专升本国家考试密押题库与答案解析专升本高等数学一分类模拟多元函数微积分学一.docx
- 文档编号:24814545
- 上传时间:2023-06-01
- 格式:DOCX
- 页数:7
- 大小:16.79KB
专升本国家考试密押题库与答案解析专升本高等数学一分类模拟多元函数微积分学一.docx
《专升本国家考试密押题库与答案解析专升本高等数学一分类模拟多元函数微积分学一.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专升本国家考试密押题库与答案解析专升本高等数学一分类模拟多元函数微积分学一.docx(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
专升本国家考试密押题库与答案解析专升本高等数学一分类模拟多元函数微积分学一
[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学
(一)分类模拟多元函数微积分学
(一)
专升本高等数学
(一)分类模拟多元函数微积分学
(一)
一、填空题
问题:
1.求下列函数的定义域.
.
答案:
x>0,y>0.
问题:
2.求下列函数的定义域.
u=ln(x2-y-1).
答案:
y<x2-1
问题:
3.求下列函数的定义域.
.
答案:
x≥0,y≥1,x2+1≥y.
问题:
4.求下列函数的定义域.
.
答案:
r2<x2+y2≤R2.
问题:
5.设,则=______.
答案:
问题:
6.设,则=______.
答案:
-2,先求出f(x,y)=x-
问题:
7.设,则=______.
答案:
问题:
8.设,则=______.
答案:
-e.
问题:
9.设函数,则=______,=______.
答案:
问题:
10.设函数,则=______.
答案:
问题:
11.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______.
答案:
问题:
12.函数z=x2-2xy+y2的全微分=______.
答案:
-2dx+2dy
问题:
13.=______.
答案:
问题:
14.若积分区域D是由x=0,x=1,y=0,y=1围成的矩形区域,则=______
答案:
问题:
15.交换二次积分次序=______.
答案:
问题:
16.设区域D={(x,y)|x2+y2≤4},则=______.
答案:
π
问题:
17.平面上一块半径为2的圆形薄板,其密度函数为1,则这块薄板的质量为______.
答案:
4π.
二、解答题
问题:
1.设,求.
答案:
.
求下列各函数对x,y的偏导数:
2.z=ex2+y;
答案:
2xex2+y,ex2+y;
3.;
答案:
;
4.z=ln(lnx+lny);
答案:
;
5.;
答案:
;
6.z=sin(x+2y)+2xy;
答案:
cos(x+2y)+2y,2cos(x+2y)+2x;
7.z=(xy)μ(其中μ为非零常数).
答案:
μy(xy)μ-1,μx(xy)μ-1.
求下列函数的二阶偏导数:
8.z=sinxy;
答案:
.
9.z=ln(x2+xy+y2).
答案:
问题:
10.设函数z=ln(1-x+y)+x2y,求.
答案:
问题:
11.设z=x2y-xy2,x=ucosv,y=usinv,求.
答案:
=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sinv=3u2sinvcosv(cosv-sinv).同样地,有.
问题:
12.设z=arctanxy,y=ex,求.
答案:
.(注意:
在本题中,不同于.)
问题:
13.设,x=u-2v,y=2u+v,求.
答案:
问题:
14.设z=(2x+y)(2x+y),求.
答案:
问题:
15.设z=f(x2+y2,exy),其中f(u,v)有连续偏导数,求.
答案:
设z=f(u,v),u=x2+y2,v=exy,则由复合函数求偏导法则得
问题:
16.设,其中φ有连续偏导数,证明.
答案:
因为,其中φ有连续偏导数,令u=xy,所以有,,将之代入即可证得.
求下列各式确定的隐函数y=f(x)的导数:
17.cosy-ex+2xy=0;
答案:
18..
答案:
求下列各式确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数:
19.x2+y2+z2-3xyz=0;
答案:
20..
答案:
问题:
21.设z=arctan(xy)+2x2+y,求dz.
答案:
求下列各函数的全微分dz:
22.;
答案:
23.z=ln(3x-2y+3);
答案:
;
24.z=exy(x2+y2);
答案:
令u=xy,v=x2+y2,dz=exy(x2+y2)[(3x2y+y3)dx+(3y2x+x3)dy];
25.z=arctanxy;
答案:
26.z=xe-xy+sin(xy);
答案:
dz=[e-xy(1-xy)+ycos(xy)]dx+[-x2e-xy+xcos(xy)]dy;
27.z=sin(x+y)-x2+y2.
答案:
dz=[cos(x+y)-2z]dx+[cos(x+y)+2y]dy.
问题:
28.设,求
答案:
问题:
29.设z=f(2x+3y,exy),其中f(u,v)有连续偏导数,求dz.
答案:
今u=2x+3y,υ=exy,
问题:
30.设z=z(x,y)是由方程yz+x2+z=0确定,求dz.
答案:
设
问题:
31.设z=f(x,y),由方程x2+y2+z2-4z=0确定,求在点(1,-);(,0);(0,)处的全微分.
答案:
,
(1)当x=1,时,由原方程得z=1或z=3.
①当z=1时,
②当z=3时,
(2)当,y=0时,由原方程得z=1或z=3.
①当z=1时,
②当z=3时,
(3)当x=0,时,由原方程得z=1或z=3.
①当z=1时,
②当z=3时,
问题:
32.设z=f(x,y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所确定,求dz.
答案:
令F(x,y,z)=cos2x+cos2y-cos2z-1,
.
求下列函数的极值与极值点.
33.f(x,y)=4x+2y-x2-y2;
答案:
极大值点为(2,1),极大值f(2,1)=5;
34.f(x,y)=e2x(x+y2+2y);
答案:
极小值点为(,-1),极小值;
35.f(x,y)=y3-x2+6x-12y+5.
答案:
极大值点为(3,-2),极大值f(3,-2)=30.
求下列条件极值.
36.做一个体积为V的无盖的圆柱形桶,试问当桶的高和底面半径各是多少时,可使圆桶所用的材料最省.
答案:
设圆桶的高为h,底面半径为r,则桶的表面积为S=πr2+2πrh,体积V=πr2h,要求所用的材料最省,就是求表面积的最小值,且满足V=πr2h.构造拉格朗日函数
F(r,h,λ)=πr2+2πrh+λ(πr2h-V)
可解得.
37.设生产某种产品的数量Q与所用两种原料A,B的数量x,y间有关系式Q=Q(x,y)=0.005x2y,欲用150元购买原料,已知A,B原料的单价分别为1元,2元,问购进两种原料各多少时,可使生产的产品数量最多?
答案:
设购买两种原料分别为x,y,则问题化为条件极值问题:
求Q=0.005x2y在条件x+2y=150下的条件极值.可解得x=100,y=25.
问题:
38.计算二重积分,其中D是由直线y=-1,y=1,x=1及x=2围成的平面区域.
答案:
3
问题:
39.计算二重积分,其中D是由曲线y=x2及y=x所围成的平面区域.
答案:
.
或.
问题:
40.,其中D是由直线y=x,y=1及y轴所围成的平面区域.
答案:
.
或
问题:
41.,其中D是由直线x=2,y=x及双曲线xy=1所围成的平面区域.
答案:
问题:
42.,其中D是由直线y=0,,x=2所围成的平面区域.
答案:
问题:
43.,其中D是由直线y=x,y=2x,x=2,x=4所围成的平面区域.
答案:
问题:
44.求,其中D是由直线y=x,y轴,y=1所围成的平面区域.
答案:
说明如果将此题化为先对y积分后对x积分,其计算量较大.
问题:
45.将二重积分化为二次积分,其中D是由直线x+y=1,x-y=1,x=0所围成的平面区域.
答案:
或
交换下列二次积分次序.
46.
答案:
47.(a>0为常数)
答案:
问题:
48.计算二重积分
答案:
试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分
49.
答案:
50.
答案:
说明首先根据给定的二次积分先画出积分区域,再将积分区域用极坐标表示出来.
(1)的积分区域是半径为R,圆心为(R,0)的x轴上方的半圆,用极坐标表示为0≤θ≤,0≤r≤2Rcosθ;
(2)的积分区域是以原点为圆心半径为R的在第一象限内的圆.
计算下列二重积分:
51.,其中D为x2+y2≤a2,x≥0,y≥0所围成的区域;
答案:
52.,其中D为x2+y2≤1,x≥0所围成的区域;
答案:
53.,其中D为x2+y2≤4,x2+y2≥1,y≤x,y≥0所围成的区域;
答案:
54.,其中D为由x2+y2≤R2,x≥0,y≥0所围成的区域;
答案:
积分区域D的极坐标表达式为0≤θ≤,0≤r≤R,于是
;
55.,其中D为以x2+y2=2x为边界的上半圆域.
答案:
问题:
56.利用重积分求由平面和三个坐标平面所围成的立体的体积(其中a>0,b>0,c>0).
答案:
由二重积分的几何意义知,,其中积分区域为x轴、y轴以及直线所围成的平面区域,于是
问题:
57.利用二重积分求由曲线y=x2与y2=x所围成的面积.
答案:
由二重积分的性质3知,其中积分区域为曲线y=x2与y2=x所围成的平面图形,于是.
问题:
58.求由柱面x2+y2=a2,z=0及平面x+y+z=a所围成的立体的体积.
答案:
由二重积分的几何意义知.
其中D:
x2+y2≤a2,利用极坐标系可得
问题:
59.设有平面三角形薄片,其边界线可由方程x=0,y=x及y=1表示,薄片上的点(x,y)处的密度ρ(x,y)=x2+y2,求该三角形薄片的质量.
答案:
问题:
60.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,求该薄片的质量.
答案:
先求密度函数为μ(x,y)=,于是有
问题:
61.设f(x)在[0,1]上连续,证明
答案:
求证由可知积分区域为曲线y=x2,y=1,y轴所围成的平面区域,交换积分次序得
问题:
62.,其中D为x2+(y-1)2≤1与x+y≤2所围成的区域.(提示:
此题应在直角坐标系下求,先对x积分,积分区域要分块.)
答案:
在直角坐标系下求二重积分,先对x积分.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 国家 考试 押题 答案 解析 高等数学 分类 模拟 多元 函数 微积分学