线性代数复习题.docx
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线性代数复习题
线性代数复习题
一•填空题
1•求下列各排列的逆序数t:
35214,t=;34251,t=;25431,t=
2•计算三阶行列式
21k
D024;当k、时,得D8
k10
5•设A、B都是三阶方阵,已知A3,B2
2A,3B,2ABo
6.已知三阶方阵
321
A213oA,R(A),一个最高阶非零子式
705
7.n元线性方程组Axb无解的充要条件是R(A),有唯一解的充要条
件是R(A),有无限多解的充要条件是R(A)
8.已知向量组A构成的矩阵为
k11
A(a「a2,a3)1k1。
当k、、时,向量组A线性无关。
11k
9.已知向量组A:
a1(1,3)T,a2(2,)T;向量b(,3)T。
当、时,
b不能由A线性表示;当时,b可由A线性表示且表示式唯一。
10•已知三阶方阵
102
A020。
208
计算:
一阶主子式=,二阶主子式=,三阶主子式=
11.
求下列各排列的逆序数t:
12.计算三阶行列式
;当
时,得D4
13.
已知三阶方阵
14.已知二阶方阵
15.
A*
a1
2B
ab
16.
已知三阶方阵
17.n元齐次线性方程组AxO有非零解的充要条件是R(A),线性方程
组Axb有解的充要条件是R(A),矩阵方程AXB有解的充要条件是
R(A)o
18.已知向量组A构成的矩阵为
(ai,a2,a3)
当k、、时,向量组A线性无关。
19.已知向量组A:
a1(,2)t,a2(2,1)T;向量b(1,)T。
当、时,b不能由A线性表示;
当时,b可由A线性表示且表示式唯一。
20.将向量ai化为对应的单位向量e(i1,2,3):
a1(1,2,1)T,a2(1,1,1)T,a3(1,0,1)T;
e1,e2,03。
21.计算三阶行列式
abc
bac
baa
bca
?
cba
?
cbb
cab
acb
acc
22.已知方程组kX1X21。
系数行列式D;若方程组有唯一解,
3%2x25
则D,此时得k。
23.
已知三维向量A(1,2,3),B(3,2,1)t。
25.设A、B都是三阶方阵,已知A1,B2
2A,2B,2AB
26.已知方程组Axb为
2x13x27
A1
;X1
X2
X]2x2
。
7
27.
已知方程组
3x1
kx2
X30
系数行列式
D
;若方程组有非零解,则
4X2
X30
。
k,
。
kx1
4X2
0
28.
已知向量组
A:
玄1
(k
1,0,0)T,a2
(0,k,1)T,
as(0,1,k)T。
矩阵
A(a1,a2,a3
)
;当k
、
时,向量组A线性相关。
29.
判断向量组
A:
a1
(0,
)T,a2(3,
)T的线性相关无关性:
当
当1,
0时,
A线性;
当0,
1时,A线性
当
当1,
1时,
A线性。
)
30.若向量6©构成向量空间V的一个规范正交基,则
ei,e2,ei,e2
31.计算三阶行列式(未写出的元素为0)
a
a
a
b
b
db
c
c
efc
32.已知方程组2X1kX22。
系数行列式D;若方程组有唯一解,
x1x23
则D,此时得k。
33.已知二阶方阵A
AB,BA,ABT
34.已知二阶方阵
A*,A
35.设A、B都是三阶方阵,已知A3,B2
2A,3B,|AB
36.已知方程组Axb为
x1x22
a1
;X1
X2
°
2x1x21
37.已知方程组
x12x2x3
0
系数行列式D
;若方程组有非零解,则
3x1kx2
0。
k
°
kx14x22x3
0
38.已知向量组
A:
a1
(k,0,1)T,a2
(0,k1,0)T,a3
(1,0,k)T°
矩阵
A(a1,a2,a3
)
;当k、
时,
向量组a线性相关。
39.判断向量组
A:
a1
(,1)T,a2
(8,)T的线性相关无关性
:
当4,
2时,
A线性
;当1,
0时,
a线性
当0,
1时,
A线性
°
40•已知向量a(1,2,3)t,b(1,2,1)T,则
a,b,a,b
41.已知行列式
42.
52
113,计算余子式:
M
134
43.已知方程组3X1kX20。
系数行列式D;若方程组有非零解,
x12x20
则D,此时得k。
44.已知二阶方阵A
at,bt,(AB)t
45.已知二阶方阵
49.判断向量组
A:
a1
(4,)T,a2
(,3)T的线性相关无关性:
当0,
0时,
A线性
:
当1,2时,A线性
当2,
6时,
A线性
。
50.设n维向量
X(X1,X
2,,Xn)T、y
(y1,y2,,yn),P为正交矩阵,则成立结论
时,向量组A线性相关。
当k
A(ai,a2,a3)
o
7
n
45.设A为n阶方阵,已知A
46.已知方程组Ax
47.已知方程组
.计算题1.已知矩阵
211
113
A210B
332
111
(1)
.求A1;
(2).解矩阵方程XAB
2•已知矩阵
421
1
2
A311B
1
0
212
3
4
(1).求A1;
(2).解矩阵方程AXB。
3•已知矩阵
111
1
1
3
A210
B
4
3
2
111
1
2
5
1
(1).求A
1
(2).
解矩阵方程
XA
B。
6
7
0
32
1
4•已知矩阵A
0
2
4
B31
5
6
2
0
32
3
(1).求A1
1;
7
(2).
解矩阵方程
XA
B。
1
1
1
2
5.已知矩阵A
2
1
3
B1
3
2
5
0
(1).求A
1.
⑵
.解矩阵方程AX
B。
6.设有向量组A:
:
a1
(1,
1,2,4)T,a2(0,3,1,2)t
a3(1,1,2,0)T,a4(2,1,5,6)
要求:
(1).找出A的一个最大无关组Ao;
(2).写出A的秩Ra;
(3).其余向量用Ao线性表示。
7•设有向量组A:
ai(1,1,3,1)T,a2(1,1,1,3)丁@(5,2,8,9)T且(1,3,1,7)T
要求:
(1).找出A的一个最大无关组Ao;
(2).写出A的秩Ra;
(3).其余向量用Ao线性表示。
8•设有向量组A:
ai(1,1,2,3)02(1,1,1,1)T,as(1,3,3,5)04(4,2,5,6)T。
要求:
(1).找出A的一个最大无关组Ao;
(2).写出A的秩Ra;
(3).其余向量用Ao线性表示。
9.设有向量组A:
a1(1,1,0,1)T,a2(1,2,1,3)丁忌(0,1,1,2)04(0,1,1,1)T。
要求:
(1).找出A的一个最大无关组Ao;
(2).写出A的秩Ra;
(3).其余向量用Ao线性表示。
10.设有向量组Ay(1,1,1,1)T,a2(3,1,1,3)T,a3(2,0,1,1)T冋(1,1,0,2)T。
要求:
(1).找出A的一个最大无关组A。
;
(2).写出A的秩Ra;
(3).其余向量用A。
线性表示。
11.已知非齐次线性方程组
x1x2
(1).写出增广矩阵;
(2).求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
(3).求出方程组的一个解;
(4).写出对应的齐次方程组的基础解系;
(5).写出方程组的通解。
12.已知非齐次线性方程组
x-i5x22x33x411
5x13x26x3x41
2x14x22x3x46
(1).写出增广矩阵;
(2).求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
(3).求出方程组的一个解;
(4).写出对应的齐次方程组的基础解系;
(5).写出方程组的通解。
13.已知非齐次线性方程组
2x-\
X3
X4
3x12x2
X3
3x4
Xi4x23x35x4
(1).写出增广矩阵;
(2).求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
(3).求出方程组的一个解;
(4).写出对应的齐次方程组的基础解系;
(5).写出方程组的通解。
14.已知非齐次线性方程组
x-ix22x46
4x1
X2
3x3
X4
3x-|
X2
3x3
(1).写出增广矩阵;
(2).求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
(3).求出方程组的一个解;
(4).写出对应的齐次方程组的基础解系;
(5).写出方程组的通解。
15.已知非齐次线性方程组
2x1
X2
X3
X4
1
%
X2
X3
X4
2
4x1
X2
X3
X4
5
(1).写出增广矩阵;
(2).求出系数矩阵与增广矩阵的秩;
(3).求出方程组的一个解;
(4).写出对应的齐次方程组的基础解系;
(5).写出方程组的通解。
200
16.已知矩阵A032。
求关于A的:
023
(1).特征多项式;
(2).特征值;
(3).对应特征值的基础解系;(4).全部特征向量表示式。
111
17.已知矩阵A111。
求关于A的:
111
(1).特征多项式;
(2).特征值;
(3).对应特征值的基础解系;(4).全部特征向量表示式。
131
18.已知矩阵A011。
求关于A的:
002
(1).特征多项式;
(2).特征值;
(3).对应特征值的基础解系;(4).全部特征向量表示式。
123
19.已知矩阵A213。
求关于A的:
336
(1).特征多项式;
(2).特征值;
(3).对应特征值的基础解系;(4).全部特征向量表示式。
210
20.已知矩阵A120。
求关于A的:
002
(1).特征多项式;
(2).特征值;
(3).对应特征值的基础解系;(4).全部特征向量表示式
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