相似三角形的动点问题题型整理doc.docx
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相似三角形的动点问题题型整理doc
相似三角形的动点问题题型(整
理)
相似三角形的动点问题
一、动点型
例1、如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断
EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍
然成立?
若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中EN与MF
的数量关系是否仍然成立?
若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
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例2、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,
BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个
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点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2)
(1)当t=1秒时,S的值是多少?
(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围
(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、
C、G为顶点的三角形相似?
请说明理由.
迁移应用
1、如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿
AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),
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(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t
为何值时,△APR∽△PRQ?
2、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠
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D=90o,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0 1)求证: △ACD∽△BAC; 2)求: DC的长; 3)试探究: △BEF可以为等腰三角形吗? 若能, 求t的值; 若不能,请说明理由. 6 3、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=33,点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点 M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形 ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0). (1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围); (2)当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积; (3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答: 该最大值能否持续一个 7 时段? 若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由. 8 二、动点加动线 例1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3, AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位 长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交 PQ于点D,交折线 Q同时出发,当点 P也随之停止.设点 QB-BC-CP于点E.点P、 Q到达点B时停止运动,点 P、Q运动的时间是t秒(t 9 >0). (1)当t=2时,AP=,点Q到AC的 距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围 (3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形? 若能,求t的值.若不能,请说明理由; (4)当DE经过点C时,请直接写出t的值. 10 迁移应用 1、如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问: 是否存在时刻t,使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似? 若存在,求t 的值. 2、如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE 于F. 11 (1)求证: △PFA∽△ABE; (2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P, F,E为顶点的三角形 也与△ABE相似? 若 存在,请求出x的值; 若不存在,说明理由. 3、如图,已知A(8,0),B(0,6),两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向(→O →A→B→O→)运动,开始时点P在点B位置,点Q在点O位置,点P的运动速度为每秒2个 12 单位,点Q的运动速度为每秒1个单位. (1)在前3秒内,求△OPQ的面积S与时间t之间的关系式;并求出△OPQ的最大面积; (2)在前10秒内,秋P、Q两点之间的最小距离,并求此时点P、Q的坐标; (3)在前15秒内,探究PQ平行于△OAB一 边的情况,并求平行时点P、Q的坐标. y B OAx 13 4、已知: 如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB,点A、C的坐标分别为 A(-3,0),C(1,0),BCAC34, (1)求过点A、B的直线的函数表达式; (2)在X轴上找一点D,连接DB,使得△ADB 与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;(3)在 (2)的条件下,如P、Q分别是AB和 AD上的动点,连接PQ,设 yB AP=DQ=m,问是否存在这样的m 使得△APQ与△ADB相似,如存 A OC x 在,请求出m的值;如不存在, 请说明理由. 14 15 5、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在Y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE=55,且EA3 DA4 (1)判断OCD与△ADE是否相似? 请说明理由; (2)求直线CE与x轴交点P的坐标; (3)是否存在过点D的直线L, 使直线L、直线CE与x轴所围C y B 成的三角形和△CDE相似? 如 E 果存在,请直接写出其解析式并O DAx 画出相应的直线;如果不存在,请说明理由. 16 17 6、△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动,点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交BC于点E.点P,Q分别从B,C两点同时出发,当点Q运动到点A时,点Q、p停止运动,设它们运动的时间为x. 1)当x=秒时,射线DE经过点C; 2)当点Q运动时,设四边形ABPQ的面积为y,求y与x的函数关系式; 3)当点Q运动时,是否存在 以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似? 若存在,求 18 出x的值;若不存在,请说明理由. 19 7、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=20cm,AD=40cm,∠D=120°,点P、Q同时从C点出发,分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动,当Q到达点D, 点P也随之停止运动.设运动时间为t(s) (1)当t为何值时,△CPQ与△ABP相似; (2)设 20 △APQ与梯形ABCD重合的面积为S,求S与 t的函数关系式,写出自变量的取值范围. 21 8、如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B 22 运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒). (1)当t=0.5时,求线段QM的长; (2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的 三角形为直角三角形,求t的值; (3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请 探究CQ是否为定值,若是,试求这个定值;若不 RQ 是,请说明理由. 23 9、如图1,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°, 24 AD=AB=6cm,BC=8cm,点E从点A出发沿AD方向以1cm/s的速度向中点D运动;点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向终点A运动,当点E、点F中有一点运动到终点,另一点也随之停止.设运动时间为ts. (1)当t为何值时,△AEF和△ACD相似? (2)如图2,连接BF,随着点E、F的运动,四边形ABFE可能是直角梯形? 若可能,请求出 t的值及四边形ABFE的面积;若不能,请说明理由; (3)当t为何值时,△AFE的面积最大? 最大值是多少? 25 26 10、如图,在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒 2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O一C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0).△MPQ的面积为S. (1)点C的坐标为,直线l 的解析式为。 (2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围. (3)随着P、Q两点的运动,当点M在线段 CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于 点N.试探究: 当t为何值时,△QMN为等腰三角形? 请直接写出t的值. 27 28
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