高三数学二轮复习教案专题一 第1讲 集合常用逻辑用语.docx
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高三数学二轮复习教案专题一第1讲集合常用逻辑用语
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
第1节集合、常用逻辑用语
自主学习导引
真题感悟
1.(·浙江)设集合A={x
1<x<4},集合B={x
x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=
A.(1,4) B.(3,4)
C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)
解析 首先用区间表示出集合B,再用数轴求A∩(∁RB).解x2-2x-3≤0得-1≤x≤3,∴B=[-1,3],则∁RB=(-∞,-1)∪(3,+∞),∴A∩(∁RB)=(3,4).
答案 B
2.(·福建)下列命题中,真命题是
A.∃x0∈R,
≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是
=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件
解析 应用量词和充要条件知识解决.
对于∀x∈R,都有ex>0,故选项A是假命题;当x=2时,2x=x2,故选项B是假命题;当
=-1时,有a+b=0,但当a+b=0时,如a=0,b=0时,
无意义,故选项C是假命题;当a>1,b>1时,必有ab>1,但当ab>1时,未必有a>1,b>1,如当a=-1,b=-2时,ab>1,但a不大于1,b不大于1,故a>1,b>1是ab>1的充分条件,选项D是真命题.
答案 D
考题分析
高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用,常用逻辑用语考查知识面十分广泛,可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容.考查的形式多为选择题,难度不大,但需掌握基本知识与方法.
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考点一:
集合的概念与运算
【例1】
(1)(·朝阳二模)已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于
A.1 B.0 C.-2 D.-3
(2)(·西城二模)已知集合A={x
log2x<1},B={x
0<x<c,其中c>0}.若A∪B=B,则c的取值范围是
A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,2]D.[2,+∞)
(3)(·宜春模拟)设全集U=R,A={x
2x(x-2)<1},B={x
y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为
A.{x
x≥1}B.{x
1≤x<2}
C.{x
0<x≤1}D.{x
x≤1}
[审题导引]
(1)利用子集的定义求解;
(2)解出A,然后借助于数轴解决;
(3)观察图形,求得阴影部分表示的集合,解出A,B并求解.
[规范解答]
(1)∵A⊆B,∴a+3=1,∴a=-2.
(2)解不等式log2x<1,得0<x<2,
∴A={x
0<x<2}.
∵A∪B=B,∴A⊆B,∴c≥2.
(3)解不等式2x(x-2)<1=20得0<x<2,
∴A={x
0<x<2}.
又易知B={x
x<1},图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x
0<x<2}∩{x
x≥1}={x
1≤x<2}.
[答案]
(1)C
(2)D (3)B
【规律总结】
解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路
(1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义.
(2)根据集合中元素的性质化简集合.
(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
一般规律为:
①若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;
②若给定的集合是点集,用数形结合法求解;
③若给定的集合是抽象集合,用Venn图求解.
[易错提示]
(1)准确理解集合中代表元素的属性,以求解有关不等式(如例1中的第(3)题,集合B表示函数y=ln(1-x)的定义域).
(2)在借助于数轴进行集合的运算时,要标清实点还是虚点,避免漏解或增解(如例1中的第
(2)题).
【变式训练】
1.(·三明模拟)已知集合M={m,-3},N={x
2x2+7x+3<0,x∈Z},如果M∩N≠∅,则m等于
A.-1B.-2C.-2或-1D.-
解析 由2x2+7x+3<0,得-3<x<-
,
又x∈Z,∴N={-2,-1},
又M∩N≠∅,∴m=-2或-1.
答案 C
2.(·海淀二模)设全集为R,集合M=
,N=
,则集合
可表示为
A.M∪NB.M∩N
C.(∁RM)∩ND.M∩(∁RN)
解析 根据椭圆的有界性知M={x
-2≤x≤2},解不等式
≤0,得N={x
-1<x≤3}.
由圆的定义可得
={x
-2≤x≤-1},
即
=M∩(∁RN).
答案 D
考点二:
命题与逻辑联结词
【例2】
(1)(·潍坊模拟)命题:
“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是
A.若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
B.若-1<x<1,则x2<1
C.若x>1,或x<-1,则x2>1
D.若x≥1,或x≤-1,则x2≥1
(2)若p是真命题,q是假命题,则
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.
p是真命题D.
q是真命题
[审题导引]
(1)按照四种命题的定义即可解决;
(2)由复合命题的真值表判定.
[规范解答]
(1)∵“-1<x<1”的否定是x≥1,
或x≤-1.
又由逆否命题的定义,
∴原命题的逆否命题为:
若x≥1,或x≤-1,则x2≥1.
(2)由条件知,
p是假命题,
q是真命题,故选D.
[答案]
(1)D
(2)D
【规律总结】
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别.
(2)四种命题的真假的判断根据:
一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无必然联系.
(3)形如p或q、p且q、
p命题的真假根据真值表判定.
【变式训练】
3.(·衡水模拟)命题A:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不经过第四象限.那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
解析 易知命题A是真命题,其逆否命题也是真命题,A的逆命题与否命题都是假命题.
答案 C
4.(·石家庄模拟)有下列命题:
p:
函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
q:
已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1;
r:
若
(a>1),则a=e.
其中所有的真命题是
A.rB.p,qC.q,rD.p,r
解析 ∵f(x)=sin4x-cos4x
=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos2x,
∴T=π,故p是真命题;
∵a+b=(λ-1,λ2+1),(a+b)∥c,
则λ2+λ=0,即λ=-1或λ=0,
故q是假命题;
dx=lnx
=lna=1,
∴a=e,故r是真命题.
答案 D
考点三:
量词、含有量词的命题的否定
【例3】下列命题中是假命题的是
A.∀x∈
,x>sinx
B.∃x0∈R,sinx0+cosx0=2
C.∀x∈R,3x>0
D.∃x0∈R,lgx0=0
[审题导引] 对全称命题与特称命题真假的判定,要结合具体的知识进行,要特别注意思维的严谨性.
[规范解答] ∀x∈
,设单位圆与角x的终边交于点P(m,n),与m轴正半轴交于点A(1,0),作PM⊥m轴于M,由正弦函数的定义,知MP=sinx,
的长l=x,由S扇形OAP>S△OAP⇒x>sinx,故∀x∈
,x>sinx,即选项A是真命题;sinx+cosx=
sin
≤
,
所以不存在x0∈R,使sinx0+cosx0=2,故选项B是假命题.故选B.(事实上,由指数函数的值域∀x∈R,3x>0是真命题;取x0=1,lgx0=lg1=0,故∃x0∈R,lgx0=0是真命题.)
[答案] B
【规律总结】
全称命题与特称命题的判断方法
对于特称命题的判断,只要能找到符合要求的元素使命题成立,即可判断该命题成立;对于全称命题的判断,必须对任意元素证明这个命题为真,也就是证明一个一般性的命题成立时,方可证明该命题成立,而只要找到一个特殊元素使命题为假,即可判断该命题不成立.
[易错提示] 注意对数函数、指数函数、三角函数、不等式、方程等知识在解题中的应用,在判断由这些知识组成的全称或者特称命题时,要特别注意对数函数的定义域、指数函数的值域、三角函数的定义域和周期性、不等式成立的条件等.
【变式训练】
5.(·朝阳二模)若命题p:
∀x∈R,
>0,则其否定是_______________.
解析 ∵不等式
>0的隐含条件为
>0且x2+x+1≠0,
∴綈p:
∃x∈R,
<0,或x2+x+1=0.
答案 綈p:
∃x∈R,
<0,或x2+x+1=0
6.命题p1:
∃x∈(0,+∞),
x<
x;p2:
∃x∈(0,1),
>
;p3:
∀x∈(0,+∞),
x>
;p4:
∀x∈
,
x<
,其中的真命题是
A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4
解析 取x=
,则
=1,
=log32<1,p2正确;当x∈
时,
x<1,而
>1,p4正确.
答案 D
考点四:
充分必要条件
【例4】
(1)(·黄冈模拟)已知条件p:
x≤1,条件q:
<1,则綈p是q的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
(2)(·丰台二模)已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若
p是
q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是
A.(0,9)B.(0,3)C.(0,9]D.(0,3]
[审题导引]
(1)求出綈p与q中x的范围后,再判断;
(2)先解p与q中的不等式,然后利用数轴求解.
[规范解答]
(1)
p:
x>1,又易知q:
x<0或x>1,
∴
p是q的充分不必要条件.
(2)解不等式
≤2得p:
-2≤x≤10,
又x2-2x+1-m2=[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,
且m>0,
∴q:
1-m≤x≤1+m.
∵
p是
q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件.
由图得
或
∴0<m≤3.
[答案]
(1)A
(2)D
【规律总结】
充分必要条件的判定方法
(1)充要关系的判断就是在两个条件之间互推,当问题为A是B的什么条件时,如果A⇒B,反之不成立的话,则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件);如果B⇒A,反之不成立的话,则A是B的必要不充分条件(B是A的充分不必要条件);若A⇔B,则A,B互为充要条件.
(2)充要关系可以从集合的观点理解,即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件,N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件,M=N等价于p和q互为充要条件,M,N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
[易错提示] 充分必要条件的判断应注意问题的设问方式,我们知道:
①A是B的充分不必要条件是指:
A⇒B且B
A;②A的充分不必要条件是B是指:
B⇒A且A
B.在解题中一定要弄清它们的区别,以免出现错误.
【变式训练】
7.(·咸阳二模)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是
A.a>b+1B.a>b-1
C.a2>b2D.a3>b3
解析 ∵a>b+1>b,∴a>b+1是a>b的充分条件,
但当a>b时不能推出a>b+1,故选A.
答案 A
8
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