高等数学复习提纲同济大学下册完整版.docx
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高等数学复习提纲同济大学下册完整版
高等数学复习提纲同济
大学下册
高等数学复习提纲
—、考试题型
1•填空题6题
2•计算题8题
二、知识点
1・平面及其方程。
例题:
一平面过点(1O1)且平行于向量α(211)和10)试求这平面方程
解所求平面的法线向量可取为
iJk
n=a×b=211=i+j-3k?
1-10
所求平面的方程为
(xl)(y0)3(zl)0即xy3zA0
2・空间直线及其方程。
例题:
求过点(203)且与直线E聲垂直的平面方程
解所求平面的法线向量死可取为已知直线的方向向量即
ijk
H=(I,-2,4)×(3,5,-2)=1-24=-16i+14/+11⅛?
35-2
所平面的方程为
16(x2)14Cyo)II(Z3)0
即16xl4yllz650
例题:
求过点(312)且通过直线宁=中=彳的平面方程
解所求平面的法线向量与直线宁=耳=彳的方向向量"(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量盹(430)(312)(142)⅛是垂直的因此所求平面的法线向量可取为
ijk
n=SiXSi=521=Si-9j-22k?
^1-42
所求平面的方程为
8(x3)9(yl)22(z2)0
即8x9y22z590
3.旋转曲面。
例题:
将ZOX坐标面上的抛物线去5兀绕兀轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程
解将方程中的Z换成±的?
得旋转曲面的方程>论25兀
例题:
将ZoX坐标面上的圆“刊绕Z轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程
解将方程中的兀换成土声得旋转曲面的方程x2Λ29
4・多元复合函数求导,隐函数求导。
例题:
求函数的全微分
解dz=^rdx+^Ldy=--exdx-∖--eγxdy
OXOyX-X
例题:
设zw2lnV而U=丄v3x2y求企鼻
yOXOy
解生=乞.西+虫.空∂x∂u∂x∂v∂x
=2i∕lnv∙-+-∙3=≡ι∏(3χ-2y)+—-__7yVy2J(3x-2y)y2
=2WInV∙(-⅛+-(-2)=
V
⅛ln(3x-2y)
2x29
(3x-2y)y2'
例题:
设ze-x2y而XSin/yp求第
解孚=李羊+务字=严COSk2几(_2)安dt∂xClt6dt
=ev~2y(cosr-&2)=£湎-2?
(cos/—&2)?
例题:
设SinyΛy20求芈
ClX
解令F(Xy)sinyexxy2则FXeXyIFVCOSy2xydy_FX_e2-y2_y2-ex9
dxFXCOSy-2xyCoSy-2xy
例题:
设InJX?
+y2=arctan丄求©
・Xdx
解令F(x,y)=∖ny∣x2+y2-arctan^则
1・(」)=W
l+g)2妒宀护
X
L1W
y∣x2+y22x∕x2+y2
dy=F<=x+y?
dxFVx-y*
9
例题:
∫∫(x2+y2)√σ其中D{(xy)∖IXllIyIl}
D
解积分区域可表示为DIxlIyl于是=^I(ZV2+∣)JX=[∣x3+∣⅛=|?
例题:
∫∫Λ-cos(v+y)Jσ其中D是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域
解积分区域可表示为DOXOyX于是
例题:
利用极坐标计算下列各题
(1)∫∫/2dσ,其中D是由圆周/护4所围成的闭区域D
解在极坐标下D{()∣0202}所以
⑶∫∫arctan-dσ其中D是由圆周Xy4“円及直线yθ所围成的第—象限内的闭区
域
解在极坐标下D={(")∣0≤8筍,1≤q≤2}所以
=F呵:
仇吋必=詈?
5・求曲顶柱体体积。
例题:
求由曲面齐2尸及z62巧2所围成的立体的体积
解由hf÷2f7消去Z得兀2+2〉,2=62巧2即Xy=2故立体在XOyZ=6-2x__y_
面上的投影区域为χ2v22因为积分区域关于兀及y轴均对称并且被
积函数关于*y都是偶函数所以
=12∫'-6∕λ^^A(2-W一y2)dy=8『~J(2-x1)'dx=6”?
例题:
计算以2);平面上圆域Λ2>⅛Y围成的闭区域为底而以曲面为顶的曲顶柱体的体积
解曲顶柱体在兀Oy面上的投影区域为D{(xy)∖x2y2ax}
在极坐标下D={{pβ)∖-^<θ<^^
∫∫(戏+y2)dxdy=E阀"'MP=YECos4创&=寻屮兀?
x2+y2≤αv22
6常数项级数的审敛法。
例题:
判定下列级数的收敛性
(1)丄+丄
2-53-6(/7+1)(/?
+4)
1
(n+l)(n+4)H2
A7J用%IIm=Ilm=1
JW凶刀HToC1n→∞+5并+4
-?
"
∞1
而级数收敛故所给级数收敛
•TC∙TC
SIn——SIn——
r2"r2H
Ilrn—=^lIm-π
解因为"->s∕7→∞71
莎27
OOI
而级数JIF收敛故所给级数收敛
332333〃
ω∏2+2∙22+^2τ+'''+n^2r,+"'
3n
U=
解级数的一般项为nn.2n因为
Iim也=Iim—Iim=->l9
∏SHn∏s(h+1)∙2,7+13"川is2∕ι+l2?
ooO
TI厶Q/?
H=I°
所以级数发散
(2)
解因为
Iim如乩=Iim(P)?
.码=Iirn丄.徑±1)2=丄Vlh→∞Unns3"TIns3Tl3
9
■
所以级数收敛
解因为
股⅞1=黒签辟•芫r2,刖命)"Y<1?
所以级数收敛
00
(3)∑>tan/?
=!
解因为
9
■
所以级数收敛
例题:
判定下列级数是否收敛?
如果是收敛的是绝对收敛还是条件收敛?
(I)I^⅛+⅛^⅛+'"
OC00
解这是一个交错级数∑(-i)π-,^=∑(-ιrl4=其中讣+
W=I∏=l∖∣nyj∣i
因为显然仏心+1并且IinW严0所以此级数是收敛的
∕l→∞
又因为∑∣(-l),,^1¼1∣=∑-7=是Pl的#级数是发散的
∏=l/2=1
所以原级数是条件收敛的
(2)∑c-ιr,^r
W=IJ
解∑κ-ιr,≠r^∑⅛r
H=I3K=I3
料+1
因为|<1所以级数£希是收敛的
n^_n_3zι=13n
3心
从而原级数收敛并且绝对收敛
7•幕级数。
例题:
求下列幕级数的收敛域
1-χ+∣∑+…+(T)z⅞+…?
n2
OC1
因为当Xi时幕级数成为皆Ir是收敛的当幻时幕级数成
S]
为1+S^ς也是收敛的所以收敛域为[11]
r2∕z÷I
解这里级数的一般项为∕=(j)"冷T
rI⅝+ιIrIx2,,+32n+lI2C
因为⅛⅛h⅛⅛∙√^Γl=^由比值审敛法当“1即LXII
时幕级数绝对收敛当X2I即IXlI时幕级数发散故收敛半径为RI
OCI
因为当幻时幕级数成为若(T)"茹了是收敛的当幻时幕级数
X1
成为若(T)E石石也是收敛的所以收敛域为[11]
8.函数展开成幕级数。
例题:
将下列函数展开成兀的幕级数并求展开式成立的区间
(l)sin2x
解因⅛sin2x=∣-∣cosZxE喀(P誌兀()
所以si∏2χ=”£(_1)“岁韦=£(_1)“2岁T%()
厶^n=O(勿貝π=l
兰)_兰
33
例题:
将函数/(Qcos兀展开成(“却的幕级数
cosy+sin(x+y)siιiy
=岳(T)"⅛⅛α+評+云舗號严]~"十)5例题:
将函数
/(X)=丄展开成(x3)的幕级数
X
解丄=Pr冷一J=扭(-1)”(罟)”(-1VFVI)X3+x—33[十夫—33ZZ=O33
I-
即丄1)"(写)"(0vxv6)
Xd“=03
例题:
将函数心击展开成X)的幕级数
11
X~+3x+2x+1x+2
丄=——!
——=-1一=-l∑(Δ+4r(∣Ξ+lkl)
x+1-3+(x+4)3]_x+43,5)33
3
占/―)
⅛=-2÷(a-÷4)=4∑⅛r<⅛l<1>?
2
1“+4)"/Qm
齐rW〒(gv—©
因此/"7⅛Γ喀⅛泮喀⅛泮
=Σ⅛-⅛)(-4Γ(-6 注意复习书上习题 刘华
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