高一数学 对数 对数函数 重难点解析 人教版.docx
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高一数学对数对数函数重难点解析人教版
数学对数对数函数
【重点难点解析】
1.本单元的知识结构
2.理解对数定义、掌握对数运算性质,理解对数函数的性质与范围要求,能熟练地进行指数式与对数式互化.
3.对数性质的应用、对数函数性质的应用,以及在应用这些性质时能恰当地把握范围要求对问题进行分类讨论.
4.有了换底公式,我们才能处理不同底的对数问题,所以它也是重点!
【考点】
1.对数概念的范围要求严格,再配合对数函数的单调性,可以全面考查学生的分析思维能力与逻辑思维能力,这是常考的内容.
2.对数及对数函数与其他数学基础知识综合,可以构造种种不同难度的数学问题,来检验学生应用所学数学知识的能力和学生的数学水平,可以说以往各年的高考试题中,每年都有考查对数知识的题目.
【典型热点考题】
例1求下列各式中的x的值:
(1);
(2);(3);(4);(5).
思路分析
所求的x或是指数,或是指数的一部分,只有应用对数概念处理,才能求出x.所以这个问题的本质是“将指数式化为对数式”,今后遇到难以处理的指数问题时,可以化为对数式处理.
解:
(1)解法一:
∵
∴原式化为
∴x=-1.
解法二:
∴.
(2)∵
∴
∴x=-3.
(3)∵
∴.
(4)∵
∴
即2x=3
∴.
(5)∵
∴
∴2x-1=0,.
例2有下列5个等式,其中a>0且a≠1,
①,②,③,
④,⑤,
将其中正确等式的代号写在横线上_____________.
思路分析
死记硬背对数运算性质,不易记住而且往往容易记错,这是对数运算中常出的问题.只有对对数概念深刻理解,在此基础上才能更牢固准确地掌握对数运算性质.
人类创造对数运算的目的,就是为了化简计算,对数概念能使运算“降级”,即幂和开方的对数降为乘除对数计算(底不变),乘除法的对数降为加减法对数计算(底不变),从而达到化简计算的目的.
解:
只有③是正确的,所以填③
∵
①是错的
∵从①左边看,x+y是初级运算,无法再“降级”,从右边看,.
②是错的.
从②左边看,x+y是初级运算无法降级,从右边看,只有幂的对数才能得到对数乘法,即
④是错的(前面已作分析)
⑤是错的
从左边看,是减法运算,无法再“降级”,其指数是1,即,不可能得到指数2.
从右边看,.
点评一个数学命题在给定的条件下,有时正确,有时不正确,或只对某些特定值正确,而对一般值不正确,我们就作结论,这个命题是错误的.
例3化简下列各式:
(1);
(2);(3);(4).
思路分析
这类问题,可以将整个式子运用对数性质统一为一个单一的对数式(可以作的话)进行运算,这样作运算往往比较复杂,也就容易出错.如果分别使用性质,对每一部分先化简或合并同类“项”,可以化简运算并提高运算的准确性.
解:
(1)
=4lg2+3lg5-lg1+lg5
=4lg2+4lg5
=4(lg2+lg5)
=4lg10
=4.
(2)
=-1.
(3)
=lg3-lg7+lg7+lg10-lg3
=lg10
=1.
(4)解法一:
=0.
解法二:
=lg2(lg2+lg5)+lg5-1
=lg2+lg5-1
=1-1
=0.
例4利用对数恒等式,求下列各式的值:
(1)
(2)
(3)(4)
思路分析
应用对数恒等式的关键是幂的底数与对数的底数必须相同,当两个底数不一致时,应运用所学的知识,先将其化为“同底”,再用公式计算.
解:
(1)∵,,
∴
.
(2),,
∴
.
(3)∵,,
∴
=7.
(4)∵,,
∴
.
例5化简下列各式:
(1);
(2).
思路分析
当式子中的对数式的底数不同时,难以建立相互间的联系,也就无法进行化简,所以一般先使用“换底公式”,化为同一底的对数,或者经过分析,化为互有关联的数为底的对数.
在选择需换的底时,应将式子中现有的数均分解为质因数的连乘积,将基本的、相互关联的数选作新的底数.
解:
(1)解法一:
.
解法二:
.
(2)
=1.
例6已知,,用a、b的代数式表示.
思路分析
因为需要表示的目标是对数式,所以已知条件也都化为对数式,“已知与所求均逐步在内容和形式上求同”,是一般解数学题时常用的操作方法.
本题涉及3和5两个质因数,可以化为以其中一个为底的对数,可以建立相互间的联系.
解法一:
∵
∴
∴
∵
∴
∵,105=3×5×7
∴
=1+a+ab
∴
解法二:
∵
∴
∵
∴
∴
点评思维方向正确,问题总可解出,但不同方法有繁有简,应该分析、实验、探索,尽量使用简捷的解法.
例7求下列函数的定义域、值域,并画出每个函数的图象.
(1);
(2).
思路分析
定义域是研究函数时的一个重要环节,因为它决定着研究的范围.对数概念对真数、底数有很严格的要求,所以只要问题涉及对数,首先必考虑它的范围要求——对数函数的定义域!
这点千万要注意.
求值域往往比较复杂,不但应用知识多,而且考虑要全面,往往还需对照课本介绍的最基本的函数的值域或图象特点,对所求函数的值域进行估计(今后还会学习求值域的新知识与新方法).
解:
(1)
∴
∴函数定义域是(1,+∞)
∵x∈(1,+∞)时,x-1∈(0,+∞)
∴函数的值域是R.
(为描图象方便画三栏表)
x
…
2
4
…
x-1
…
1
3
…
y
…
-1
0
1
…
点评描非直线型函数的图象,一般给出3个点能描出曲线的基本形态即可(太复杂的图象可多给点).注意有渐近线时,一定要用虚线画出渐近线.
(2)∵,则x≠0
∴定义域是G={x|x≠0且x∈R}
∵x∈R时,
∴函数的值域是R
∵
∴是偶函数
它的图象关于y轴对称
x
…
1
2
…
…
1
4
…
y
…
-2
0
2
…
如图2-16
点评不可化为作图,为什么?
例8求下列函数的定义域:
(1);
(2);
(3).
思路分析
复杂函数的自变量允许取值可能受几种限制,自变量必须同时满足这些限制要求时,所涉及的每个概念才都有意义,整个的统一的函数才有意义.因此,必须取所有每个概念限制范围的交集合,才同时满足全部要求,也就是函数的定义域.
一般一种限制给出一个不等关系式,所以求复杂函数的定义域,解多个不等式构成的不等式组即可.
解:
(1)
∴或1 ∴函数的定义域是{x|或1 点评考虑各种限制要求要一个个来,不能遗漏;对概念的要求把握要准确,如是否有等号等,因为只要一个值不对,整个定义域就是错的! (2) ∴或1 ∴函数定义域{x|或1 (3) ∴函数的定义域是x∈(0,1). 例9 (1)已知,将a、b、c、d四数从小到大排列为_____________________. (2)若时,则m与n的关系是() A.m>n>1B.n>m>1 C.1>m>n>0D.1>n>m>0 思路分析 比较两个量大小的具体操作是: ①判断量的符号比大小; ②同一函数的函数值用函数单调进行比较; ③同号的两数可与1或-1比较; ④上述方法无效时,作差比较. 几个量比较时,需两个量两个量逐次比较. 解: (1)∵, ∴ ∵是减函数,是增函数 ∴, ∴b>a>0 ∵是增函数,是减函数 ∴, ∴c<0,d<0 ∵,则 ∴ ∴c<-1 ∴c 点评题目要求从小到大排列,别写成从大到小排列! 另外有些值可直接计算,如,直接就有. (2)∵,2>1 ∴函数是增函数 ∴n>1,同理m>1 解法一: ∵ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ ∴m>n ∴m>n>1. 选A. 解法二: ∵m>1,n>1 ∴作图象如图2-17. 当x=2时,从图上观察 得 ∴m>n>1. 解法三: ∵ 而 ∴ ∴m>n>1. 选A. 点评比较大小是常考题型,要灵活应用所学的知识,力求准确,迅速地给出答案. 例10 (1)若a>0且a≠1,且,则实数a的取值范围是() A.01 (2)若1 A.a 思路分析 既然都是同底对数值的大小比较问题(),可以直接应用对数函数的单调性质进行比较,由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关,所以当底数范围不定时,必须区别底在不同范围,分别讨论求解. 解: (1)∵ 当a>1时,是增函数. ∴ 联立解得a>1
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