按揭贷款练习题doc.docx

按揭贷款练习题doc.docx

《按揭贷款练习题doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《按揭贷款练习题doc.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

按揭贷款练习题doc

按揭贷款模型

摘要：

此题目即为一个购房按揭贷款最优化问题。

通过建立数学模型，运用一阶线性差分方程，分析求解出等额本金、等额本息两种不同贷款方式下的还贷利息，并结合实际分析两种还款模型产生的还款差额以及原因，进而，人们可以根据自己的实际收入情况选择适合自己的还贷方式。

1.问题的重述

随着社会经济的飞速发展，与购房贷款有关的金融问题，与人们的生活越来越贴切。

时下流行的按揭贷款，是购房还贷者最常用的一种。

按揭贷款分为等额本金、等额本息两种情况，此题的问题是针对两种不同的还贷方式建立数学模型，要求如下：

（1）在规定的时间内返还银行的最小总金额；

（2）分析比较出不同阶层的人们选用还贷方式；

2.问题分析

不同购房人群在面对高涨的房价时的反映各不同相同，高收入人群属于高消费群体，往往有能力负担房子的价格，低收入群体，购买力相对较弱，而中产阶级和工薪阶级在面对买房时按揭往往成为了他们越来越成熟的选择。

在选择按揭的同时却也面临着对不同按揭还款模式的不熟悉以及哪种更适合白身的困惑，当结合到白身情况的时候，人们往往不能做出最优选择，即最符合自身情况损失最小（付给银行利息最少）的选择。

于是，我们便对按揭还款中最常见也是适用范围最广的两种方式：

等额本金还款和等额本息还款建立数学模型，更加清晰的分析研究，对比两种方式的各自优缺点，以及对应的II标人群。

3.模型假设与符号说明

3.1模型假设

（1）客户按照还款协议按期还款，客户还款期内还款能力不变。

（2）外界因素不影响银行贷款利率。

（3）外界因素的影响不改变还款期限。

（4）利率为各银行利率的平均值。

3.2符号说明

A-----贷款本金

冬——第n个月偿还本金

%——第n个月还款前贷款剩余本金

。

--…月利率

弓一一_一一年利率

N-----贷款月数

Y.一一贷款年数

跚一一一等额本金第n个〃偿还的本息金额

R---等额本息第n个月偿还的木息金额

1-----利息总额

妇——第n个月应偿还利息

札-----本息还款总额

4.模型的准备

按揭贷款就是购房者以所购住房做抵押并巾其所购买住房的房地产企业提供阶段性担保的个人住房贷款业务。

等额本息是指，把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中。

等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。

5.模型的建立与求解

5.1分析等额本息，确定第n个月偿还的本息金额

从第n个月还款前贷款剩余本金电着手计算，如下：

第1个月贷款剩余本金=原始贷款本金，吨=土应偿还的利息，

I]■KIrjjj"AKXqi

第2个月贷款剩余本金=上个月贷款剩余本金-上个月偿还的本金

0«■Cf；—（Rm一I。

■A——AX4m》

以此推导:

曲=a（i+

第k个月贷款剩余本金+第（k-1）月贷款剩余本金一第（k-1）月偿还的本金，即：

=^k-j任+

■fffc.j（1+心R«[l+（1+<«）1

■…（恨蚓n后嗔关系式，砌犊下推到，■茎

=0<（1+—Rra[l+（1+心+（1+4J+・”+（1+

-A（l+『■R“叫;*了户馨ttJ蜥糠E

由于等额本息还款到最后的第N个月，还款金额应该刚好等于剩余的本

金加上利息，即标+林Ky■h■林（1.瞄》■Rw

所以得

[AC1+杼刁・5也略fM

化简整理得等额本息第n个月偿还的本息金额公式。

03■~（EQI

本息还款总额：

RMmXN

5.2分析等额本金，确定第n个刀偿还的本息金额

第一个月贷款剩余本金=原始贷款本金，吟■七应偿还利息，

I,■电,Xim-AX

第二个月贷款剩余本金，•-孔应偿还贷款，上=外各知

&.意■丝

第三个月贷款剩余本金,气应偿还贷款，L■如KS

C?

.M■“福Y北

第n个月贷款剩余本金，*K，应偿还贷款，皓・*入0

整理得，等额本金第n个月偿还的本息总额公式

虹*+W■财）X4皿

R,"S+A（1~W）'tn,

帅■音+A（1-埒*m

R="++Rs+…+Rn

=警+意何-麝譬）xVK

■A+Aijs（N

=A+AtB（^i）

N+l

本金还款总额：

R=A+Ax「m2

.由于贷款金额的数目受众多因素影响，因此每个人与其他人的贷款数目必定不相等，而且没有规律可循；而一般的贷款数量不小，需要五年以上的还贷时间；因此，为了更直观的了解还款金额与月数的关系，以贷款总额为每万元，还款时间为五年以上二十年以下为例，分别绘制出在等额本金与等额本息两种不同的还贷方式下的图表。

如图一所示。

图一：

理论应用到生活,为了让还贷者更方便直观的了解到，等额本金与等额本息在不同月数应当还的总额数之间的线性关系，绘制出了以贷款每一万元，还款月数20年为例，绘制出了两种还贷方式下的对比图，还贷者可根据自身的情况，根据自己的贷款数额，以及自己的还贷能力，选择更适合自己的。

如图二所示。

图二：

5.3等额本金与等额本息月归还额对比

通过以上两个图的比较我们可以清晰发现在相同贷款金额以及相同贷款时间下，等额本息比等额本金产生的总利息大，但我们不能否定等额本息这种贷款方式的存在，因为等额本息每月还款金额是定值，贷款人可以清楚的分配每月的收支，并且比较于等额本金还款，最初的还款金额较小，给贷款人减小压力。

为此我们在本金相同的情况下做出了两种还款方式月还款金额的比值图（表三）（以贷款期限分别为20年15年10年5年为例，利率为各银行的平均值）如图三所示。

图三：

巾图可以直观的观察到在贷款金额相同的情况下，等额本金最初的还款

金额是等额本息的1.1倍以上。

但随后就每年比上年换的款额越来越少。

由此可得出以下结论：

工薪阶层全国平均值月薪4000元，中产阶层年薪8.20万元，则根据分析得出：

等额本息还款法的还款压力均衡，但需多付些利息，所以适合有一定积蓄。

而等额本金还款法，由于贷款人本金归还得快，利息就可以少付，但前期还款额度大，因此适合当前收入较高者。

模型建立完，我们从搜狐购房网搜集有关数据,6.1等额本息还款方式的验证。

等额本息还款模式房贷数据表

12.07.06后1—5年6.40%5—30年6.55%

房屋总价

贷款总额

还款总额

支付利息款

首期付款（30%）

月均还款

贷款月数

2020000

1414000

2540176.

44

1126176.44

606000

10584.0

7

240（月）

1581000

1106700

1988128.

19

881428.

19

474300

8283.87

240（月

）

然后代入推导出的模型。

等额本息笫n个月偿还的本息金额公式。

本息还款总额：

R=&/N

进行验证。

本金分别为A=1414000,1106700；im=6.55%/12；N=240

得出数值如下：

每月还款额分别为Rlu=10584.0723,8283.8741；还款总额

R=2540176.4432,1988128.2011.

显然，与表中所提供的数据基本吻合，故该模型建立合理。

6.2等额本金还款方式的验证

等额本金还款模式房贷数据表（部分）

12.07.06后1—5年6.40%5—30年6.55%

房屋总价

2020000

房屋总价

1581000

贷款总额

1414000

贷款总额

1106700

还款总额

2344029.04

还款总额

1834608.87

支付利息款

930029.04

支付利息款

727908.87

首期付款

606000

首期付款

474300

240个月还款金额

6

JJ,13448.96（元）12月,13256（元）24

月,12870.1（元）48

月,12098.29（元）90

月,10747.63（元）240

月,5923.83（元））

240个月还款金额

6

月,10526.14（元）

12

月,10375.12（元）

24

月,10073.08（元）

48

月,9469.01（元）

90

月,8411.88（元）

240

月,4636.42（元）

代入推导出的模型，等额本金第n个月偿还的本息总额公式命■音■守;

N+1

本金还款总额：

R=A+Axjm2

进行验证。

得出数值如下：

还款本金为AT414000；im=6.55%/12；

还款期限N=240；n=6,12,24,48,90,240时

每月还款金额=13448.9622,13256.1021,12870.0910,12098.28861,

10747.6321,5923.8343

当A=1106700时

对应的还款金额&=10526.1415,10375.1222,10073.0786,

9469.0115,8411.8841,4636.4163

显然，与表中所提供的数据基本吻合，故模型建立合理。

7.1模型的评价

（1）直观的给出了两种按揭还款模式的总利息，以及每月需要付给银行的本息金额。

（2）通过数据检验得出模式的普遍适用性，与客观实际相符，对比了等额本金以及等额本息两种模型的特点得出规律：

%1.还款能力较强的消费者应该选择等额本金的还款模式，此模式在等年限等金额情况下总利息明显低于等额本息模式。

次模型月还款本息金额呈递减趋势，最初的还款期月还款金额较大。

%1.还款能力较弱且月收入稳定的消费者适合选择等额本息的还款模式，此模型每月还款金额均相等，还款金额占总收入比例较低，不会严重影响正常生活质量。

总体付出的利息金额普遍大于在等年限等贷款本金情况下的等额本金还款模式。

（3）不论选择哪种还款模式，增加首付金额与缩短贷款年限均为降低利息金额的有效方法。

7.2模型的改进方向

此模型虽然充分分析了等额本金与等额本息两种主要还款模式的的特点与适合人群。

但是未加入实际生活中可能发生的提前还款的情况，由于发生提前还款后可能产生的变化较大，因此在提前还款方面为本文中的模型未涉及的层面。

有提前还款发生利息已经本金均会发生改变。

等额本息模式由于前期还款本息金额中利息占较大比重，所以如果提前还款发生，等额本息还款模式消费者应该在还款前期完成。

参考文献：

[1]龚德恩.经济数学基础[M].四川人民出版社，1996.

[2]上海财经大学高等数学教研室编.高等数学[M].上海科学技术

文献出版社,1988

[3]韩中庚••数学建模竞赛[M].北京；科学出版社，2007

[4]周品，赵新芬.MATLAB数学建模与仿真.北京：

国防工业出版

社.2009.4