概率论与数理统计习题集及答案.docx
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概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是:
S=
(2)—枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是:
S=;
2.
(1)丢一颗骰子.A:
出现奇数点,贝UA=;B:
数点大于2,则B=
(2)一枚硬币连丢2次,A:
第一次出现正面,则A=;
B:
两次出现同一面,则=;C:
至少有一次出现正面,则C=
§1.2随机事件的运算
1•设A、BC为三事件,用ABC的运算关系表示下列各事件:
(1)A、B、C都不发生表示为:
.
(2)A与B都发生,而C不发生表示为:
(3)A与B都不发生,而C发生表示为:
.(4)A、BC中最多二个发生表示为:
(5)A、B、C中至少二个发生表示为:
.(6)A、BC中不多于一个发生表示为:
2.设S={x:
0_x_5},A={x:
1:
:
x_3},B={x:
2_:
:
4}:
贝y
(1)A一B=,
(2)AB=,(3)AB=,
(4)AB=,(5)AB=。
§1.3概率的定义和性质
1.已知P(AB)二0.8,P(A)二0.5,P(B)二0.6,贝U
(1)P(AB)=,
(2)(P(AB))=,(3)P(AB)=.
2.已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3,则P(AB)=.
§1.4古典概型
1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:
(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.
2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1.5条件概率与乘法公式
1•丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。
2.已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,则P(A_.B)二。
§1.6全概率公式
1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中’的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。
§1.7贝叶斯公式
1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求
(1)该厂产品能出厂的概率,
(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。
2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
§1.8
随机事件的独立性
1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
AB
L1
R
■CD
3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率:
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
第1章作业答案
§1.11:
(1)S二{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
(2)S二{0,1,2,3}
2:
(1)A={1,3,5}B二{3,4,5,6};
(2)A={正正,正反},B={正正,反反},C={正正,正反,反正}。
§1.21:
(1)ABC;
(2)ABC;(3)ABC;(4)ABC;(5)AB_•AC_•BC;
(6)AB_ABC或ABCABCABCABC;
2:
(1)A_B二{x:
1:
:
x:
:
4};
(2)AB二{x:
2二xz3};(3)AB二{x:
3:
:
x:
:
4};
(4)AB二{x:
0弐x玄1或2玄x玄5};(5)AB二{x:
1:
:
x:
:
4}。
§1.31:
(1)P(AB)=0.3,
(2)P(AB)=0.2,(3)P(AB)=0.7.2:
P(AB))=0.4.
2:
P43/43.
§1.51:
.2/6;2:
1/4。
§1.61:
设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10
设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
_21822
=■—
10910910
两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。
2:
随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45
§1.71:
(1)94%
(2)70/94;2:
0.993;
§1.8.1:
用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=ABUCD,
从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
2丄24_24
=pp-p-2p-p
2:
(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38
(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章随机变量及其分布
§2.1随机变量的概念,离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球中的最大号码•,试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,—次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为
止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。
§2.20-1分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;
(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;⑶每分钟最多有1次呼叫的概率;
2设随机变量X有分布律:
X23,Y〜n(X),试求:
p0.40.6
(1)P(X=2,Yw2);
(2)P(Yw2);(3)已知Y<2,求X=2的概率。
§2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算
机是否被使用相互独立,问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少?
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少?
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少?
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率
不小于0.9?
§2.4随机变量的分布函数
0x:
:
:
一1
1设随机变量X的分布函数是:
F(x)=<0.5—1Wxc1
1xH1
(1)求P(X<0);P0:
:
:
X_1;P(X>1),
(2)写出X的分布律。
2设随机变量X的分布函数是:
F(x)=咒X.0,求
(1)常数代⑵p「:
X注.
[0x兰0
§2.5连续型随机变量
1设连续型随机变量X的密度函数为:
fkx
0:
:
x:
1
其他
(1)求常数k的值;
(2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形,
(3)用二种方法计算P(-0.5 0x: : 1 2设连续型随机变量x那勺分布函数为: F(x)= 1xAe (1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形, ⑵并用二种方法计算P(X>0.5). §2.6均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程 4x2+4Kx+K+2=0 有实根的概率。 2假设打一次电话所用时间(单位: 分)X服从0.2的指数分布,如某人正好在你前面 走进电话亭,试求你等待: (1)超过10分钟的概率; (2)10分钟到20分钟的概率。 §2.7正态分布 1随机变量X〜N(3,4),⑴求P(2 (2)确定c,使得P(X>c)=P(X 2某产品的质量指标X服从正态分布, 卩=160,若要求P(120 取多大? §2.8随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y=2X-1,求随机变量X的分布律。 丫=X2;求随机变量Y的密度函数。 p0.40.6为.40.6为.6J0.40.6&6为.6E.40.6为.6J0.6E.6X §2.21: (1)P(X=1)=P(X>1)-P(X>2)=0.981684-0.908422=0.073262, (2)P(X>1)=0.981684, (3)P(X<1)=1-P(X>2)=1-0.908422=0.091578 (2)X的分布律为: X -11 P 0.50.5 2: (1)A=1, (2)P(1vX兰2)=1/6 0X£0 §2.51: (1)k=2, (2)F(x)= 2 十0兰X£1; [1X 1/x1£Xce 2: (1) f(x) =< 、0其他 (2)P(X >2)=1—In2 §2.61 3/5 2 : (1)e^ (2)e<-e"1 §2.71: (1)0.5328, 0.9996,0.6977,0.5; (2)c=3, 2: dw31.25。 §2.81: -1 13 p| 0.3 0.40.3 2: (1)由乘法公式: P(X=2,Yw2)=P(X=2)P(Yw2|X=2)=0.4(皎2e,2e')=2e2 (2)由全概率公式: P(Yw2)=P(X=2)P(Yw2|X=2)+P(X=3)P(Yw2|X=3) 217 =0.45e+0.61e=0.27067+0.25391=0.52458 2 (3)由贝叶斯公式: P(X=2|Yw2)=巴\空gj=O.27067=0.516 P(Y兰2)0.52458 §2.31: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则X〜B(5,0.6), (1)P(X=2)=C2O.62O.43 (2)P(X>3)=C;0.630.42C: 0.640.40.65 445 ⑶P(Xw3)=1-C50.60.4-0.6 第3章多维随机变量 ))))))) §3.1二维离散型随机变量 1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: Z 0 1 2 试根据卜列条件分别求a和b的值; 0 0.1 0.2 a (1)P(X=1)=0.6; 1 0.1 b 0.2 ⑵P(X=1|Y=2)=0.5;(3)设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)=0.5。 §3.2二维连续型随机变量 求 (1)常数k; (2)P(X+Y<1);(3)P(X<1/2)。 §3.3边缘密度函数 1.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求 X与丫的边缘密度函数。 1 222 ■: (1x)(1y) 2.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求 X与丫的边缘密度函数。 0: : yx 其他 §3.4随机变量的独立性 1.(X,Y)的联合分布律如下, 试根据下列条件分别求a和b的值; ⑴P(Y=1)=1/3; 2ab1/9 ⑵P(X・1|Y=2)=0.5;(3)已知X与Y相互独立。 2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数c,并讨论X与Y是否相互独立? f(x,y) cxy 0 0.x: : : 1,0: : : y: : : 1 第3章作业答案 §3.1 X\Y 1 2 \ 1 0.4 0.3 0.7 2 0.3 0. 0.3 0.7 0.3 1 1: (1)k=1; (1)k=8; 2: (1)a=0.1b=0.3 (2)a=0.2b=0.2 (3)a=0.3b=0.1 §3.2 1: 2: (2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8 (2)P(X+Y<1)=1/6;(3)P(X<1/2)=1/16。 (3)P(X+Y<1)=1/3;(4)P(X<1/2)=3/8。 §3.3 1: fx(X) 亠.1 二2(1x2)(1y2)dy -: : : x: : : : : ; 2: fY(y)= ‘-=C. 1 222~dx— 二2(1x2)(1y) 2 二(1y2) §3.4 1: 2: §4.1 1.盒中有 (A)1; fx(X) ^xc xexa0 ; xE0 fy(y)=1 (1)a=1/6b=7/18; (2)a=4/9b=1/9; c=6,X与Y相互独立。 随机变量的数字特征 数学期望 5个球,其中 (B) 2个红球,随机地取3个,用 1.2; (C)1.5; (3) a=1/3,b=2/9。 X表示取到的红球的个数,则EX是: (D)2. 2.设X有密度函数: f(x)二 3x2 8 0 其他,求E(X),E(2X-1),E(*),并求X 大于数学期望E(X)的概率。 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X\y 0 1 2 已知E(XY)=0.65, 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是: 1 0.1 b 0.2 (A)a=0.1,b=0.3;(B)a=0.3,b=0.1;(C)a=0.2,b=0.2;(D)a=0.15,b=0.25。 4•设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下: 求EX,EY,E(XY-1)。 §4.2数学期望的性质 1.设X有分布律: X 0 1 23 则E(X2 -2X+3)是: p 0.1 0.2 0.30.4 (A)1;(B) 2; (C)3; (D)4. 5 2 y1,试验证 2.设(X,Y)有f(x,y)=丿 4y x< E(XY)= E(X)E(Y),但X与Y不 1° 其 丿、 他 相互独立。 D(X). 2.X有密度函数: f(x)=,x+1)/4 0 §4.4常见的几种随机变量的期望与方差 1设X~7. (2),Y~B(3,0.6),相互独立,则E(X-2Y),D(X-2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88;(B)-1和4;(C)1.6和4.88;(D)1.6和-4.88. §4.6独立性与不相关性矩 1.下列结论不正确的是() (A)X与Y相互独立,则X与Y不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立; (C)E(XY)二E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)二fx(x”Y(y),则X与丫不相关; 2.若COV(X,Y)=0,则不正确的是() 4.E(XY)二E(X)E(Y)是X与丫不相关的() 第4章作业答案 §4.11: B;2: 3/2,2,3/4,37/64;3: D;4: 2/3,4/3,17/9; §4.21: D; §4.31: 7/2,35/12;2: 11/36; §4.41: A2: B; §4.51: 0.2,0.355;2: -1/144,—1/11; §4.61: C;2: C;3: X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4: C;5: A; 第5章极限定理 *§5.1大数定理§5.2中心极限定理 1.一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元 件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 2.某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.22: 0.1788;3: 0.889,0.841; 第6章数理统计基础 §6.1数理统计中的几个概念 1.有n=10的样本;1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本 均值X=,样本均方差S二,样本方差S2二。 2•设总体方差为b2有样本X1,X2/,Xn,样本均值为X,则Cov(X-X)二。 §6.2数理统计中常用的三个分布 1.查有关的附表,下列分位点的值: Z°.9=,盅.1(5)=,t0.9(10)= 2•设X1,X2/,Xn是总体2(m)的样本,求E(X),D(X)。 §6.3一个正态总体的三个统计量的分布 1•设总体X~N(=;「),样本X1,X2/,Xn,样本均值X,样本方差S2,则 X」X-1 5i5 n '(Xi-X)2 i4 第6章作业答案 §6.11.艮=1.57,s=0.254,s2=0.0646;2.Cov(X「X)=b2/n; §6.21.-1.29,9.236,-1.3722;2.E(X)=m,D(X)=2m/n; §6.31.n(0,1),t(n-1),2(n-1),2(n); 第7章参数估计 §7.1矩估计法和顺序统计量法 知参数二的矩估计。 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~二(■),为估计■的值,在实地随机地调查了20次, 每次1分钟,结果如下: 次数: 23456 量数: 95374 试求'的一阶矩估计和二阶矩估计。 §7.2极大似然估计 1.设总体X的密度函数为: f(x)宀中1"*0兰x兰1,有样本XM2,…,Xn,求、0其他 未知参数v的极大似然估计。 §7.3估计量的评价标准 1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布,有样本X1,X2/,Xn,证明j? -2X-1是a 的无偏估计。 2 2.设总体X〜二(■),有样本X1,X2/,Xn,证明aX,(1-a)S是参数■的无偏估计 (0a<1)。 §7.4参数的区间估计 1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度X〜N(=二2),抽取9根纤维,测 量其纤度为: 1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求」的置 信度为0.95的置信区间, (1)若二2=0.0482, (2)若二2未知 2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得x=12.075mm,s=0.0494mm,设另件长度X~N(\;「2),取置信度为0.95, (1)求匚2的置信区间, (2)求匚的置信区间。 第7章作业答案 §7.11: ()2;2: 5,4.97; 1-X §7.211)2; 二InXi i4 §7.3 §7.41: (1.377,1.439),(1.346,1.454);2: (0.0013,0.0058);(0.036,0.076) 第8章假设检验 §8.1假设检验的基本概念 1.某种电子元件的阻值(欧姆)X~N(1000,400),随机抽取25个元件,测得平均电 阻值X=992,试在: .=0.1下检验电阻值的期望」是否符合要求? 一一2 2.在上题中若二未知,而25个元件的均方差S=25,则需如何检验,结论是什么? §8.2假设检验的说明 1.设第一道工序后,半成品的某一质量指标X〜N(J64),品质管理部规定在进入下一工 序前必需对该质量指标作假设检验h0: ="0,H1: %;n=16,当X与丄0的绝 对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。 §8.3一个正态总体下参数的假设检验 1.成年男子肺活量为亠-3750毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一 定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为x-3808毫升,设方差为匚2=1202,试检 验肺活量均值的提高是否显著(取: =0.02)? 第8章作业答案 §8.11: 拒绝H0: 」=1000;2: 接受H°」=1000; §8.21: 0.1; §8.31: 拒绝H0;
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