届高考数学一轮复习精品学案第1讲集合.docx
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届高考数学一轮复习精品学案第1讲集合
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第1讲集合
一.课标要求:
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二.命题走向
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主,分值5分。
预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。
具体题型估计为:
(1)题型是1个选择题或1个填空题;
(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三.要点精讲
1.集合:
某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作aA;若b不是集合A的元素,
记作bA;
(2)集合中的元素必须满足:
确定性、互异性与无序性;
确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体
(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:
集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再
画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一
般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R。
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合
B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),
记作AB(或A
B);
集合相等:
构成两个集合的元素完全一样。
若A
B且B
A,则称A等于B,记作A=B;
若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作
A
B;
(2)简单性质:
1)A
A;2)
A;3)若AB,B
C,则A
C;4)若集合A
是n个元素的集合,则集合
A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作
U;
(2)若S是一个集合,AS,则,CS={x|x
S且x
A}称S中子集A的补集;
(3)简单性质:
1)CS(CS)=A;2)CSS=,CS=S。
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,
叫做集合A与B的交
集。
交集AB{x|xA且x
B}。
(2)一般地,由所有属于集合
A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合
A与B
的并集。
并集AB{x|xA或xB}。
注意:
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质:
(1)AAA,A
ABBA;
(2)A
A,A
BBA;
(3)(AB)
(A
B);
(4)A
B
A
BA;ABABB;
(5)CS(A∩B)=(CSA)∪(CSB),CS(A∪B)=(CSA)∩(CSB)。
四.典例解析
题型1:
集合的概念
例1.设集合A
{x|x
1k
1,kZ},若x
9
,则下列关系正确的是(
)
2
4
2
A.xA
B.xA
C.{x}A
D.{x}A
解:
由于
1
k
1
2k1
中2k
1只能取到所有的奇数,而
9
18
中18为偶数。
则
9
A,{9}
2
4
4
2
4
A。
选项为D;
2
2
点评:
该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系,而集合之间是包含与不包含的关系。
例
2
.设集合
-<
≤0},
∈
2
P={m|1
m
Q={mR|mx+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则
下列关系中成立的是(
)
A.P
Q
B.Q
P
C.P=Q
D.P∩Q=Q
解:
Q={m∈R|mx2
+4mx-4<0对任意实数x恒成立=,对m分类:
①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0
时,需
=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0。
综合①②知m≤0,
∴Q={m∈R|m≤0}。
答案为A。
点评:
该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想。
集合
Q中含有参数
m,
需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况。
题型2:
集合的性质
例3.已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是(
A.15B.16C.3
)
D.4
解:
根据子集的计算应有24-1=15(个)。
选项为A;
点评:
该题考察集合子集个数公式。
注意求真子集时千万不要忘记空集
集合的真子集。
同时,A不是A的真子集。
是任何非空
变式题:
同时满足条件:
①
M{1,2,3,4,5};
②若
a
M,则6-a
M
,这样的集合
M有多少个,举出这些集合来。
答案:
这样的集合M有8个。
例4.已知全集S{1,3,x3
x2
2x},A={1,2x
1}如果CSA
{0},则这样的实数
x是否存在?
若存在,求出
x,若不存在,说明理由。
解:
∵CSA{0};
∴0S且0
A,即x3
x2
2x=0,解得x
0,x
2
1,x2
1
3
当x0
时,2x1
1
,为A中元素;
当x1时,2x13S
当x2时,2x13S
∴这样的实数
x存在,是
x
1或
x
2。
另法:
∵CSA
{0}
∴0
S且0
A,3
A
∴x3
x2
2x=0且2x13
∴x
1或x
2。
点评:
该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中
“当x0
时,
2x
1
1”不能满足集合中元素的互异性。
此题的关键是理解符号
CSA
{0}是两层含义:
0
S且0
A。
变式题:
已知集合
A
{m,md,m
2d},B
{m,mq,mq2},其中m
0,且A
B,
求q的值。
解:
由A
B可知,
m
d
mq
,或
(2)m
d
mq
2
(1)
2
m
2d
m
2d
mq
mq
解
(1)得q
1,
解
(2)得q
1,或q
1
,
2
又因为当q1时,m
mq
mq2与题意不符,
所以,q
1
。
2
题型3:
集合的运算
例5.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=(
)
A.
B.{x|0<x<3
}
C.{x|1<x<3}
D.{x|2<x<3}
解:
由对数函数的性质,且2>1,显然由log2
x
1易得B
(2,
)。
从而
A
B
(2,3)。
故选项为D。
点评:
该题考察了不等式和集合交运算。
例6.设集合A
x
x
2
2,x
R
,B
y|y
x2,
1
x
2
,则CRA
B
等于(
)
A.R
B.xxR,x0
C.0
D.
解:
A[0,2]
,
B
[
4,0]
,所以
CRA
B
CR{0}
,故选
。
B
点评:
该题考察了集合的交、补运算。
题型4:
图解法解集合问题
例7.已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且AB,则实数a的取值范围是_
_。
解:
∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又A
B,利用数轴
上覆盖关系:
如图所示,因此有
a≤-2。
点评:
本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例8.已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},则
()
A.I=A∪BB.I=(CIA)∪B
C.I=A∪(CIB)D.I=(CIA)∪(CIB)
解:
方法一:
CIA中元素是非2的倍数的自然数,CIB中元素是非4的倍数的自然数,
显然,只有C选项正确.
方法二:
因A={2,4,6,8},B={4,8,12,16,},所以CIB={1,2,3,5,6,7,9},所以I=A∪CIB,故答案为C.
方法三:
因BA,所以(CI)A(CI)B,(CI)A∩(CIB)
=CIA,故I=A∪(CIA)=A∪(CIB)。
方法四:
根据题意,我们画出Venn图来解,易知BA,如图:
可以清楚看到I=A∪(CIB)
是成立的。
点评:
本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5:
集合的应用
例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果赞成A的人数是全体的五
分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。
问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
解:
赞成A的人数为
50×3
=30,赞成B的人数为
5
30+3=33,如上图,记50
名学生组成的集合为U,赞成
事件A的学生全体为集合
A;赞成事件B的学生全体为
集合B。
U
AB
X
30-X33-X
X
+1
3
设对事件A、B都赞成的学生人数为
x,则对A、B都
不赞成的学生人数为
x+1,赞成A而不赞成B的人数为
30-x,赞成B而不赞成A的人数为
3
x
。
所以对
A、B都赞成的同学有21
33-x。
依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21
3
人,都不赞成的有
8人。
点评:
在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,
韦恩图法等,需要考生切
实掌握。
本题主要强化学生的这种能力。
解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,
想到
用韦恩图直观地表示出来。
本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,
不好找线索。
画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。
例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是
3的倍数,也不是
5的倍数
的自然数共有多少个?
解:
如图先画出Venn图,不难看出不符合条件
的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)5的倍数
-(200÷10)-(200÷6)-(200÷15)
+(200÷30)=146
2的倍数
3的倍数
所以,符合条件的数共有
200-146=54(个)
点评:
分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,
而不满
足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。
题型7:
集合综合题
例11.设集合A={x||x-a|<2},B={x|
2x
1
x
<1},若AB,求实数a的取值范围。
2
解:
由|x-a|<2,得a-2 由2x 1 <1,得x 3 <0,即-2 x 2 x 2 因为A B,所以 a 2 2 a 2 ,于是0≤a≤1。 3 点评: 这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。 主要考查集合的 概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。 在解题过程中要注意利 用不等式的解集在数轴上的表示方法 .体现了数形结合的思想方法。 例12.已知{an}是等差数列, d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作 Sn,设集合 Sn )|n * 1 2 2 A={(an, ∈N},B={(x,y)| x-y=1,x,y∈R}。 n 4 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素; (3)当a1≠0时,一定有A∩B≠。 解: (1)正确;在等差数列{an}中,Sn=n(a1 an),则Sn 1 (a1+an),这表明点(an,Sn) 2 n 2 n 的坐标适合方程y 1 (x+a1),于是点(an, Sn )均在直线y= 1 x+ 1 a1上。 2 n 2 2 y 1 x 1 a1 (2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 2 2 的解,由方程 1x2 y2 1 2 * 4 组消去y得: 2a1x+a1= -4(), 当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B= ; 4 2 y a1 4 a12 2a1 当a1≠0时,方程 * )只有一个解x= ( 此时,方程组也只有一解 a 故 2a1 2 4 y 1 4a1 上述方程组至多有一解。 ∴A∩B至多有一个元素。 (3)不正确;取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0,Sn>0,这时集 n 合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0如果A∩B≠ ,那 么据 (2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x 4a12 2<0,y a1 x0 3<0, 0,y0),而x0= 0= 2 4 2a1 5 这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B= ,所以a1≠0时,一定有A∩B≠ 是不正 确的。 点评: 该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。 变式题: 解答下述问题: (Ⅰ)设集合 {| 2 2 2 4 0}, {| 0},,若 求实数m A x x x m B xx A B 的取值范围. 分析: 关键是准确理解 A B 的具体意义,首先要从数学意义上解释 A B 的意义,然后才能提出解决问题的具体方法。 解: 命题 方程 x 2 2x 2m 4 至少有一个负实数根 0
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