历届高考中的圆锥曲线与方程解答题选讲.docx
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历届高考中的圆锥曲线与方程解答题选讲
历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲
1.(2006上海理)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.
(1)求证:
“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出
(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
2.(2006北京文)椭圆C:
的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
3.(2007北京文、理)如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.
()求边所在直线的方程;
()求矩形外接圆的方程;
()若动圆过点,且与矩形的
外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.
4.(2007福建理)如图,已知点F(1,0),直线l:
x=-1,P为平面
上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且=。
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,
已知,,求的值。
5.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
(其中O为原点).求k的取值范围.
6.(2007全国Ⅱ文、理)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:
相切
(1)求圆O的方程
(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围。
7.(2007四川理)设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为
坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
8.(2007安徽文)设F是抛物线G:
x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点
C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
9.(2002广东、河南、江苏)A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?
为什么?
10.(2006全国Ⅰ卷理)在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量.求:
(Ⅰ)点M的轨迹方程;(Ⅱ)的最小值。
11、(2007江苏)如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上一点任作一直线,与抛物线相交于两点,一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于,
(1)若,求的值;
(2)若为线段的中点,求证:
为此抛物线的切线;
(3)试问
(2)的逆命题是否成立?
说明理由。
12.(2007山东文、理)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标.
历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲
参考答案
1.(2006上海理)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.
(1)求证:
“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出
(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
1.[解]
(1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,-).
∴=3;
当直线的钭率存在时,设直线的方程为,其中,
由得
又∵,∴,
综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)逆命题是:
设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).
该命题是假命题.
例如:
取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为:
,而T(3,0)不在直线AB上;
说明:
由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足=3,可得y1y2=-6,或y1y2=2,如果y1y2=-6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3,0).
2.(2006北京文)椭圆C:
的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.
2..解:
(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4,
所以椭圆C的方程为=1.
(Ⅱ)解法一:
设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A,B关于点M对称.,所以
解得,所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意)
(Ⅱ)解法二:
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
①②
由①-②得③
因为A、B关于点M对称,所以x1+x2=-4,y1+y2=2,
代入③得=,即直线l的斜率为,所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)
3.(2007北京文、理)如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.
()求边所在直线的方程;
()求矩形外接圆的方程;
()若动圆过点,且与矩形的
外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.
3.解:
()因为边所在直线的方程为,
且与垂直,所以直线的斜率为.
又因为点在直线上,
所以边所在直线的方程为.即.
()由解得点的坐标为,
因为矩形两条对角线的交点为.
所以为矩形外接圆的圆心.
又.
从而矩形外接圆的方程为.
()因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,
所以,即.
故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支.
因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长.
从而动圆的圆心的轨迹方程为.
4.(2007福建理)如图,已知点F(1,0),直线l:
x=-1,P为平面
上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且=。
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,
已知,,求的值。
4.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.
(Ⅰ)解法一:
设点,则,由=得:
,化简得.
(Ⅰ)解法二:
由=得:
,
y
,,.
所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:
.
(Ⅱ)设直线的方程为:
.
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,
整理得:
,,
.
5.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
(其中O为原点).求k的取值范围.
5.解:
(Ⅰ)设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
(Ⅱ)将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即①
设,则,
而
于是②
由①、②得
故k的取值范围为
6.(2007全国Ⅱ文、理)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线:
相切
(1)求圆O的方程
(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围。
6.解:
(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,即.
得圆的方程为.
(2)不妨设.由即得.
设,由成等比数列,得
,即.
由于点在圆内,故
由此得.所以的取值范围为.
7.(2007四川理)设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为
坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
7.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解:
(Ⅰ)解法一:
易知所以,设,
则
因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值
当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
∴
由得:
或①
又
∴
又
∵,即
∴②
故由①、②得或
8.(2007安徽文)设F是抛物线G:
x2=4y的焦点.(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点
C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
8.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点和焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力,
解:
(Ⅰ)设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为,故所求切线方程为即
因为点P(0,-4)在切线上,所以
所以切线方程为y=±2x-4.
(Ⅱ)设
由题设知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.
因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A,C的坐标满足方程组消去y,得
由根与系数的关系知
同理可求得
当k=1时,等号成立.所以,四边形ABCD面积的最小值为32.
9.(2002广东、河南、江苏)A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?
为什么?
9.解:
(1)依题意,可设直线方程为y=k(x-1)+2
代入x2-=1,整理得(2-k)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0①
记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的两个不同的实数根,所以2-k2≠0,且x1+x2=
由N(1,2)是AB中点得(x1+x2)=1
∴k(2-k)=2-k2
解得k=1,所易知霰AB的方程为y=x+1.
(2)将k=1代入方程①得x2-2x-3=0
解出x1=-1,x2=3
由y=x+1得y1=0,y2=4
即A、B的坐标分别为(-1,0)和(3,4)
由CD垂直平分AB,得直线CD的方程为y=-(x-1)+2
即y=3-x代入双曲线方程,整理得x2+6x-11=0②
记C(x3,y3),D(x4,y4),以及CD中点为M(x0,y0),则x3、x4是方程②的两个的实数根,所以
x3+x4=-6,x3x4=-11
从而x0=(x3+x4)=-3,y0=3-x0=6
|CD|==
∴|MC|=|MD|=|CD|=2
又|MA|=|MB|=
即A、
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- 历届 高考 中的 圆锥曲线 方程 解答 题选讲