高等数学期末考试试题及答案大一考试.docx
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高等数学期末考试试题及答案大一考试
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
(2010至2011学年第一学期)
课程名称:
高等数学(上)(A卷)
留意事项:
1、满分100分。
要求卷面干净、字迹工整、无错别字。
2、考生必需将姓名、班级、学号完整、精确、清晰地填写在试卷规定的地方,否
则视为废卷。
3、考生必需在签到单上签到,若消失遗漏,后果自负。
4、如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷
分别一同交回,否则不给分。
试题
一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分)1.=--→1
)
1sin(lim
21xxx()(A)1;(B)0;(C)2;(D)
2
1
2.若)(xf的一个原函数为)(xF,则dxefexx)(?
--为()
(A)ceFx+)(;(B)ce
Fx
+--)(;
(C)ceFx
+-)(;(D)
cx
eFx+-)
(3.下列广义积分中()是收敛的.(A)
?
+∞
∞
-xdxsin;(B)dxx?
-1
11;(C)dxxx?
+∞∞-+2
1;(D)?
∞-0dxex。
4.)(xf为定义在[]ba,上的函数,则下列结论错误的是()
(A))(xf可导,则)(xf肯定连续;(B))(xf可微,则)(xf不肯定可导;(C))(xf可积(常义),则)(xf肯定有界;(D)函数)(xf连续,则?
x
a
dttf)(在[]ba,上肯定可导。
5.设函数=)(xfn
nxx
211lim
++∞→,则下列结论正确的为()
(A)不存在间断点;(B)存在间断点1=x;(C)存在间断点0=x;(D)存在间断点1-=x
二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分)1.极限=-+→x
xx1
1lim
20
_____.
2.曲线?
?
?
=+=3
2
1tytx在2=t处的切线方程为______.3.已知方程x
xeyyy265=+'-''的一个特解为xexx22
)2(2
1+-
,则该方程的通解为.
4.设)(xf在2=x处连续,且22
)
(lim
2=-→xxfx,则_____)2(='f
5.由试验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F(牛顿)与伸长量s成正比,即ksF=(k为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm时,所作的功为_________焦耳。
6.曲线23
3
2
xy=上相应于x从3到8的一段弧长为.
三、设0→x时,)(22
cbxaxex++-是比2
x高阶的无穷小,求常数cba,,的值(6分)
)23cos(xe
xx
-+-,求dy.(6分)
eexyy
=+确定,求
2
2=xdxy
d.(8分)
)x满意关系式33)3
()(30
-+=
?
xdtt
fxfx
,求)(xf.(8
七、求下列各不定积分(每题6分,共12分)
(1)?
-θθd)sin1(3.
(2)?
xdxxarctan.
八、设?
?
?
?
?
>≤+=1,211,1)(2xxxxxf求定积分?
20)(dxxf.(6分)
九、争论函数3
13)(xxxf-=的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.(10分)
十、求方程
4y
xy
dxdy+=的通解(6分)
十一、求证:
).2
0(,2
sinπ
π
∈>xxx.(5分)
第一学期高等数学(上)(A)卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每题3分,共15分)
1.C
二、填空(每题3分,共18分)1.0,2.73-=xy,3.2,1223221()2(2
1
ccexxececyx
xx
+-+=为任意常数)
,4.2,5.k18.06.3
28
。
三、解:
[]
10)(20
2
lim=∴=++-→ccbxaxe
xx
……….2分
0)2(lim......0)(lim2
2
0220=--∴=++-→→xbaex
cbxaxexxxx……..4分01..==∴ba………………………………………..6分四、解:
)23sin
(2)23cos(112
xexexyxx-+---=
'--………4分
dxxexexdyxx?
?
?
?
?
?
-+---=∴--)23sin
(2)23cos(112
……….6分
五、解:
0=++dxdyedxdyx
yyy
e
xy
dxdy+-=∴………………3分e
dx
dy
yxx11,00-=∴
===2
22)()1()
(yyyexydxdyedxdyexdx
y
d++-+-=∴…………….6分222,0-==∴
edx
y
dx时…………………….8分
六、两边求导3)(3)(+='xfxf…………..3分
ccexfx
(1)(3-=∴为任意常数)…………6分
3)0(,
0-==fx12)(3--=∴xexf………..8分
七、解:
(1)
?
-θθd)sin1(3.?
?
-+=θθθcos)cos1(2dd……..3分
c+-
+=θθθ3cos3
1
cos…………………….6分
(2)?
xdxxarctandxxxxx?
+-=2
2
2121arctan21……3分cxxxx++-=
arctan2
1
21arctan212……………….6分八、解:
?
20
)(dxxfdxxdxx2
102121)1(?
?
++=…….2分
=38
……………6分
九、解,10)(3
2)
(1)(35
3
2±=='=''-='-
-xxfxxfx
xf得由0)(='xxf不存在(3分)
2)1
(2)1(0
)0(==-=fff……………….7分
(][)[].1,1,,11,)(上单减在上单增与在-∞+-∞-∴xf1-=x时有极大值2,
1=x有微小值2-。
在(]0,∞-上是凸的,在[)+∞,0上是凹的,拐点为(0,0)(10)
分
十、解;()、
的通解为对应齐次方程cyxxy
dydxyxy
dydx==∴+=1
1.....
(1)
3…………………..3分
设方程
(1)的解为yyux?
=)(代入
(1)得13
3
1)(cyyu+=
………5分ycyx14
3
1+=
∴…………………….6分十一、证明:
令?
?
?
?
?
?
∈-
=2,0,2
sin)(ππxxxxf………………1分xxfxxfsin)(,2
cos)(-=''-
='π
又0)(),
2
0(∈xfxπ
………….5分。
(2010至2011学年第一学期)
一、单项选择题(15分,每小题3分)
1、当∞→x时,下列函数为无穷小量的是()
(A)xCosxx-(B)xSinx(C)121-x(D)x
x)11(+
2.函数)(xf在点0x处连续是函数在该点可导的()(A)必要条件(B)充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件3.设)(xf在),(ba内单增,则)(xf在),(ba内()(A)无驻点(B)无拐点(C)无极值点(D)0)(>'xf
4.设)(xf在][ba,内连续,且0)()(?
∞
+adx
a
xp
当()时收敛。
(A)1>p(B)1二、填空题(15分,每小题3分)
1、若当0→x时,22~11xax--,则=a;
2、设由方程22axy=所确定的隐函数)(xyy=,则=dy;
3、函数)0(8
2>+
=xx
xy在区间单减;
在区间单增;
4、若xxexfλ-=)(在2=x处取得极值,则=λ;
5、若dxxfdxxxfa?
?
=1
01
02
)()(,则=a;
三、计算下列极限。
(12分,每小题6分)
1、x
xx
x)1(lim+∞→2、2
00
)1(limx
dt
ex
tx?
-→
四、求下列函数的导数(12分,每小题6分)
1、241
xy-=,求y'2、?
?
?
?
?
-=+=t
tytxarctan)
1ln(2,求22dxyd
五、计算下列积分(18分,每小题6分)
1、dxxx
x?
+++2
1arctan12、
dxxx?
--2
2
3
coscosπ
π
3、设dtt
t
xfx?
=2
1sin)(,计算dxxxf?
10)(
六、争论函数?
?
?
?
?
?
?
≤>-=2,22,cos2)(ππ
π
πxxxxxxf的连续性,若有间断点,
指出其类型。
(7分)
七、证明不等式:
当0>x时,2
)1ln(2
xxx->+(7分)
八、求由曲线)1(2,4
22
≥===xxyxyxy所围图形的面积。
(7分)
九、设)(xf在]1,0[上连续,在)1,0(内可导且0)0()1(==ff.
证明:
至少存在一点)1,0(∈ξ使
参考答案及评分标准
(2010至2011学年第一学期)
课程名称:
高等数学
一、单项选择题(15分,每小题3分)
二、填空题(15分,每小题3分)1.a=22.dxx
y
2dy-=3.(0,2)单减,
(,+∞)单增。
4.2
1
=
λ5.a=2三、计算下列极限。
(12分,每小题6分
1.解。
原式=()
1111lim1lim--?
∞
→-∞
→=?
?
?
?
?
+=?
?
?
?
?
+exxxxxx
x(6分)
1.解。
原式=2
1
2lim21lim
00==-→→xxxexxx(6分)四、求下列函数的导数(12分,每小题6分)
1解。
()()()
()
分
分
64424214y3
22
32
212x
xxxx-=-?
--='?
?
?
?
?
?
-='-
-
2.解。
分
分6411212d32
12111dy2
2
22
2ttdt
dxdxdttdtddx
yttttdx+=?
=?
?
?
?
?
?
==++-
=
五、计算下列积分(18分,每小题6分)
1解。
原式=
()
分
分
6arctan2
1
1ln21arctan31arctan1dxx1122222c
xxxdx
xxdxxx++++=+++++?
?
?
2.解。
原式=
()
()分
分
63
4cos3
4
3coscos2cos1cosx220
2320
20
2=
-
=-=-?
?
π
π
π
xx
dxdxx
()()()()()()()分
分
分
明显有:
解611cos2
1cos21sin21sin22142121212sin22sin,
01.31
022
1022102102
1
22
10
1
2
2
2-==-=-=-==
=?
='=?
?
?
?
?
xdxxdxxxxxdfxxfxdxxfdxxxfxxxx
xxff
六、争论函数
?
?
?
?
?
?
?
≤>-=2,22
cos2)(ππ
π
π
xxxxxxf的连续性,若有间断点,指出其类型。
(7分)
分
又:
解:
31
21
cos2lim021
2lim020202=?
?
?
?
?
=-=?
?
?
?
?
+==?
?
?
?
?
-+→-→ππ
ππ
ππ
π
fxx
fxfxx
所以当2
π=
x时,函数连续。
当zkkkx∈≥+
=22
π
π时,0cos=x,所以zkkkx∈≥+
=22
π
π
是函数的间断点。
5分
且()∞=-=+
→+
→x
x
xfkxkxcos2lim
lim
2
2
π
π
ππ
π,
所以zkkkx∈≥+=22ππ是函数的无穷间断
点。
7分
七、证明不等式:
当0>x时,2
)1ln(2
xxx->+(7分)
()()()()0
0111122
1ln2
2
=+=
+-+='+
-+=fx
xxxxfxxxxf且
分
证明:
设
x当>0时()xf'>0,所以()xf单增。
5分x当>0时()xf>()00=f,即:
2
)1ln(2
xxx->+证毕。
7分
八、求由曲线)1(2,4
22
≥===xxyxyxy所围图形的面积。
(7分)
解:
如图所示:
(略)
()
分
分分所求面积72
ln221612ln2342228
2
3221
2
8222
1
-=?
?
?
?
?
?
-+-?
?
?
?
?
?
-+?
?
?
?
?
-=?
?
xxx
x
dxxxdxxxA九、设
)(xf在]1,0[上连续,在)1,0(内可导且
0)0()1(==ff.
证明:
至少存在一点)1,0(∈ξ使)()(ξξff'=(7分)
证明:
设()()x
e
xfxF-=,明显()xF在在]1,0[上连续,在)1,0(内可导(3分)
并且()()010==FF,由罗尔定理:
至少存在一点()1,0∈ξ使()0='ξF而()()()[]xfxfe
xFx
-'='-,0≠-x
e(6分)
()0='ξF即:
)()(ξξff'=证毕。
(2009至2010学年第一学期)
课程名称:
高等数学(上)(A卷)
考试(考查):
考试200年月日共6页留意事项:
5、满分100分。
要求卷面干净、字迹工整、无错别字。
6、考生必需将姓名、班级、学号完整、精确、清晰地填写在试卷规定的地方,否
则视为废卷。
7、考生必需在签到单上签到,若消失遗漏,后果自负。
8、如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷
分别一同交回,否则不给分。
试题
一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共18分)1.()=-→x
xx10
1lim()
(A)e;(B)1
-e;(C)1;(D)∞
2.0=x是函数=)(xf?
?
?
?
?
≥+=
CxxxCttttdttdxx+-=++-==∴?
?
)cos(sin2sin2cos2sin2sin
八.解:
?
?
?
=-+-=-10
2
1
2
1)1()1(1dxxxdxxxdxxx
九.解:
函数y的单调增区间为()+∞?
?
?
?
?
?
-∞-,131,,单调减区间为?
?
?
?
?
-
1,31,曲线的凹区间为?
?
?
?
?
+∞,31,曲线的凸区间为?
?
?
?
?
∞-31,
0,27
32
1
min3
1max==
=-=xxyy,拐点坐标为?
?
?
?
?
2716,31
十.解:
所求面积?
?
∞
-=
-+=
10
2
)(edxexedxesxx十一。
证明:
)(xf在[0,1]上连续
∴存在?
?
?
?
?
∈1,320x使得
?
=
13
20)(3
1
)(xfdxxf
又?
?
=
?
=1
3
21
3
2)0(3
1
)()()(3
fdxxfofdxxf)0()(0fxf=∴
又)(xf在(0,1)内可导,所以)(xf在()0,0x内可导
由罗尔定理得:
存在()()1,0,00?
∈xζ使得
(2009至2010学年第1学期)
课程名称:
高等数学(上)A卷
留意事项:
9、满分100分。
要求卷面干净、字迹工整、无错别字。
10、考生必需将姓名、班级、学号完整、精确、清晰地填写在试卷规定的地方,否则视
为废卷。
11、考生必需在签到单上签到,若消失遗漏,后果自负。
12、如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷分别
一同交回,否则不给分。
试题
一、填空题(每空3分,共18分)
1、sinlimxx
x
→∞=;
2、221lim21
xxxx→∞---=.
3、函数2()fxe=,则()fx'=.
4、曲线1yx=
在点1,22?
?
?
?
?
处的切线方程为:
.5
、函数20
1)ytdt=+,则
dy
dx
=。
6、微分方程230yyy'''--=的通解为.
二、选择题(每题3分,共12分)7、()fx的导函数是sinx,则()fx的一个原函数为().A:
1sinx+B:
1sinx-C:
1cosx+D:
1cosx-
8、1x=是函数21
()1
xfxx-=-的().
A:
可去间断点B:
跳动间断点C:
无穷间断点D:
连续点
9、函数3()3fxxx=-在区间[]0,2上的最小值是().A:
0B:
-2C:
-4D:
2
10、下列错误的是().
A:
()()fxdxfx'
?
?
=?
?
?
B:
()()fxdxfxc'=+?
C:
()()dfxfxc=+?
D:
()()dfxdxfxdx?
?
'=?
?
?
三、计算下列极限与导数(每题5分,共20分)
11、0limsinxx
xeex
-→-
12、y=y'
13、y=
求:
y'
14、方程xyxye+=确定y是x的函数,求:
y'
四、计算下列不定积分与定积分(每题5分,共20分)15、3cosxdx?
16、2lnxxdx?
17
、40
?
18、1
2
12sin1x
dxx-++?
五、综合题(每题8分,共24分)
19、争论函数2
1x
yx=+的单调性、极值.
20、求曲线224
(1)4
(1)yxyx=+=-及所围成图形的面积
21、求微分方程xdy
yedx
-+=的通解.
六、证明题(6分)22、试证:
当0x>时有ln
(1)1
x
xxx时有
ln
(1)1
x
xxx时,[]()fx在0,x上满意拉格朗日中值定理条件,所以
()(0)().(0)fxffxξ'-=-(0)xξ<<2分又1
(0)0,()1ffxx
'==
+,所以上式即为()1xfxξ=
+,即ln
(1)1xxξ
+=+4分由于0xξ<<,所以有
11
xx
xxξ<<++故ln
(1)1
x
xxx<+<+6分
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