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命题的否定
认识数学中『命题的否定』
数学是一门逻辑性很强的学科,学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。
人民教必修5中编排了“简易逻辑”内容,介绍一些简单而又实用的逻辑知识,目的是让学生弄清命题之间的逻辑关系,自觉地使用逻辑规则,避免一些易犯的错误,从而增强判断是非能力和推理能力,提高数学思维能力。
但在教学过程中发现学生对命题的否定难掌握,为此下面谈谈如何来构造比较合理的命题的否定,供师生们参考。
首先我们要理解好命题否定“非”的认识。
“非”命题是对原命题结论的否定。
一个命题p经过使用逻辑联结词“非”,就构成一个复合命题“非p”(记作“┓P”)称为命题的否定。
“非P”叫做命题P的非命题,也叫做命题P的否定。
“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假,一假一真,构成一对矛盾命题。
但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。
《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型:
单称命题的否定即简单命题的否定,存在性命题的否定,全称性命题的否定,复合命题“P且q”、“P或q”的否定。
下面一一试述:
1 简单命题的否定
在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。
其中P是一个特定对象。
例1 写出下列命题的否定。
(1)是有理数。
(2)菱形的对角线互相垂直。
(3)N{xR︱x>–2}.
(4)方程=1没有实数根。
解:
(1)的否定:
不是有理数。
或者是并非是有理数。
(2)的否定:
菱形的对角线不互相垂直。
(3)的否定:
N{xR︱x>–2}。
(4)的否定:
方程=1有x≠3的实数根。
2 复合命题“P且q”;“P或q”形式的否定。
给定命题P、q,用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题(也叫联言命题)。
记作Pq.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q的析取命题(也叫选言命题)。
记作Pq。
它的否定可以通过真值表来:
(“1”表示真,“0”表示假)
P
q
Pq
Pq
┓(Pq)
┓(Pq)
┓P┓q
┓P┓q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
从表可知:
┓(Pq)与┓P┓q的真值相同;┓(Pq)与┓P┓q的真值相同,故它们分别是等价命题,因而我们认为“P且q“的否定为:
“非P或非q”;“P或q”的否定为“非P且非q”。
用符号语言表示:
┓(Pq)=┓P┓q ┓(Pq)=┓P┓q
从而知命题“Pq”和“Pq”的否定:
既否定命题P,q;又改变联结词。
例2 写出下列命题的否定。
(1)a=±5。
(2)f(x)=0既是奇函数又是偶函数。
(3)5是10的约数且是15的约数。
(4)2+2=5或3<2。
(5) AB∥CD
(6)a,b都是0。
解
(1)的否定:
a≠5且a≠–5。
(原命题属于P或q型)
(2)的否定:
f(x)不是奇函数或不是偶函数。
(原命题属于P且q型)
(3)的否定:
5不是10的约数或5不是15的约数。
(4)的否定:
2+2≠5且3≥2。
(5)的否定:
AB∥CD或AB≠CD。
(6)的否定:
“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。
可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。
3 复合命题“若P则q”形式的否定。
“若P则q”(记作Pq)型命题的否定实质上较复杂,但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题,是具有真假性的命题,不能区分真假性的命题不作研究。
当语句P和q能判断其真假时就成为命题,那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系,其否定形式不妨用真值表来解决。
(用“1”表示真,“0”表示假)
P
q
┓q
Pq
┓Pq
┓(Pq)
P(┓q)
P(┓q)
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
从表可知,“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同,故是等价命题。
我们就此认为:
命题”若P则q”的否定为“P且非q”,且习惯表达为“虽然P,却非q”的形式,或是“尽管P,然而非q”.用符号语言表示:
┓(Pq)=P(┓q) 或 ┓(Pq)=┓(┓Pq)=P(┓q)
例3 写出下列命题的否定。
(1)若x2+y2=0, 则x,y全为0。
(2)若x=2或x=–1 则x2-x-2=0.
(3)若集合B真包含集合A,则集合A包含于集合B。
解:
(1)的否定:
虽然x2+y2=0,但是x和y不全为0。
(2)的否定:
虽然x=2或x=–1,但x2-x-2≠0.。
(3)的否定:
尽管集合B真包含集合A,然而集合A不包含于集合B。
但在教学中发现有些师生把例3的答案写成:
(1)若x2+y2=0,则x,y不全为0。
(2)若x=2或x=–1,则x2-x-2≠0.是不对的。
它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变,结论q否定,且联结词不变的命题”。
即为┓(Pq)=P(┓q)。
实际上,原命题与否定命题应属于矛盾命题,而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题;另方面从真值表可知,当P为假时,它们的真值都为真,故不可成为矛盾命题,因此┓(Pq)≠P(┓q)例如“若2是奇数,则7是奇数”与“若2是奇数,则7不是奇数”都为真命题。
希教学中切实注意它们的区别。
4 含量词命题的否定。
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“”与“”来表示);由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
那么它的否定又怎么样?
一般地,全称命题P:
xA,有P(x)成立;其否定命题┓P为:
xA,
使P(x)不成立。
存在性命题P:
xA,使P(x)成立;其否定命题┓P为:
xA,有P(x)不成立。
用符号语言表示:
非((x)p(x))=(x)非p(x) 非((x)p(x))=(x)非p(x)
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则:
否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定.
例4 写出下列命题的否定。
(1) 所有自然数的平方是正数。
(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
(3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.
(4) 有些质数是奇数。
解;
(1)的否定:
有些自然数的平方不是正数。
(2)的否定:
存在实数x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定:
存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0。
(4)的否定:
所有的质数都不是奇数。
但解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若x>3,则x2>9”。
在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。
例5 写出下列命题的否定。
(1) 若x2>4则x>2.。
(2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
(3) 可以被5整除的整数,末位是0.。
(4) 被8整除的数能被4整除。
(5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
解
(1)的否定:
存在实数x0,虽然满足x02>4但x0≤2.。
或者说:
存在小于或等于2的数x0,满足x02>4。
(完整表达为对任意的实数x,若x2>4则x>2)
(2)的否定:
虽然实数m≥0,但存在一个x0,使x02+x0-m=0无实数根。
(原意表达:
对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
)
(3)的否定:
存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0.。
(4)的否定:
存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)的否定:
存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两
条不相等。
(原意表达为无论哪个四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。
)
由此看来,要准确表达含量词命题的否定,就要求我们掌握好一些词语的否定如下表:
词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个成立
5 命题的否定与否命题的区别。
命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由:
一,任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
二,命题的否定是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。
如下面真值表可知:
P
q
┓p
┓q”
Pq
┓p┓q”
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
三,原命题“若P则q”的形式,它的否定命题在前面已讲过;而它的否命题为“若非P,则非q”,(记为“若┓p,则┓q”)即是说既否定条件又否定结论。
例6写出下列命题的否定命题与否命题。
并判断其真假性。
(1) 若x>y,则5x>5y。
(2) 若x2+x﹤2,则x2-x﹤2。
(3) 正方形的四条边相等。
(4) 已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0。
解:
(1)的否定:
x,y(x>y且5x≤5y)。
假命题
否命题:
Vx,y(x≤y5x≤5y)。
真命题
(原命题为:
Vx,y(x>y5x>5y)。
真命题)
(2)的否定:
x(x2+x﹤2,且x2-x≥2)。
真命题
否命题:
Vx(x2+x≥2,x2-x≥2)。
假命题
(原命题为:
Vx(x2+x﹤2,x2-x﹤2)。
假命题)
(3)的否定:
存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等。
假命题
否命题:
若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。
假命题
(原命题是真命题。
看例5(5))
(4)的否定:
存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集,但使a2-4b﹤0。
假命题
否命题:
已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b﹤0。
真命题
(原命题为:
对任意的实数a,b,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0真命题)
在教学中,务必理清各类型命题形式结构,性质关系。
才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
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- 命题 否定