重积分部分练习题.docx

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重积分部分练习题

题目部分，（卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分）

一、选择

（16

小题,共分）

（2分）[1]

（3分）[2]

二重积分

xydxdy（

D

其中D:

2

0wywx,0

wxw1）的值为

（A）-

（B）

1

（C）

1/、1

-（D）-

6

12

24

答（）

22

（3分）[3]若区域D为0

f是区域D：

|x|+|y|w1

D

（A）0;

/、32

64

（B）

（C）

（D）256

3

3

答（）

（3分）［4］设D是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域，上的连续函数，则二重积分

f（x2.y2）dxdy

22

f（x,y）dxdy

D

D1

（A）2

（B）4

（C）8

1

（D）-

2

答（

）

（3分）[5]

设f（x,y）是连续函数，

则二次积分

0/

dx

1x1

x2

f（x,y）dy

1

y12

y21

（A）dy

0J

1f（x,y）dx1dy

1f（x,y）dx

1

y1

（B）dy

0丿

1f（x,y）dx

1

y12

■■/y21

（C）0dy

1f（x,y）dx1dy

1f（x,y）dx

2

（D）dy

0丿

1f（x,y）dx

答（）

（3分）[6]

设函数f（x,y）在区域

2

D：

yw—x,

2

y>x上连续，则二重积分

f（x,y）dxdy

D

可化累次积分为

0x2

0

x2

（A）

1d^_f（x,y）dy

（B）

dx

1

xf（x,y）dy

1y2

1

y2

（C）

0dyyf（x,y）dx

（D）

0dy

yf（x，y）dx

（3分）[7]

设f（

1

.27

（A）

dx

f

0

0

1

J2x

（B）

2dx

f

0

0

1

3x2

（C）

dx

0

2x

（D）

"d

0

、3

2cos

sin2~

1J3寸

x,y）为连续函数，则二次积分dy12

0丿_y2

2

f（x,y）dx可交换积分次序为

（3分）[8]

y）dy

x,y）dy

f（x,y）dy

"dx

1

:

J3x2

0f（x,y）dy

*2

1dx0f（x,y）dy

2

f（rcos,rsin

设f（x,y）为连续函数,

1

dx

0

x2

）rdr

则积分

f（x,y）dy

2

dx

1

-3

dx

-2

0f（x,y）dy

2x

0f（x,y）dy

（A）

dy

0丿

0f（x,y）dx

1dy

1

x2

2

（B）

dy

0J

0f（x,y）dx

1dy

1

2y

（C）

dy

0J

yf（x,y）dx

1

2x

（D）

dy

0丿

x2f（x,y）dx

2

y

可交换积分次序为

1

2y

0f（x,y）dx

2x

0f（x,y）dx

（4分）[9]

若区域D为（x—1）2+y2<1,则二重积分

答（）

f（x,y）dxdy化成累次积分为

D

（A）

0d

2cos

0F（r,）dr

（B）

2cos

0F（r,）dr

（C）

[d

2

2cos

F（r,）dr

（D）

；d

2cos

F（r,）dr

其中

F（r,0）=f（rcos9,rsin

0）r.

（3分）[10]

若区域D为x2+y2w2x,则二重积分

（x

D

答（）

y）；x2y2dxdy化成累次积分为

（A）[d

2

2cos

0（cos

sin）•2rcosrdr

（B）0（cossin）d

2cos3

r3dr

0

2cos3

（C）2o2（cossin）d0rdr

答（）

（3分）［14］设有界闭域

D与D2关于oy轴对称，且DnD-,f（x,y）是定义在DUD2上的连

续函数,

则二重积分

2

f（x,y）dxdy

D

（A）2

2

f（x,y）dxdy

（B）

2

4f（x,y）dxdy

D1

D2

（C）4

2

f（x,y）dxdy

（D）

12

-f（x,y）dxdy

D1

2d2

答（）（3分）[15]若区域D为|x|<1,|y|<1,则xecos（xy）sin（xy）dxdy

D

-1

（A）e;（B）e；

（C）0；（D）n.

答（）（4分）[16]设D：

x2+y2wa2（a>0）,当a=时，JO~x2~y2dxdy

、填空（6

（B）

（D）

小题,共分）

（4分）[1]设函数f（x,y）在有界闭区域

D上有界，把D任意分成n个小区域厶e（i=1,2,…,n）,

在每一个小区域厶ci任意选取一点（Ei,ni）,如果极限

n

limf（i,i）i（其中入是厶（Ti（i=1,2,…,n）的最大直径）存在，则称此极

0i1

限值为的二重积分。

（4分）[2]若D是以（0,0）,（1,0）及（0,1）为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义

知（1xy）=.

D

（3分）[3]设D：

0ya2x2,0x0,由二重积分的几何意义知

、a2x2y2dxdy.

D

22

（3分）[4]设D：

x+yw4,y>0,则二重积分

sin（x3y2）d。

下先

对

r积分

D

的累次

积

分

cos

1

2cos

_3d

—0

F（r,）dr

3dqF（r,）dr2d

F（r,）dr_.

2

3~3

D

（4分）[5]设区域D是x+yw1与x+yw2x的公共部分，试写出f（x,y）dxdy在极坐标系

（3分）[6]设D:

0wxw1,0wyw2（1—x）,由二重积分的几何意义知

1x

D

三、计算

（3分）[1]

寸dxdy=

（78小题,共分）

设f（x,y）为连续函数，交换二次积分

y

0dy亠f（x,y）dx

2

的积分次序。

（3分）[2]设f（x,y）为连续函数，交换二次积分

x

0dxxf（x,y）dy

的积分次序。

（3分）［3］设f（x,y）为连续函数，交换二次积分

i000

2dyf（x,y）dxldyf（x,y）dx

击y

的积分次序。

（3分）［4］设f（x,y）为连续函数，交换二次积分

11

0dxix2

f（x,y）dx

e

dx

i

i

ln」（X,y）dy

的积分次序。

（4分）［5］计算二重积分

（xy2）dxdy

D

其中D：

0

（3分）［6］计算二重积分

xydxdy

D

其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。

（3分）［7］计算二重积分

xydxdy

D

其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。

（3分）［8］计算二重积分

xydxdy

D

其中D：

xwy若x,1三xw2.

（3分）［9］计算二重积分

cos（xy）dxdy

D

其中D是由直线x=0,y=n和y=x围成的区域。

（4分）［10］计算二重积分

（x2y2y）dxdy

D

其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。

（3分）［11］计算二重积分

xcos（2xy）dxdy

D

其中D:

0x-,1y1

4

（3分）［12］计算二重积分

（xy）dxdy

D

其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。

（3分）［13］计算二重积分

（x6y）dxdy其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。

（3分）［14］计算二重积分

xydxdy

D

1

其中D是由双曲线y—,直线y=x及x=2所围成的区域。

x

（3分）［15］计算二重积分

ydxdyx

其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。

（3分）［16］计算二重积分

ydxdy

D

其中D：

|x|+|y|w1.

（3分）［17］计算二重积分

xyd

D

其中D：

|x|+|y|w1.

（4分）［18］计算二重积分

xy2dxdy

1

其中D:

—yx,1x2

x

（4分）［19］计算二重积分

（x2y2）dxdy

D

其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a（a>0）所围成的区域。

（4分）［20］计算二次积分

33x

0dx0（2xy）dy

（4分）［21］计算二重积分

xydxdy

D

其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。

（4分）［22］计算二重积分

（x2y2x）dxdy

D

其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。

（4分）［23］计算二重积分

（x1）ydxdy

D

其中D是由曲线x1y,y=1-x及y=1所围成的区域。

（4分）［24］计算二重积分

1

D厂严

其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（4分）［25］计算二重积分

xy2dxdy

D

其中d为文二/rrp与x=o所围成的区域。

（4分）［26］计算二重积分

xdxdy

D

12

其中D是由抛物线y-x2及直线y=x+4所围成的区域。

（4分）［27］计算二重积分

exydxdy

D

其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（4分）［28］计算二重积分

2

笃dxdy

dy

其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。

（5分）［29］计算二重积分

4y2sin（xy）dxdy

D

其中D是由x=0,y

:

■—,y=x所围成的区域。

（4分）［30］计算二重积分

（xy2）dxdy

D

其中D：

Owywsinx,「：

：

:

「：

•

（5分）［31］计算二重积分

x2ycos（xy2）dxdy

D

其中D:

专,0wyw2.

（4分）［32］计算二重积分

xydxdy

D

其中D是由抛物线y,x及y=x2所围成的区域。

（4分）［33］计算二重积分

ydxdy

D

y

b2

（4分）［34］计算二重积分

xdxdy

D

其中D:

2xy1.1

x2,0x

1

（5分）［35］计算二重积分

r2drd

D

其中D:

acosra,0

0）

（4分）［36］利用极坐标计算二

1次积分

24x22

2dx0xydy

（5分）［37］利用极坐标计算二重积分

arctg?

dxdy

D

其中D：

10,y

（4分）［38］利用极坐标计算二重积分

y

arctgdxdy

x

其中D：

a20,y>0,a>0,x=0处广义。

（5分）［39］试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。

（6分）［40］试求函数f（x,y）=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。

（4分）［41］由二重积分的几何意义，求

（4分）［42］计算二重积分

xdxdy

D

其中D：

x2+y2w2及x>y2.原式=

12y2

dy2xdx

1y2

0（2y2y4）dy

22

15

（3分）[43]计算二重积分

exdxdy

D

其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。

1x2x

0edxx3dy

2

x

（xe

x3e"）dx

（4分）[44]计算二重积分

xdxdy

D

其中D：

x2+（y—1）2>1,x2+（y—2）2<4,y<2,x>0.

2寸

0dy2yy2xdx

ydy

（5分）[45]计算二重积分

xy2dxdy

D

其中D:

x2+y2w5,x—1>y2.

（5分）[46]计算二重积分

xydxdy

D

22

其中D是由（x—2）+y=1的上半圆和x轴所围成的区域。

34x

xdx

10

x23

ydy

x23）dx

3

（4分）[47]计算二重积分

x\y2x2dxdy

其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。

（3分）［48］计算二重积分

x3y2dxdy

D

其中D：

x2+y2wR

（5分）［49］计算二重积分

—dxdyy

2

x

其中区域D1x2,yx

2

（4分）［50］计算二重积分

2

x

dxdydy

其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。

（4分）［51］计算二重积分

xdxdy

D

222

其中D：

x+y0.

（5分）［52］计算二重积分

xdxdy

D

2

x其中D:

-y

a

（5分）［53］计算二重积分

4x2y2dxdy

D

其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。

（5分）［54］计算二重积分

yexydxdy

D

其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。

（5分）［55］计算二重积分

xy2dxdy

D

其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p>0）所围成的区域。

（6分）［56］计算二重积分

2

（xy）dxdy

D

22..

D是由抛物线y=x和y=x所围成的区域。

（6分）［57］计算二重积分

x

eydxdy

D

其中D是由抛物线y=（x>1）和直线y=x,y=2所围成的区域。

（5分）［58］计算二重积分

xyy2dxdy

D

其中D是以QO,0）,A（10,1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。

（5分）［59］计算二重积分

（12x216x3y3）dxdy

D

其中D是由x=1,y=x3,y=-■'j所围成的区域。

（8分）［60］计算二重积分

x2y2dxdy

D

其中D是以O（0,0）,A（1,-1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。

（3分）［61］计算二重积分

sinx

dxdy

Dx

其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（4分）［62］计算二重积分

sinx

dxdy

Dx

2

其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（5分）［63］计算二重积分

ln（1x2y2）dxdy

D

22

其中D：

x+yw4,x>0,y>0.

（5分）［64］计算二重积分

x2y2dxdy

D

其中D:

x2+y2>2x,x2+y2w4x.

（5分）［65］计算二重积分

x2y2dxdy

D

22

其中D：

x+yw2x.

（4分）[66]利用极坐标计算二重积分

sin（x2y2）dxdy

D

其中D:

n2wx2+y2w4n2

（4分）[67]计算二重积分

1x2y2dxdy

D

其中D：

x2+y2w1,x>0,y>0.

（7分）[68]设区域Dx2+y2wa2（a>0）,计算二重积分

f（x,y）dxdy

D

22r

其中f（x,y）

exy当x0,y0

0其它点

（4分）［69］利用极坐标计算二重积分

ydxdy

D

其中D：

x2+y2wa2,x>0,y>0.（a>0）

（3分）[70]利用极坐标计算二重积分

其中D:

1wx2+y2w8.

（3分）[71]计算二重积分

22

（4xy）dxdy

D

其中D:

x2+y2w4.

（5分）［72］计算二重积分

xydxdy

D

2222

其中D：

x+y>1,x+yw2x,y>0.

22

（5分）［73］计算二重积分xyexyd，其中区域D为x2+y2w1在第一象限部分。

D

（5分）［74］将二重积分f（x,y）d化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D：

0

D

（6分）［75］利用极坐标计算二重积分

xdxdy

其中D:

x2+y2w2x,x2+y2>x.

（5分）［76］计算二重积分

其中D：

ywx<16-y2,0wyw2.2,y>0.

（6分）［77］计算二重积分

ln（1x2y2）dxdy

D

其中D：

x2+y2wR2（R>0）,x>0,y>0.

（5分）［78］利用极坐标计算二重积分

sin.x2y2dxdy

D

22

其中D：

1wx+yw4,x>0,y>0.

===================答案====================

答案部分，（卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分）一、选择（16小题,共分）

（2分）［1］［答案］

B.

（3分）［2］［答案］

B.

（3分）［3］［答案］

A.

（3分）［4］［答案］

（B）.

（3分）［5］［答案］

（C）.

（3分）［6］［答案］

C.

（3分）［7］［答案］

B.

（3分）［8］［答案］

C

（4分）［9］［答案］

C.

（3分）［10］［答案］

D.

（4分）［11］［答案］

C.

（5分）［12］［答案］

A.

（4分）［13］［答案］

B.

（3分）［14］［答案］

（A）.

（3分）［15］［答案］

C.

（4分）［16］［答案］

B.

二、填空（6小题,共分）

（4分）［1］［答案］

函数f（x,y）在D上

（4分）［2］［答案］

6

（3分）［3］［答案］

13

—na

6

（3分）［4］［答案］

0.

（4分）［5］［答案］

记F（r,0）=f（rcos0,rsin0）r,

2cos

3dF（r,）dr

0

2

1

3dF（r,）dr2d

0

33

2cos

F（r,）dr

（3分）［6］［答案］

1

3

三、计算（78小题,共分）

（3分）［1］［答案］

12x22

原式=0dxxf（x,y）dy1dxxf（x,y）dy

（3分）［2］［答案］

2y

原式=ody、f（x,y）dx

2dy

2

1yf（x,y）dx

（3分）［3］［答案］

原式=

0x2

1dxx22f（x,y）dy

（3分）［4］［答案］

1ey

原式=0dy1yf（x,y）dx

sinx2

0dx0（xy）dy

（xsinx

1sin3x）

3

dx

9

（3分）［6］［答案］

原式

12x5dx

o

16

3

（3分）［7］［答案］

原式

42x

dxxydy

x

384

原式

xydy

2

xdx

1

2x3dx

1

4

（3分）［9］［答案］

原式

0dxxcos（x

y）dy

（sin（x

）sin2x）dx

3

1dy

y（x2

y1

y2y）dx

（y

32

1）yydy

2y2

2y

3dy

10

（3分）[11][

原式

答案］

1

o4dx1xcos2xydy

4sin2xdx

0

1

2

（3分）[12][答案]

原式

1x

=odyo（x

1\

-（x

02

13-

-yI

2

或解原式

11

=0dxx（x

1（1；

2

1

2

（3分）[13][

原式

y）2

y）dx

0dy0（2y21y2）dy

y）dy

-x2）dx

2

答案］

15x

0dxx（x

12o76xdx

251

3

6y）dy

1xdx1ydy

x

x（x2

1

2）dx

x

（3分）[15][答案]

原式

412xdxydy

2xx

43xdx

22

9

（3分）[16][答案]

原式

11x

4odxoydy

12

20（1x）dx

2

3

（3分）[17][答案]

原式

11x

4xdxydy00

12

2Qx（1x）2dx

1

6

（4分）[18][答案]

原式

2x2

1xdx1ydy

x

1

）dx

13

3a）dy

3a22

a（2ayay

14a4

（4分）[20][答案]

原式

（93x-x2）dx

22

27

（4分）［21］［答案］

原式

3

xdx

i

3（x3

$dx

x

1

10—In3

2

（4分）[22][答案]

原式

20y（yy2）dy

1

24

0i

1id（x2）

201x4

（4分）［25］［答案］

原式

224y2

2ydy0xdx

64

15