图论在网络中的应用【大学毕业论文】.docx
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新疆财经大学本科毕业论文
题目:
图论在网络中的应用
学 号:
2007100677
学生姓名:
努尔曼古.吾布利
院 部:
应用数学学院
专 业:
数学与应用数学
年 级:
数学06-2班
指导教师
姓名及职称:
热西旦.湖加(讲师)
完成日期:
2011年4月15日
摘要
随着高科技时代的到来,图与网络技术的应用越来越广泛。
特别是计算机科学和生物信息科学的发展提出了许多新的问题需要用图论方法来解决。
现实生活中的许多问题都可以用一个图来表示。
例如,用点表示城市,若两个城市之间有一条铁路相连,则在两个点之间连一条边。
这样一个交通网络就可以用一个图来表示。
同样地,点表示计算机,用边表示两个计算机之间有信息传递,则计算机网络就可以用一个图来表示。
类似地,化学中的分子结构,物理学中的电网络,生物信息学中蛋白质之间的相互作用都可以用一个图来表示。
更一般地,用点表示物体,两个物体之间存在某种关系,则对应的顶点之间连一条边,所形成的图便表示物体之间的关系。
将实际问题用一个图或网络来表示,通过研究图的性质来解决这些问题,这就是图与网络技术,也称为网络分析。
在日常生活和生产中许多问题都可以用一个网络来描述。
例如,交通网络,计算机网络,工程进度网络,生物信息网络和互联网等。
而网络通常可以用一个图来表示。
图论方法可用来解决网络优化中的问题,某些特殊的线性规划问题,用图论方法来解决,则会得到一些更有效地算法。
本论文主要介绍图和互联网络的基本概念及常用的术语,树在网络中是怎么应用和连通度的应用。
关键词:
图;互联网络;连通度;拓扑结构
目录
一、前言 1
二、图和互联网络的基本定义 2
2.1图的基本概念 2
2.2互联网络概念 3
三、图和网络中常用的术语 4
3.1子图和子网络 4
3.2度、路、链和迹 6
3.3图的邻接矩阵 9
四、树在网络中的应用 9
五、连通度及应用 12
5.1连通度 13
5.2网络容错性 14
结束语 16
参考文献 17
致谢 18
一、前言
1731年,瑞士数学家L.Euler(欧拉)在他的一篇论文中讨论了格尼斯堡(Konigsherg)七桥问题,由此诞生了一个全新的数学分支—图论(Graph Theory)。
在经历了200多年的发展之后,图论已经积累了大量的理论和结果,其应用领域也逐步扩大。
最初,图论主要用来讨论游戏中遇到的问题;19世纪末期,图论已经用来研究电网络方程组和有机化学中的分子结构;20世纪中叶以后,借助于计算机,图论又用来求解生产管理、军事、交通运输、计算机以及通信网络等领域中的许多离散性问题,同时图论中的一些著名问题也借助于计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学和管理科学等领域中的应用越来越受到人们的重视。
实践证明,图论是设计和分析网络的最基本且强有力的数学工具,因为互联网络的拓扑结构就是图。
这个事实已被计算机科学家和工程技术人员所接受并广泛应用。
日常生活和生产中的许多问题都可以用一个网络来描述。
例如,通网络,计算机网络,工程进度网络,生物信息网络和互联网等。
而网络通常可以用一个图来表示。
图论方法可用来解决网络优化中的问题,也称为图与网络技术。
图论的应用非常广泛,不仅局限于数学和计算机科学,因此各专业的学生都应该打下一定的图论基础,这样他们就会多掌握一种强大而灵活的工具来分析的处理自己学科领域中的问题。
19
二、图和互联网络的基本定义
用图来表示互联网络拓扑结构这一事实已被计算机科学工作者和工程技术人员广泛接受和运用。
而且,在实践上已被证明,图论是设计和分析互联网络拓扑结构的一个非常有用的数学工具。
2.1图的基本概念
我们所说的图G是由点及点之间的连线组成的有序二元组
(V(G),E(G)),其中,V(G)是G的顶点集,V(G)中元素称为G的顶点;
E(G)ÍV(G)´V(G)称为G的边集,E(G)中元素称为G的边。
边中的一
对顶点称为该边的端点。
两个端点落在一个顶点的边称为环。
具有相
同端点的边称为多重边。
不与任何边关联的点称为孤立点。
v(G)=V(G)是图G中的顶点数目,也称为G的阶。
e(G)=E(G)是G的
边数。
只有一个点v(G)=1的图称为平凡图。
没有任何边e(G)=0的图称为空图,并将空图记为Æ。
任何图G=(V,E),若v(G)和e(G)都是有限的,
则称G为有限图;否则称G为无限图。
既没有环,也没有重边的图称
为简单图。
无环,但允许有多重边的图称为多重图。
一个简单图中若任意俩个点之间均有边相连,称这样的图称为完全图。
具有n个点的
完全图记作Kn
(n³1),其边数有1n(n-1)条。
2
设V={v1,v2,...,vn}是由n个顶点组成的非空集合,
E={e1,e2,...,em}是由m条弧组成的集,且知E中元素e是V中一个有序
元素对(vi,vj),则称V和E这两个集合构成一个有向图,记为
D=(V,E)。
有向图的边e=(vi,vj)称为有向边,分别称为vi和vj为e的起点和终点;也称e为顶点vi的出边,或者顶点vj的入边。
设V={v1,v2,...,vn}是一个由n个顶点组成的非空集合,
E={e1,e2,...,em}是一个由m条边组成的集合,并且E中元素e是V中的一个无序元素对{vi,vj}。
则称V和E这两个集合共同构成一个无向图
(也简称为图),记为G=(V,E)。
无向图的边有时叫无向边。
若两点
之间有边相连,则两点称为相邻的;若两个边有一个公共顶点,则两边称为相邻的。
一个从图G到图H的同构是一个双射f,它将V(G)映射到V(H),
将E(G)映射到E(H),使得G的端点为vi、vj
条端点为f(vi)和f(vj)的边:
的每一条边映射到一
(vi,vj)ÎE(G)Û(f(vi),f(vj))ÎE(H)。
这样的双射f称为图G与图H之间的同构。
在同构的意义下,n阶完全图和完全二部图是唯一的,分别用Kn和Km,n表示。
2.2互联网络概念
一个系统可以定义为对象或者元件族,它们被相互连接形成具有确定功能或者目的的整体。
系统所能实现的功能是由系统中元件所具有的功能和元件的互连方式来决定的。
具有多个相互独立的处理器系统称为多处理系统。
因此,一个多处理系统可以被认为是包含两个或者两个以上处理器集成的计算机。
定语“集成”意味着在执行程序过程中处理器之间的相互合作。
由成千上万个处理器组成的多处理系统赤称为超级处理系统,它具有运行并行算法的能力以解决超大规模的实际问题。
系统中元件之间的连接模式称为该系统的互联网络,或者简称为网络。
拓扑上讲,一个系统的互联网络本质上刻画了该系统的结构特征。
换句话说,系统的互联网络逻辑上指定了该系统中所有元件之间的连接方式。
显然,互联网络可以用图来表示。
图的顶点表示系统中的元件,图的边表示元件之间的物理连线,其中有向边表示单向通信连线,无向边表示双向通信连线,而关联函数指定了元件之间的连接方式。
这样的图称为互联网络拓扑结构,或者简称网络拓扑。
例如,以Kn为拓
扑结构的互联网络称为全连通网络。
图也可以看成是某个互联网络的拓扑结构。
从拓扑上讲,图和互联网络是一回事。
因此,将网络、元件和连线说成是图、顶点和边,反之亦然。
图是有向边的还是无向边的,根据通信连线是单向的还是双向的决定。
网络拓扑通常能划分成两个范畴:
动态的和静态的。
在动态系统中,网络结构随开关元件的类型而变化。
在静态系统中,处理器之间的连接是被动的,系统的重构是不可能的,因此网络结构是固定的。
三、图和网络中常用的术语
3.1子图和子网络
图G的子图是一个图H,它满足V(H)ÍV(G),E(H)ÍE(G)且
H中边的端点的分配和G中的一样。
我们用HÍG来表示“G包含H”。
设图H是G的一个子图,若V(H)=V(G),则G的子图H称为支撑
子图。
设V¢是V(G)的一个非空子集,则以V¢作为点集、以两端点均在
V¢中的所有边为边集的子图称为由V¢导出的G的子图,记为G[V¢],简称点导出子图。
记号G-V¢表示导出子图G[V\V¢]。
设E¢是E(G)的一个非空子集,则以E¢作为边集,以E¢中边的所有端点作为点集的子图称为由E¢导出的G的子图,记为G[E¢],简称边导出子图。
记号G-E¢表示支撑子图G[E\E¢]。
同样地,G+F表示在
G中添加边集F后得到的图。
子图被用来表示子网络。
如果G是互联网络的拓扑结构,那么
G+F表示为了改进网络的性能而添加连线集F而得到的网络;
G-V¢和G-E¢分别表示网络包含一个故障点集V¢和故障连线集E¢。
本质上讲,互联网络应该包含某些给定类型的子网络。
这些因为计算机系统的功能是执行某些算法。
算法也可以用图G来表示。
G的
顶点表示执行该算法所要求的设备,G的边表示这些设备之间的连线。
这样的图G叫做该算法的通信模式。
因此,算法能在计算机系统G中
执行当且仅当该算法的通信模式同构与G的子图。
设G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)是G的两个子图。
若V1IV2=Æ,则称
G1与G2不交的。
若E1IE2=Æ,则称G1与G2边不交的或边不重的。
设G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)是G的两个子图。
称以E1UE2为边集,
以E1UE2中边关联的顶点组成的集合为顶点集的图为G1与G2的并图,记作G1UG2。
如果G1和G2是不交的,有时记G1UG2为G1+G2;称以
E1IE2为边集,以E1IE2中边关联的顶点组成的集合为顶点集的图为
G1与G2的交图,记作G1IG2。
3.2度、路、链和迹
定义3.1 设G=(V,E)为一无向图,"vÎV,称v作为边的端点次数之和为v的度数,简记为度,记作dG(v),在不发生混淆时,简记为d(v)。
设D=(V,E)为有向图,"vÎV,称v作为边的始点的次数之和为
D
v的出度,记作d+(v),简记作d+(v)。
称v作为边的终点的次数之和为
D
v的入度,记作d-(v),简记作d-(v),称d+(v)+d-(v)为v的度数,记作
d(v)。
在无向图G中,令
D(G)=max{d(v)|vÎV(G)}
d(G)=min{d(v)|vÎV(G)}
称D(G),d(G)分别为G的最大度和最小度。
在有向图D中,类似可定义最大度D(D)和最小度d(D)。
另外,令
D+(D)=max{d+(v)|vÎV(D)}
d+(D)=min{d+(v)|vÎV(D)}
D-(D)=
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