小升初数学必须掌握的重难点公式.docx
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小升初数学必须掌握的重难点公式
小升初数学必要掌握34个重难点公式,你记住了多少?
1、和差倍问题
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几种数和与差
几种数和与倍数
几种数差与倍数
公式合用范畴
已知两个数和,差,倍数关系
公式
①(和-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
②(和+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
和-小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数
核心问题
求出同一条件下
和与差
和与倍数
差与倍数
2、年龄问题三个基本特性
①两个人年龄差是不变;
②两个人年龄是同步增长或者同步减少;
③两个人年龄倍数是发生变化;
3、归一问题基本特点
问题中有一种不变量,普通是那个“单一量”,题目普通用“照这样速度”……等词语来表达。
核心问题:
依照题目中条件拟定并求出单一量;
4、植树问题
基本类型
在直线或者不封闭曲线上植树,两端都植树
在直线或者不封闭曲线上植树,两端都不植树
在直线或者不封闭曲线上植树,只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数=段数+1
棵距×段数=总长
棵数=段数-1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
核心问题
拟定所属类型,从而拟定棵数与段数关系
5、鸡兔同笼问题5、鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错那某些置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙同样或者乙和甲同样):
②假设后,发生了和题目条件不同差,找出这个差是多少;
③每个事物导致差是固定,从而找出浮现这个差因素;
④再依照这两个差作恰当调节,消去浮现差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
核心问题:
找出总量差与单位量差。
6、盈亏问题
基本概念:
一定量对象,按照某种原则分组,产生一种成果:
按照另一种原则分组,又产生一种成果,由于分组原则不同,导致成果差别,由它们关系求对象分组组数或对象总量。
基本思路:
先将两种分派方案进行比较,分析由于原则差别导致成果变化,依照这个关系求出参加分派总份数,然后依照题意求出对象总量。
基本题型:
①一次有余数,另一次局限性;
基本公式:
总份数=(余数+局限性数)÷两次每份数差
②当两次均有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数差
③当两次都局限性;
基本公式:
总份数=(较大局限性数一较小局限性数)÷两次每份数差
基本特点:
对象总量和总组数是不变。
核心问题:
拟定对象总量和总组数。
7、牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草速度为“1”份,依照两次不同吃法,求出其中总草量差;再找出导致这种差别因素,即可拟定草生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变;
核心问题:
拟定两个不变量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8、周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化过程中,某些特性有规律循环浮现。
周期:
咱们把持续两次浮现所通过时间叫周期。
核心问题:
拟定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必要能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9、平均数
基本公式:
1平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一种数与基准数差和÷总份数
基本算法:
①求出总数量以及总份数,运用基本公式①进行计算.
②基准数法:
依照给出数之间关系,拟定一种基准数;普通选与所有数比较接近数或者中间数为基准数;以基准数为原则,求所有给出数与基准数差;再求出所有差和;再求出这些差平均数;最后求这个差平均数和基准数和,就是所求平均数,详细关系见基本公式②
10、抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一种抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数和,那么就有如下四种状况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观测上面四种放物体方式,咱们会发现一种共同特点:
总有那么一种抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一种抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一种抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表达不超过X最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
核心问题:
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉量,而后根据抽屉原则进行运算。
11、定义新运算
基本概念:
定义一种新运算符号,这个新运算符号包具有各种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义运算规则,把已知数代入,转化为加减乘除运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
核心问题:
对的理解定义运算符号意义。
注意事项:
①新运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义运算符号只能在本题中使用。
12、数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数差是一定,这样一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列第一种数,普通用a1表达;
项数:
等差数列所有数个数,普通用n表达;
公差:
数列中任意相邻两个数差,普通用d表达;
通项:
表达数列中每一种数公式,普通用an表达;
数列和:
这一数列所有数字和,普通用Sn表达.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an+a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
核心问题:
拟定已知量和未知量,拟定使用公式;
13、二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表达,逢10进1;不同数位上数字表达不同含义,十位上2表达20,百位上2表达200。
因此234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:
N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表达,逢2进1;不同数位上数字表达不同含义。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:
An不是0就是1。
十进制化成二进制:
①依照二进制满2进1特点,用2持续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不不不大于该数2n次方,再求它们差,再找不不不大于这个差2n次方,依此办法始终找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完毕一件任务有n类办法,在第一类办法中有m1种不同办法,在第二类办法中有m2种不同办法……,在第n类办法中有mn种不同办法,那么完毕这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同办法。
核心问题:
拟定工作分类办法。
基本特性:
每一种办法都可完毕任务。
乘法原理:
如果完毕一件任务需要提成n个环节进行,做第1步有m1种办法,不论第1步用哪一种办法,第2步总有m2种办法……不论前面n-1步用哪种办法,第n步总有mn种办法,那么完毕这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同办法。
核心问题:
拟定工作完毕环节。
基本特性:
每一步只能完毕任务一某些。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线一端无限延长。
射线特点:
只有一种端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长线段数×宽线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数
质数:
一种数除了1和它自身之外,没有别约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一种数除了1和它自身之外,尚有别约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数约数,那么这个质数叫做这个数质因数。
分解质因数:
把一种数用质数相乘形式表达出来,叫做分解质因数。
通惯用短除法分解质因数。
任何一种合数分解质因数成果是唯一。
分解质因数原则表达形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N质因数,且a1 求约数个数公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 16、约数与倍数 约数和倍数: 若整数a可以被b整除,a叫做b倍数,b就叫做a约数。 公约数: 几种数公有约数,叫做这几种数公约数;其中最大一种,叫做这几种数最大公约数。 最大公约数性质: 1、几种数都除以它们最大公约数,所得几种商是互质数。 2、几种数最大公约数都是这几种数约数。 3、几种数公约数,都是这几种数最大公约数约数。 4、几种数都乘以一种自然数m,所得积最大公约数等于这几种数最大公约数乘以m。 例如: 12约数有1、2、3、4、6、12; 18约数有: 1、2、3、6、9、18; 那么12和18公约数有: 1、2、3、6; 那么12和18最大公约数是: 6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本办法: 1、分解质因数法: 先分解质因数,然后把相似因数连乘起来。 2、短除法: 先找公有约数,然后相乘。 3、辗转相除法: 每一次都用除数和余数相除,可以整除那个余数,就是所求最大公约数。 公倍数: 几种数公有倍数,叫做这几种数公倍数;其中最小一种,叫做这几种数最小公倍数。 12倍数有: 12、24、36、48……; 18倍数有: 18、36、54、72……; 那么12和18公倍数有: 36、72、108……; 那么12和18最小公倍数是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数性质: 1、两个数任意公倍数都是它们最小公倍数倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数乘积等于这两个数乘积。 求最小公倍数基本办法: 1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数办法 17、数整除 基本概念和符号: 1、整除: 如果一种整数a,除以一种自然数b,得到一种整数商c,并且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、惯用符号: 整除符号“|”,不能整除符号“”;由于符号“∵”,因此符号“∴”; 整除判断办法: 1.能被2、5整除: 末位上数字能被2、5整除。 2.能被4、25整除: 末两位数字所构成数能被4、25整除。 3.能被8、125整除: 末三位数字所构成数能被8、125整除。 4.能被3、9整除: 各个数位上数字和能被3、9整除。 5.能被7整除: ①末三位上数字所构成数与末三位此前数字所构成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字2倍后能被7整除。 6.能被11整除: ①末三位上数字所构成数与末三位此前数字所构成数之差能被11整除。 ②奇数位上数字和与偶数位数数字和差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7.能被13整除: ①末三位上数字所构成数与末三位此前数字所构成数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字9倍后能被13整除。 整除性质: 1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c最小公倍数整除。 18、余数及其应用 基本概念: 对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0 余数性质: ①余数不大于除数。 ②若a、b除以c余数相似,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b和除以c余数等于a除以c余数加上b除以c余数和除以c余数。 ④a与b积除以c余数等于a除以c余数与b除以c余数积除以c余数。 19、余数、同余与周期 同余定义: ①若两个整数a、b除以m余数相似,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。 同余性质: ①自身性: a≡a(modm); ②对称性: 若a≡b(modm),则b≡a(modm); ③传递性: 若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm); ④和差性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm); ⑥乘方性: 若a≡b(modm),则an≡bn(modm); ⑦同倍性: 若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c); 关于乘方预备知识: ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 被3、9、11除后余数特性: ①一种自然数M,n表达M各个数位上数字和,则M≡n(mod9)或(mod3); ②一种自然数M,X表达M各个奇数位上数字和,Y表达M各个偶数数位上数字和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11); 费尔马小定理: 如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。 20、分数与百分数应用 基本概念与性质: 分数: 把单位“1”平均提成几份,表达这样一份或几份数。 分数性质: 分数分子和分母同步乘以或除以相似数(0除外),分数大小不变。 分数单位: 把单位“1”平均提成几份,表达这样一份数。 百分数: 表达一种数是另一种数百分之几数。 惯用办法: ①逆向思维办法: 从题目提供条件反方向(或成果)进行思考。 ②相应思维办法: 找出题目中详细量与它所占率直接相应关系。 ③转化思维办法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常用是转换成比例和转换成倍数关系;把不同原则(在分数中普通指是一倍量)下分率转化成同一条件下分率。 常用解决办法是拟定不同原则为一倍量。 ④假设思维办法: 为理解题以便,可以把题目中不相等量假设成相等或者假设某种状况成立,计算出相应成果,然后再进行调节,求出最后成果。 ⑤量不变思维办法: 在变化各个量当中,总有一种量是不变,无论其她量如何变化,而这个量是始终固定不变。 有如下三种状况: A、分量发生变化,总量不变。 B、总量发生变化,但其中有分量不变。 C、总量和分量都发生变化,但分量之间差量不变化。 ⑥替代思维办法: 用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法: 总量和分量之间按照同分率变化规律进行解决。 ⑧浓度配比法: 普通应用于总量和分量都发生变化状况。 21、分数大小比较 基本办法: ①通分分子法: 使所有分数分子相似,依照同分子分数大小和分母关系比较。 ②通分分母法: 使所有分数分母相似,依照同分母分数大小和分子关系比较。 ③基准数法: 拟定一种原则,使所有分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法: 当分子和分母差一定期,分子或分母越大分数值越大。 ⑤倍率比较法: 当比较两个分子或分母同步变化时分数大小,除了运用以上办法外,可以用同倍率变化关系比较分数大小。 (详细运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较办法: 把所有分数转化成小数(求出分数值)后进行比较。 ⑦倍数比较法: 用一种数除以另一种数,成果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法: 用一种分数减去另一种分数,得出数和0比较。 ⑨倒数比较法: 运用倒数比较大小,然后拟定原数大小。 ⑩基准数比较法: 拟定一种基准数,每一种数与基准数比较。 22、分数拆分 将一种分数单位分解成两个分数之和公式。 23、完全平方数 完全平方数特性: 1.末位数字只能是: 0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2.除以3余0或余1;反之不成立。 3.除以4余0或余1;反之不成立。 4.约数个数为奇数;反之成立。 5.奇数平方十位数字为偶数;反之不成立。 6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7.两个相临整数平方之间不也许再有平方数。 平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式: (X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式: (X-Y)2=X2-2XY+Y2 24、比和比例 比: 两个数相除又叫两个数比。 比号前面数叫比前项,比号背面数叫比后项。 比值: 比前项除后来项商,叫做比值。 比性质: 比前项和后项同步乘以或除以相似数(零除外),比值不变。 比例: 表达两个比相等式子叫做比例。 a: b=c: d或 比例性质: 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例: 若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB商不变时),则A与B成正比。 反比例: 若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB积不变时),则A与B成反比。 比例尺: 图上距离与实际距离比叫做比例尺。 按比例分派: 把几种数按一定比例提成几份,叫按比例分派。 25、综合行程 基本概念: 行程问题是研究物体运动,它研究是物体速度、时间、路程三者之间关系. 基本公式: 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 核心问题: 拟定运动过程中位置和方向。 相遇问题: 速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其她公式) 追及问题: 追及时间=路程差÷速度差(写出其她公式) 流水问题: 顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 流水问题: 核心是拟定物体所运动速度,参照以上公式。 过桥问题: 核心是拟定物体所运动路程,参照以上公式。 重要办法: 画线段图法 基本题型: 已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。 26、工程问题 基本公式: ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路: ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关); ②假设一种以便数为工作总量(普通是它们完毕工作总量所用时间最小公倍数),运用上述三个基本关系,可以简朴地表达出工作效率及工作时间. 核心问题: 拟定工作量、工作时间、工作效率间两两相应关系。 27、逻辑推理 条件分析—假设法: 假设也许状况中一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾状况,阐明该假设状况是不成立,那么与她相反状况是成立。 例如,假设a是偶数成立,在判断过程中浮现了矛盾,那么a一定是奇数。 条件分析—列表法: 当题设条件比较多,需要多次假设才干完毕时,就需要进行列表来辅助分析。 列表法就是把题设条件所有表达在一种长方形表格中,表格行、列分别表达不同对象与状况,观测表格内题设状况,运用逻辑规律进行判断。 条件分析—图表法: 当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表达两个对象之间关系,有连线则表达“是,有”等必定状态,没有连线则表达否定状态。 例如A和B两人之间有结识或不结识两种状态,有连线表达结识,没有表达不结识。 逻辑计算: 在推理过程中除了要进行条件分析推理之外,还要进行相应计算,依照计算成果为推理提供一种新判断筛选条件。 简朴归纳与推理: 依照题目提供特性和数据,分析其中存在规律和办法,并从特殊状况推广到普通状况,并递推出有关关系式,从而得到问题解决。 28、几何面积 基本思路: 在某些面积计算上,不能直接运用公式状况下,普通需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则图形变为规则图形进行计算;此外需要掌握和记忆某些常规面积规律。 惯用办法: 1.连辅助线办法 2.运用等底等高两个三角形面积相等。 3.大胆假设(有些点设立题目中说是任意点,解题时可把任意点设立在特殊位置上)。 4.运用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。 (斜边平方除以4等于等腰直角三角形面积) ②梯形对角线连线后,两腰某些面积相等。 ③圆面积占外接正方形面积78.5%。 29、时钟问题—快慢表问题 基本思路: 1、按照行程问题中思维办法解题; 2、不同表当成速度不同运动物体; 3、路程单位是分格(表一周为60分格); 4、时间是原则表所通过时间; 5、合理运用行程问题中比例关系; 30、时钟问题—钟面追及 基本思路: 封闭曲线上追及问题。 核心问题: ①拟定分针与时针初始位置;②拟定分针与时针路程差; 基本办法: ①分格办法: 时钟钟面圆周被均匀提成60小格,每小格咱们称为1分格。 分针每小时走60分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1/12分格。 ②度数办法: 从角度观点看,钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度,即6°,时针每分钟转360/12X60度,即1/2度。 31、浓度与配比 经验总结: 在配比过程中存在这样一种反比例关系,进行混合两种溶液重量和她们浓度变化成反比。 溶质: 溶解在其他物质里物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。 溶剂: 溶解其他物质物质(例如水、汽油等)叫溶剂。 溶液: 溶质和溶剂混合成液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。 基本公式: 溶液重量=溶质重量+溶剂重量; 溶质重量=溶液重量×浓度; 浓度=溶质/溶液×100%=溶质/(溶剂+溶质)×100% 经验总结: 在配比过程中存在这样一种反比例关系,进行混合两种溶液重量和她们浓度变化成反比。 32、经济问题 利润百分数=(卖价-成本)÷成本×100%; 卖价=成本×(1+利润百分数); 成本=卖价÷(1+利润百分数); 商品定价按照盼望利润来拟定; 定价=成本×(1+盼望利润百分数); 本金: 储蓄金额; 利率: 利息和本金比; 利息=本金×利率×期数; 含税价格=不含税价格×(1+增值税税率); 33、不定方程 一次不定方程: 具有两个未知数一种方程,叫做二元一次方程,由于它解不唯一,因此也叫做二元一次不定方程; 常规办法: 观测法、实验法、枚举法; 多元不定方程: 具有三个未知数方程叫三元一次方程,它解也不唯一; 多元不定方程解法: 依照已知条件拟定一种
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