特殊三角形复习学案.docx
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特殊三角形复习学案
特殊三角形复习
课标要求
(1)了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
探索并掌握等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
探索等边三角形的性质定理:
等边三角形的各角都等于60°,及等边三角形的判定定理:
三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。
(2)了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:
直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
(3)探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
课标分析
从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述
(1)、知识与技能
掌握基本的证明方法和基本的作图等技能;掌握基本的推理技能。
(2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中,进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。
体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。
能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式
(3)、问题解决
尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题;在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论。
经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。
(4)、情感与态度
感受成功的快乐,体验独自克服困难、解决数学问题的过程,有克服困难的勇气,具备学好数学的信心。
在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值。
教学目标:
1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴;
2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定,能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
3、掌握直角三角形的性质和判定,能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
4、掌握勾股定理及其逆定理,进一步理解数形之间的联系。
教学重点:
等腰三角形的性质和判定,直角三角形的性质和判定,勾股定理。
教学难点:
灵活运用等腰三角形、直角三角形的性质和判定,进行有关计算和证明。
教学过程
【自主练习】
自主完成课件“自主尝试”环节。
【知识回顾】
1.等腰三角形:
(1)性质:
相等,相等,底边上的高线、中线、
顶角的角平分线“三线合一”;
(2)判定:
有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形.
2.等边三角形:
(1)性质:
相等,三内角都等于;
(2)判定:
三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形.
3.直角三角形:
在△ABC中,∠C=90°.
(1)性质:
边与边的关系:
(勾股定理)a2+b2=;
(2)角与角的关系:
∠A+∠B=;
(3)边与角的关系:
若∠A=30°,则a=c,b=c;
若a=c,则∠A=30°;若∠A=45°,则a=b=c;
若a=c,则∠A=45°;斜边上的中线m=c=R.其中R为三角形外接圆的半径.
(4)判定:
有一个角是直角的三角形是直角三角形;如果三角的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
【基础自测】
1.(2011·)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,那么此三角形的周长是( )
A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm
2.(2011·)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )
A.等腰三角形两底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互
相重合
C.等腰三角形是中心对称图形D.等腰三角形是轴对称图形
3.(2011·)如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为( )
A.2 B.4C.3 D.4
4.如图,在
中,
,
,点
为
的中点,
,垂足为点
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
5.如图,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,点E、F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是()
A.4
B.3
C.2
D.
题型分类深度剖析
题型一 等腰三角形有关边角的讨论
【例1】
(1)方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )
A.12B.12或15C.15D.不能确定
(2)如果等腰三角形的一个内角是80°,那么顶角是________度.
探究提高 在等腰三角形中,如果没有明确底边和腰,某一边可以是底,
也可以是腰.同样,某一角可以是底角也可以是顶角,必须仔细分类讨
论.
变式训练1
(1)(2011·株洲)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.
①求∠ECD的度数;
②若CE=5,求BC长.
(2)(2011·)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为___________________.
题型二 等腰三角形的性质
【例2】 如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且AE=BF,试判断△DEF的形状.
变式训练2 已知:
如图,D是等腰△ABC底边BC上一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时,DE=DF?
并加以证明.
题型三 等边三角形
【例3】
(1)已知:
如图,P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
(2)(2010·大兴安岭)如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边
三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD交于点
O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,
则下列结论:
①AE=BD;
②AG=BF;
③FG∥BE;
④∠BOC=∠EOC.
其中正确结论的个数( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式训练3 如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.
(1)求证:
AD=CE;
(2)求∠DFC的度数.
题型四 直角三角形、勾股定理
【例4】
(1)如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上,且l1、l2之间的距离为2,l2、l3之间的距离为3,则AC的长是( )A.2B.2C.4D.7
(2)如图,在钝角三角形ABC中,BC=9,AB=17,AC=10,AD⊥BC,交BC的延长线于D,求AD的长.
变式训练4
(1)如图,直线l上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A.4 B.6C.16D.55
(2)(2011·鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm,第三边上的高为10cm,则此三角形的面积为__________cm2.
三角形的高可能在形外
在△ABC中,高AD和高BE相交于H,且BH=AC,求∠ABC的度数
易出错的等腰三角形问题
已知△ABC是等腰三角形,由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半,试求∠BAC的度数.
总结提醒
1.对于等腰三角形问题,当给出的条件(如边、角情况)不明时,一般要分情况逐一考察,否则,容易出现错解或漏解的错误.
2.当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角为直角时,腰上的高与另一腰重合;当顶角为钝角时,腰上的高在三角形外.这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时,应考虑的几个方面.
方法与技巧
1.掌握分类的思想和方法,可深入理解,有效记忆,便于应用.例如:
从三角形三边长的比较,可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形,等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形;而从最大内角的大小出发,又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.由于两种分类的标准不同,所以一个具体的三角形,在两种分类中,必各属于其中的一类.如等腰直角三角形,在第一种分类中,属于其它等腰三角形;在第二种分类中,属于直角三角形.
2.在一个三角形中“等边对等角,等角对等边”,当所要求证的两边、两角位于同一个三角形中,利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法.
3.等腰三角形“三线合一”的性质,运用广泛而又灵活,在于三线中只要有任两线重合,则可判定三角形等腰,即第三线也重合.
4.证明等边三角形的方法一般有两种:
一是直接论证三边或三角相等;二是先证明是等腰三角形,再证明其中一角为60°.
5.在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半,同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形,这一特征在解题中时有运用;在直角三角形中,含锐角30°、45°这两类是较为特殊的,它们的边、角有一些特殊的数量关系,应该熟记在心.
失误与防范
1.在解有关等腰三角形的问题时,有一种习惯上的认识,总认为腰大于底,这是造成错解的原因.实际上底也可以大于腰,此时也能构成三角形.
2.有关等腰三角形的问题,若条件中没有明确底和腰时,一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论,还要特别注意构成三角形的条件;同样,在底角没有被指定的等腰三角形中,应就某角是顶角还是底角进行讨论.我们要细心谨慎,注意运用分类讨论的方法,将问题考虑全面,不能想当然.
3.在已知三角形三边的前提下,判断这个三角形是否为直角三角形,首先要确定三条边中的最大边,再根据勾股定理的逆定理来判定.在解题时,往往受思维定式的影响,误认为如果是直角三角形,则c就是斜边,从而造成误解.
当堂测试
考点一:
等腰三角形性质的运用
1、(2012•襄阳)在等腰△ABC中,∠A=30°,AB=8,则AB边上的高CD的长是或4
.
2.(2012•)已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=
BC,则△ABC底角的度数为( )
A.45°B.75°C.45°或75°D.60°
考点二:
线段垂直平分线
3、(2012•毕节地区)如图.在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是( )
A.
B.2C.
D.4
4.(2012•)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是( )
A.3B.2C.
D.1
考点三:
等边三角形的判定与性质
5.(2012•)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
考点四:
角的平分线
6、(2012•)如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF=2
.
7.(2012•)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DC=2,则D到AB边的距离是2
.
考点五:
勾股定理
8、(2012•黔西南州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,则四边形ACEB的周长为.
9.(2012•新疆)如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积S1=
π,S2=2π,则S3是.
课下作业
1.(2012•)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为( )
A.3B.3.5C.2.5D.2.8
2.(2012•)如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( )
A.-4和-3之间B.3和4之间C.-5和-4之间D.4和5之间
3.(2012•)等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为( )
A.16B.18C.20D.16或20
4.(2012•)已知实数x,y满足|x-4|+
=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20
C.16D.以上答案均不对
5.(2012•)如图在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为( )
A.16B.15C.14D.13
6.(2012•黔东南州)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M,则点M的坐标为( )
A.(2,0)B.(
,0)C.(
,0)D.(
,0)
7.(2012•铜仁地区)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
8.(2012•)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为( )
A.
20
B.
12
C.
14
D.
13
9.(2012•)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD=3
.
10.(2012•黄冈) 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为36°
.
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