a+b))A2、M=22/7n、M=((a-b)/a)A33.697、) 标准L=Q兀(1+"2/4+斤八4/4八3+斤八6/4八4+5八2勺八8/4八7+7八2勺八10/4八8…)(h=(a-b)/(a+b),Q=a+b,) 几何图形及计算公式查询 ||*平面图形 名称 符号 周长C和面积S 正方 1形 a—边长 C=4a S=a2 长方形 a和b—边长 C=2(a+b) S=ab 三角形 a,b,c—三边长h—a^边上的高s—周长的一半 A,B,C—内角 其中s= (a+b+c)/ 2 S=ah/2 =ab/2・sinC 1/2 =[s(s-a)(s-b)(s-c)] 2 =asinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D—只寸角线长a—对角线夹角 S=dD/2•sina 平行四边形 a,b—边长h—a边的 S=ah =absina 高 a一两边夹角 菱形 a一边长a一夹角D-长对角线长d—短对角线长 S=Dd/2 2.=asina 梯形 a和b— 上、下底长h—咼m—中位线长 S=(a+b)h/2=mh 圆 r—半径d—直径 C=nd=2nr S=nr2 =nd/4 扇形 r—扇形半径a—圆心角度数 C=2r+2nrX(a/360) S=nr2X(a/360) 弓形 l一弧长b—弦长h—矢高 2 S=r/2•(na/180-sina) 2 =rarccos[(r-h)/r]- 21/2(r-h)(2rh-h2) r—半径a—圆心角的度数 2 =nar/360- 221/2 b/2・[r2-(b/2)2] =r(l-b)/2+bh/2 ~2bh/3 圆环 R—外圆半径r—内圆半径 D-外圆直径 d—内圆直径 S=n(R2-r2) —n(D2-d2)/4 椭圆 D—长轴d—短轴 S=nDd/4 立方图形 名称 符号 面积S和体积V 正方体 a—边长 S—6a2 V—a3 长方体 a—长b—宽c—咼 S—2(ab+ac+bc) V—abc 棱柱 S—底面积h—咼 V—Sh 棱锥 棱台 拟柱 体 圆柱 空心 S—底面积h—咼 S和S2—上、下底面积h—咼 S—上底面积 S2—下底面积 So—中截面积h—咼r—底半径h—咼 C—底面周长 S底一底面积 S侧一侧面积 S表一表面积 R—外圆 V=Sh/3 V=h[Si+S2+(SiS)1/2]/3 V=h(Si+S+4S)/6 C=2nr S底=nr2 S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =nr2h V=n 2 -r 圆柱 半径r—内圆半径h—咼 直圆锥 r—底半径h—咼 V=nr2h/3 圆台 r—上底半径 R-下底半径h—咼 V=nh(R2+Rr+r2)/3 球 r—半径d—直径 V—4/3nr3—nd2/6 球缺 h—球缺高 r—球半径 a—球缺底半径 V—nh(3a2+h2)/6—nh2(3r-h)/3a2—h(2r-h) 球台 ri和「2—球台上、下底半径h—咼 V—nh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环 R-环体 V—2n2Rr2 体 半径D-环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径 —n2Dcf/4 桶状体 D-桶腹直径d—桶底直径h—桶高 V—nh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V—nh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛物线形)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 椭圆 周长 面积 计算 公式
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)