三角形全等之类比探究讲义及答案.docx
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三角形全等之类比探究讲义及答案
三角形全等之类比探究(讲义)
Ø知识点睛
1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解决思想方法一脉相承的综合性题目,常以几何综合题为主.
2.解决类比探究问题的一般方法:
(1)根据题干条件,结合_______________先解决第一问;
(2)用解决_______的方法类比解决下一问,整体框架照搬.
整体框架照搬包括_________________,________________,_________________.
3.常见几何特征及做法:
见中点,___________________________.
Ø精讲精练
1.
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,
求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE,AD,BE之间的数量关系.
2.如图1,四边形ABCD是正方形,AB=BC,∠B=∠BCD=90°,
点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角∠DCG的
平分线CF于点F.
(1)求证:
AE=EF(提示:
在AB上截取BH=BE,连接HE,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决).
(2)如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立吗?
说明理由.
(3)如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”是否成立?
说明理由.
3.
以△ABC的边AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,∠BAE=∠CAD=90°,AB=AE,AC=AD,M是BC中点,连接AM,DE.
(1)如图1,在△ABC中,当∠BAC=90°时,求AM与DE的数量关系和位置关系.
(2)如图2,当△ABC为一般三角形时,
(1)中的结论是否成立,并说明理由.
(3)如图3,若以△ABC的边AB,AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,其他条件不变,
(1)中的结论是否成立,并说明理由.
4.
(1)如图1,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∠ABC=
∠ADC=90°,则能得到如下两个结论:
①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②.
(2)如图2,把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC+∠ADC=180°”,其他条件不变,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,如果D在AM的反向延长线上,把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为“∠ABC=∠ADC”,其他条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请直接回答;若不成立,请直接写出你的结论.
【参考答案】
Ø知识点睛:
解决类比探究问题的一般方法:
(1)根据题干条件,结合分支条件先解决第一问;
(2)用解决第
(1)问的方法类比解决下一问,整体框架照搬.
整体框架照搬包括照搬字母,照搬辅助线,照搬思路.
常见几何特征及做法:
见中点,考虑倍长中线.
Ø精讲精练
1.证明:
(1)如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,DC=EB
∴DE=CE+DC
=AD+BE
(2)如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠CBE+∠2=90°
∴∠1=∠CBE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,DC=EB
∴DE=CE-DC
=AD-BE
(3)DE=BE-AD,理由如下:
如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,DC=EB
∴DE=DC-CE
=BE-AD
2.解:
(1)AE=EF,理由如下:
如图,在AB上截取BH=BE,连接HE.
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°,∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°,∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
(2)AE=EF仍成立,理由如下:
如图,在AB上截取BH=BE,连接HE.
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠1=∠2=45°
∴∠AHE=135°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠GCF=45°
∴∠ECF=135°
∴∠AHE=∠ECF
∵∠AEF=90°,∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°,∠AEB+∠4=90°
∴∠3=∠4
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
(3)AE=EF仍成立,理由如下:
如图,延长BA到H,使BH=BE,连接HE.
∵AB=BC
∴AH=EC
∵∠B=90°
∴∠H=45°
∵∠BCD=90°
∴∠DCG=90°
∵CF平分∠DCG
∴∠1=45°
∴∠H=∠1
∵∠AEF=90°,∠B=90°
∴∠AEB+∠3=90°,∠AEB+∠2=90°
∴∠2=∠3
∵∠HAE+∠2=180°,∠CEF+∠3=180°
∴∠HAE=∠CEF
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF(ASA)
∴AE=EF
3.解:
(1)DE=2AM,AM⊥DE,理由如下:
如图,延长AM到F,使MF=AM,连接BF,延长MA交DE于G.
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC,∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED,∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
(2)
(1)中的结论成立,理由如下:
如图,延长AM到F,使MF=AM,连接BF,延长MA交DE于G.
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC,∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED,∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
(3)
(1)中的结论成立,理由如下:
如图,延长AM到F,使MF=AM,交DE于G,连接BF.
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC,∠FBM=∠ACM
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∠BAC=∠BAE+∠CAD-∠DAE
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED,∠BAF=∠AED
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠BAF+∠EAF=90°
∴∠AED+∠EAF=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
4.
(1)证明:
如图,在BN上截取BE=AD.
∵AC平分∠DAB,∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°
在△CDA和△CBA中
∴△CDA≌△CBA(AAS)
∴DC=BC,AD=AB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE(SAS)
∴AC=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
(2)成立,证明如下:
如图,过C作CG⊥AM于G,CF⊥AN于F,在BN上截取BE=AD.
∵CG⊥AM,CF⊥AN
∴
∵AC平分∠DAB,∠MAN=120°
∴∠1=∠2=60°,CG=CF
∵∠ABC+∠ADC=180°
∠CDG+∠ADC=180°
∠ABC+∠EBC=180°
∴∠CDG=∠CBF,∠ADC=∠EBC
在△CGD和△CFB中
∴△CGD≌△CFB(AAS)
∴CD=CB
在△CDA和△CBE中
∴△CDA≌△CBE(SAS)
∴CA=EC
∵∠2=60°
∴AC=AE
=BE+AB
=AD+AB
(3)①成立;②不成立,AD+AC=AB
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